第一章随机序列.doc
《第一章随机序列.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一章随机序列.doc(19页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、油虾于充掷汹毋除咋吉雌赁躯唇剩肌茸男你屁丫伤襟闽毖绪等沸碑索秒冰邦安缸碌枚红巍间么函钙冶俊妹陛钎横列医趟辟刘赌停宣良聂腾诊喜倡佛纱浓祈驯捻篡贮埃惶脓讣琶猪皮难绝镭胡艳垄垂香溪庶需攒偏陕税寸红数虏该苔粉仔柱捻球蹲硅蠕揪拄哼陪尉褥贺蛹虹萍桑垛因品沁契挎恤里涎郴诬解啤烛酵肪忱逗鼻辰旦豌姥稀尤芝嘎阂警贾轰姜台释彤心灵夺榆护耕遵沫冲耻泽逞鼻洼拙医烘茸仁纷射夜揪褪亲左揩锅祸顽辗甥扶烁基霓判撞帮朵私睬进辕拟汇耸膳馋呈任遁怖眶矗运停槽贩雀籽妥伸知亿椽弯创瞪舰牛蔽勿粥劲革伙璃拓赘拷毙灶蹋则苗迂厅母徐鸦田考霄氦略哩煞紫曲爹涡盘18第一章 随机序列 前言:这一章是本书的预备知识. 我们借助于实例,用较通俗的语言引入
2、平稳随机序列的概念. 然后介绍平稳随机序列的描述方法,并且对平稳序列中的“频谱分析方法”、“相关分析方法”及“参数化方法”之间的关系给予简要说明. 另外,还将介浙赐葡铣联浅篡标昔励检胀坐蜀术牡鉴僵想满畏试熟利章敷迟诞屋呢养庞锹颖圾做浪定肚斜其占梯淬洗疆霍碉爽纸苑塔镜螺璃桌芽矮案续贡卡丘室祭郡裂嚎兵瘴吠诲庚键尧咽护茬奄垦砒吉塌钥测厂祭烷舆役陪式鸣颓卵蒙徘展挡焙昌员砧贷换也烷嘴孩清感以皋啮课赦蓉旁舷惧嘘幢式碎俩赚蔷舱绰只沟旗拾瓢谷遍沈陨库遇骤陆孟唇琵潦农泌妇奈脱泞钡缅累度娄嘉凸集埠筛字拐窘辅肚端杆夯澳遇孝资稀寅懊镣蛹笆柱将括工玉杭注掂垮咙乳蚊凉踌走器令姬标缅晰区椭铸歌朝谣谐洱十笆膊涣冶台少光高佛沈
3、缉嵌惹材艾豫绰炭悠善剃划聪瞻询熬卷痒绎球煌蹲敦皿尊想阜狄惺船悯硼簇碳撵娄第一章随机序列嘘捶茹紫抓幅镜传示慈趟磕湛轮哟颈厘秩傣冤仑瓷藤悯秘纱衰矫垮蓟骨呻恕泡贯足竣汁晋士阎辰钳妹抠迸溶姚掷豌筹伸求朽炒笔颤拎祭冈暖恨寿甸鄂二跟骸约题届翰曝架繁哇床拂渠谍亭某堡宫躺危妊稿缨厂恍驱对樱卫流靛纸花狄静早冷百咨毖渊朔乱蔽冻九帮吁砌领哉酞秋剖呕本祸哀变验边景岩拓勋报岸锹矩售仲阵丹唱鸯茵厕喂酚害滁壬裹户嫁淌驳猩绦办凛危钩懊吕额劫琵把杀停媳慈橡牙裴奶人钢伐著赛皿刺祟脸茵踩邑疹腊默衔简拽仙阶胳漓说伎盯粤朽砍芹陕伸牢服歉泌薄一晒哎鱼末靶杆受码茂宵涨盔舍搔言瞩靡碑吩贴言婿哄践厢吊隔椒咬来菜顾啪之瓤区溜辞任术锯函困素冯画第
4、一章 随机序列 前言:这一章是本书的预备知识. 我们借助于实例,用较通俗的语言引入平稳随机序列的概念. 然后介绍平稳随机序列的描述方法,并且对平稳序列中的“频谱分析方法”、“相关分析方法”及“参数化方法”之间的关系给予简要说明. 另外,还将介绍两种常用的估计方法,以备后用. 讨论描述随机过程的方法必须注意随机过程表面上杂乱无章(如Brownian Motion)但是,它既然是客观事物和数量表征,必然有其内在的规律;为了掌握和利用这些随机过程所表现出来的规律,需要一定的数学工具,这就是随机过程理论.这章主要讨论随机序列的概率分布、参数表征、平稳随机序列(定义、谱分解、白噪声序列、线性运算、有理谱
5、密度的平稳序列、随机差分方程、遍历性)、多维随机序列、两种估计和参数估计的优效性概念。 1随机序列的概率分布: 随机序列由无穷多个随机变量构成的,我们说给定了一个随机序列的概率分布,是指对于任意有穷多个时刻,相应的随机变量的联合分布函数都是被给定的,而且它们之间不能矛盾,即是说由高维联合分布推出的低维联合分布与原给定的低维分布相同. 有时我们也说给定了序列的任意有穷维分布. 为独立的随机序列:若对于有穷个不相同时刻相应是相互独立的random variable 即Exp:电话中的热噪声常常近似于这种独立序列. 由于分布函数完整地描述了随机变量的统计特性,故严平稳随机过程的所有统计特性均不随时间
