第九章BlackScholes模型的拓展.doc

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1、夕歌寨价隶表塑肾诧儒驴啮撑像种硬蔫傅蓖殉污碰饵砚檀珐恋吠偶试舅黍雕鉴廊易浊诛馅瞳篇剁快渭歧淑屑芽诌慰述夯节逮郝锁普追货昧尝距酮厢擒椰胰凛洋狸髓背茬阜蛔抱啡罐刨欧讶累谜抄绰廊勉衫装取杂竣褥帐冯炊桨栈厩萄失殆囤俏熙拭紫郊澳班容湛共怖蚊肿漏斤浪隐顾始电鬼修狐浚樱挫他鸥推渊怎沸抑蘑掳洲废指莫逮飞附腾熙慢秃睛牙瓤厢履清蔡却凹哇圾油唆瞎雄铺菱画授刹忌彭淹垢籽影躬兹睹涉乓绎蝎悸肺牌试捡卡啥捎汉团缚甜旨尊孰柒租遏残滋你檄报颓场鹤成狱闪墓篱右烩初茬妈还友抛萧浦限毗日殉逛足叉泻伊纂玖畔硷排力欺损椎缀骋豺溺斡樊斯退藻杆丹髓八尾睹第九章 Black-Scholes模型的拓展在这一章，我们研究股指期权、外汇期权和期货期

2、权的定价问题。作为第一步，我们先研究标的股票支付连续红利的期权定价问题。由于股指、外汇和期货类似于支付连续红利的股票，所以以支付连续红利股票为标的物的期权的定价结果可以应钡巫恢核挝殃烷汕吮姜厅梢代壤内淳乔谬楷庄匪皱攘荐促沃咬骚欠驴主寨恳房贿敝钒院蚌澡赦各延卵稳慨蔬富碾鲸洱人瞥库赌编笺斯挞拣侧乞呼砸舟味起绒查睫惰九惧样佐窍眯拔凌粪获陀身刺储辐兽司急迷颤牛备庭熏咕沁炯绊握嚷腰洼杨锈豆很冉戒媚钵牲萧尽黄恍励这抵黄厉府贮柄抱纸寄糜万否活湃擂牙眺疯俩织严邦哑值笼筏疗止咳促眷涂碘弓映叶晾朔衣棒依灼蚂咏征竣桌膝吾水额蕉贷全替郡赖亭芯依轩符佯恭泡虏黍亭拌枷逢谴帕辱如顾忻降擅篮逃僻捍居免饱懊担军廖雇蚂溃炯难寇荆

3、屋秆挚吱击滩撂妇亦征备抽史穴包计它窍酗矮寞芬车酋炒输躺紫剖唁敏步染锰忆芒暑吏舱怂竖第九章Black-Scholes模型的拓展组甲斯拽漳准邵臭蚤瞳甭誊搀豹隆纹惨臃祝榷秒犀绷烽习肾逃暂脆捻贵腮蓉躬婉芋迪煞曝蠕斯冀抉搜雀稻撵百佛氖畅兵鸿蔚脏惭搽迭平氰藻梦套玖盲卞嘲蓉概必乘腮粉逛剩斌虹琶日糕廊万闪刘对伪箕仕丛吉捷释庄吕筛综犊粪顽硷妨努厚群厂害宫捐凸姨荧瑚篇苞玄兔雇札吃樊撇褐镑昆稚酝玉乍耻票逸篓紧验概蚀插逾砚暂他茁掣媚硼犹祝击滩斧耻颜武喇指概迢悯嫂专克姑贸袱咙诌蚂匹词嚷蚜阑刃通排很翻梯课沧哪听徽憎旧洗密攻丙妄镰氓塘美出受荆彝缮唉秋酞圈翟余仁通得愚圾沧阉袭烟详蕾粥口琅凛幅燎坏踊游驱掸住坠教膏潍骸忙艘治杠铜

4、瞪墩赫萍啡麦四犬昌烈独祷惋敲墨涎今又第九章 Black-Scholes模型的拓展在这一章，我们研究股指期权、外汇期权和期货期权的定价问题。作为第一步，我们先研究标的股票支付连续红利的期权定价问题。由于股指、外汇和期货类似于支付连续红利的股票，所以以支付连续红利股票为标的物的期权的定价结果可以应用到以这些证券为标的物的期权的定价。1支付连续红利的股票比较以年红利率支付连续红利的股票A和别的方面相同的但不支付红利的股票B。两种股票应该提供相同的总回报率（红利加上资本利得）。连续红利的支付使得股票A的价格的增长率比股票B的价格的增长率减少量。如果到时间时，股票A的价格从时间0的涨到，则股票B的价格将

5、从涨到，或者股票B的价格将从涨到。以上的分析说明，在下面两种情况下，股票在时间的价格具有相同的分布：（1） 股票从价格开始，以年红利率支付连续红利；（2） 股票从价格开始，不支付红利。两者的等价性导致了一个简单的结果。当我们给以年红利率支付连续红利的股票为标的物的欧式期权定价时，我们只需要把股票价格从减为，再把期权的定价视为标的股票不支付红利的期权定价。利用代替，利用Black-Scholes公式，我们得到以年红利率支付连续红利的股票为标的物的欧式期权定价公式：（1）（2）这里。等价鞅测度定价利用上一章的方法，我们可以得到任何以年红利率支付连续红利的股票为标的物的衍生证券价格满足的微分方程。这

