二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分.ppt

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1、二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分,4 二重积分的变量变换,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,定理21.13,变换:,是一一对应的,一、二重积分的变量变换公式,则,证:根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h,k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,例1.计算,其中D 是 x=0,y=0,x+y=1 所围区域.,解,则

2、,令,例2.求抛物线 y2=mx,y2=nx 和直线,所围区域 D 的面积.,解,令,当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数含有 x2+y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,二、用极坐标计算二重积分,则,(ii)若原点在 D 内，则,(i)若原点在 D 外，,(iii)若原点在 D 的边界上，,(iv)若区域 D 可表示为,则,例3.计算,其中,例4.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解,由对称性可知,例5.计算,其中,解,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,作极坐标系变换，有,例6.求椭球体,解:,由对称性,令,则,的体积V.,