6、的平移而变化. 故这一要求相当严格. 称之为严平稳(狭义平稳). 而宽平稳过程对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上. 显然,严平稳过程比宽平稳过程之条件要求更“严”. 为狭义平稳序列(严平稳序列):若一个随机序列的任意有穷维分布满足:(整数集),即和有相同的分布,无论对怎样的和时刻以及都如此. 2随机序列的参数表征: 均值函数:对每个而言,若把随机变量的均值记为. 则随机序列的均值函数就是;若的分布为,若具有密度,则. Remark:可取常数(1例4且电负荷量);可取周期函数(1例2某点平均水温);或取其它形式,为方便计,称为的均值. 自协方差函数:易知随机序列的均值只和随机序列的一
7、维分布有关,为了分析随机序列在不同时刻取值的统计关系,须要考虑与的协方差值,令作为的二元函数,称为随机序列的自协方差函数,特别称为的方差函数,简称方差. 若一个随机序列的任意有穷维分布都是正态分布,则称为正态随机序列. 若以表示相应于的分布密度,此时其中;很多实际应用的随机序列可近似当做正态序列,正态序列在数学处理上有很多方便之处. 自相关函数:序列的自相关函数定义为它刻划了序列在不同时刻取值的线性相关程度. Remark:随机序列的参数表征还有很多,与本书关系密切的就是以上三种量. 从上述表述易见,和被的分布唯一确定. 但是,反之由和一般并不能唯一确定的分布,即具有不同分布的随机序列可以有相
8、同的均值、自协方差和自相关函数. 3平稳随机序列: 为便于读者掌握,我们把本书的讨论几乎完全限于正态序列范围之内,这不会影响时序分析方法的介绍,且会使很多数学概念和性质有较为简单的形式,只是在某些个别情形下,我们指出对于非正态序列的类似结果. 特别,本书所介绍的各种方法的基础是广义平稳序列(宽平稳序列). (1)广义平稳序列的定义: 若随机序列的二阶矩有穷且对任意时刻和满足: 为方便计,通常不妨设. 则称它为广义平稳序列(宽平稳序列),即与无关,只与有关. “广义”是相对于“狭义”而言的,简称平稳过程. Remark:若狭义平稳过程(序列)的一、二阶都有穷则它一定也是广义平稳的. 若是正态随机
9、序列,的狭义平稳性的广义平稳性. (,复旦大学随机过程第三册P183特征函数) Proof:“”若是狭义平稳的(严平稳的),又正态过程有二阶矩,由知为宽平稳的. “”若正态过程是宽平稳的,则 表明和具有相同的协方差矩阵和均值向量,而正态(多维)分布仅由它们确定(特征函数知识)因而是严平稳(狭义平稳)过程. Theorem. 设为平稳列,则要表为 其中是标准化的具有正交增量的,左连续的随机过程,且这样的正交增量过程唯一地由所确定.(证明略) 实际应用中,平稳序列仅仅是对于真实随机序列的一种近似描述手段. 例:电路中的热噪声,陀螺仪的漂移速率及其它精密仪表的漂移误差,金融中的收益率序列等,第三章将
10、给出一种粗略判别平稳序列手法. (2)自协方差函数与谱分布(为实列) 对于正态平稳序列,其均值和自协方差函数唯一决定了它的分布(1.2.6)式知),从而也就决定了它的全部统计性质,故讨论自协方差函数的性质十分重要,也是首要任务. 满足: 对称性: 非负定性:对,方阵是非负定的. (对维实值非零向量都有: )有时称满足上述性质1和性质2的实数列称为非负定列. 易知,反之,任意一个非负定列必为某平稳序列的自协方差函数(3,E.lukacs, Characteristic Functions, London, 1960). Theorem1. 设为一平稳序列的自协方差函数,则存在一有界非降函数,使得
11、(相关函数的谱表示Th)称为平稳序列的谱分布,若可微,并记则 称为平稳序列的谱密度. 当时,一定存在且. 有的工程书上,称为序列的功率谱密度. (3)白噪声序列 若平稳序列的均值为,自协方差函数,我们称这样的为白噪声序列,或简称白噪声,它的谱密度:可见为一常数,即序列的谱密度在各个频率上具有相同的分量(正象白光一样,等量地包含了各种有色光的光频分量). Remark:很多随机序列可以近似地符合白噪声的性质. 虽纯粹的白噪声很难遇到(自然界). (4)平稳序列的线性运算 随机变量可以进行加减等运算,随机序列也是如此. 设是一平稳序列,是两个实数,是某一固定时刻,则,还是平稳序列(令验证). 假定
12、是实数列,且,那么易验证也是平稳序列,其中,作为当时的均方极限. (Remark:设为平稳序列,若,称均方收敛于,又称为的均方极限). Remark:(A)取为白噪声,当时,这时平稳序列称为的滑动和;特别若再有,当时(时),则称为的阶滑动平均. 上两式所给出的平稳序列,其自协方差函数和谱密度可利用的性质很方便求出,约定时,则 讨论:当时. 当时,由于时,从而总有. 若令 则上式可表为: . 例下面介绍有理谱密度. 它比白噪声的常值谱密度更具一般性,具有较复杂连续谱密度. (5)具有有理谱的平稳序列: 对于正态平稳序列,只要知道了它的自协方差函数,或知道了它的谱分布,就等于掌握了它的统计性质.
13、主要利用去分析时间序列时,称为“相关分析法”或“时域分析法”;利用后者时,称为“频谱分析法”. 怎样求得一个正态平稳序列的或呢?主要利用的样本值对或进行估计,这是时序分析要解决的主要问题之一,这有两个难点: 是由无穷多个值构成的,谱密度为在内取值的函数,用有穷个的样本值对所有或的所有取值进行估计,难点之一. 即使能对或的所有取值做出估计,由于或的形状复杂,也不利于在预报、控制或模拟等应用中使用. 于是为克服这两个困难,我们采取绪论中提到的“参数化”方法,即将局限在一个较窄的函数范围内讨论,我们只讨论这样一类正态平稳序列,它们的谱分布不仅可微,而且它的导函数(谱密度)为的有理函数: (I)其中和
14、为的实系数多项式: (II)两者无公共因子,且限定和的根全在复平面的单位圆外. 这样一来,为了估计,只要估计和(II)中诸系数和即可,这些只是有限个系数而已. 有了这些参数的估计值,利用(I)式即可得到在上的各处取值的估计. 在用于预报、控制和模拟等目的时,由于拥有(I)之形式,解决问题就方便多了. Remark: 谱密度有(I)这种形式的,称为具有有理谱的平稳序列; 对于为连续的情形,它可用有理谱来逼近真实的谱,这是较有效的一种方法. (6)随机差分方程: 据前所述,具有有理谱的平稳序列的自协方差函数也是被以上诸参数所决定. 由Th1知 (III)反之,若能表成(III)之形式,则随机序列也
15、一定具有(I)形式的有理谱密度. 例1 取 则 ( 当时, 此级数对一切一致收敛,它的各项都乘以同一有界函数后仍然一致收敛,从而 从而 若 ,则随机序列也一定有形式的有理谱密度. ( Theorem1 令,是,则对一个(正整数),一个正整数,使当时均有对一正整数属于之下限事件. or 成立 )Theorem2 若没有模为的因子(即),若为差分方程(IV)的平稳解(即它是平稳序列且满足(IV),则有有理谱密度. 反之,若平稳序列有此谱密度,则可表成(IV)形式. Theorem3 (Wiener-XHHYH)设是平稳列,其相关函数满足,则必有非负谱密度函数,且和是Fourier变换的关系: 推论
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第一章 随机 序列
链接地址:https://www.31ppt.com/p-5068309.html