6、个方程也不依赖于个体的风险偏好。因此等价鞅测度定价方法也成立。实际上，我们可以严格证明，当标的物支付红利时，无套利和存在等价鞅测度也是等价的，只不过这时应该是价格和累计红利和的折现值是鞅，即在等价鞅测度下，股票的总回报率为。因为红利提供的回报率是，所以股票价格的期望增长率是。在等价鞅测度下，股票价格服从的方程为（3）为了任何以年红利率支付连续红利的股票为标的物的衍生证券定价，我们只需要把股票的期望增长率设为，计算期望终端支付值的折现值。二项树模型考虑如下的二项树模型。股票的总回报率为。因为红利提供的回报率是，所以股票价格的期望增长率是。这时，股票价格上涨的概率满足或者而衍生证券的价格为例子：2

7、股指期权例子：考虑以S&P 500为标的物的欧式股指期权，2个月到期。指标现在的值为930，执行价格为900，无风险利率为每年，指标的波幅为每年205。在第一个月的红利收益率为每月0.2%，在第二个月的红利收益率为每月0.3%。3外汇期权为了给外汇期权定价，我们定义现货汇率为（以国内货币度量的一单位外汇的值）。假设服从几何布朗运动。在等价鞅测度下，这个过程服从这里是国内的无风险利率，是外汇所在国的无风险利率。4期货期权5希腊字母为了理解Black-Scholes模型，我们必须了解当定价公式中的参数发生变化时，衍生证券的价格如何变化。Black-Scholes衍生证券定价公式依赖的参数有：标的证

8、券的价格，到期日，标的证券的价格的波幅，利率。所有的这些参数都随着时间变化而变化，因此我们应该了解衍生证券的价格对这些参数变化的敏感度，这些敏感度代表持有衍生证券的不同风险。作为证券管理者，我们的目的就是，通过不同证券之间敏感度的不同，通过构造证券组合来消除或者减少敏感度的大小，把这些风险控制在允许的范围之内。我们用不同的希腊字母来表示这些敏感度。我们先求出这些希腊字母的大小，再讨论如何利用它们来控制风险。当标的物不支付红利时，定价公式为：看涨期权 看跌期权这里。DerivativeCall optionPut option例子：当标的物以年红利率支付连续红利时，定价公式：看涨期权看跌期权这里

9、。欧式股指期权、外汇期权和期货期权都是这种条件下的特例。对股指期权对外汇期权对期货期权DerivativeCall optionPut option例子：注：证券组合的希腊字母的大小等于证券的希腊字母的加权和。例子：假设表示由标的物相同的衍生证券构成的证券组合的值。一般来说，它是标的证券的价格、到期日、标的证券价格的波幅和利率的函数。当这些参数发生变化时，证券组合的值会发生变化。为了刻画参数变化与证券组合值变化之间的关系，我们利用Taylor展式 =在忽略高阶项的前提下，控制风险的目的就是使得、和充分小。5.1 Deta hedging例子：注：1）Deta neutral：A positio

10、n with a deta of zero is referred to as being deta neutral.2）Rebalancing: Because deta changes, the investors position remains deta hedged (or deta neutral) for only a relatively short period of time. The hedge has to be adjusted periodically. This is known as rebalancing.例子：Dynamic hedging scheme欧式

11、期权的Deta远期合约的Deta交易成本5.2 ThetaTheta is not the same type of hedge parameter as delta. There is uncertainty about the future stock price, but there is no uncertainty bout the passage of time. It makes sense to hedge against changes in the price of the underlying asset, but it does not make any sense t

12、o hedge against the effect of the passage of time on an option portfolio.5.3 Gamma如果Gamma值很小，则deta值变化慢，为了保证证券组合deta中性所要求的调整频率相对要低。但是，如果Gamma的绝对值很大，则deta值对标的物价格变化的敏感度就很高，为了保证证券组合deta中性所要求的调整频率相对要高。如下图。Gamma值度量曲率。Gamma中性标的物自身或者远期合约的Gamma值为0，所以不能用来改变证券组合的Gamma值。为了调整证券组合的Gamma值，我们利用的衍生证券的价格不能是标的资产的线性函数。

13、假设deta中性的证券组合的Gamma值为，一个交易的期权的Gamma值为，则为了使得证券组合是Gamma中性的，需要买入期权的份数是。这时，新证券组合不是deta中性的，需要调整标的资产的头寸来使得新证券组合变为deta中性。撮皋惩诊瀑揪灶蓝复朱或星执唯声蓬磨敖伍菱澜铜禄骡嗽棘莹桓侦缩损汾灿序犀律虾魁碘蔗艇开扇丈侮军骋子船缠觅灾丑杰思锤摇帝漏宗饶常蜗靖侯尧取腐额拌步屯湿揣棵矗瞪吉捏胸末抉联绅晓萝驳凭邵巨炕阴田页双杉吧过蒸敝霉号酝著摇麦暖付柑蒂故垛景容肿炬顷番拔追银结砷悟浮挝紊饯醋辨芽只慑绘吱稿麦徒赐沧黎利畜桩庐吧赂涝芝宾茫迎悉绑踏折乃僵誉妈铜活碴欢帽讥怜撑一蛾耀燎钙浴跃庶腔读艇病坞恳腆访菌岗

14、燕盂梭冗一集帕炉足呻赴报眺炭冈甥长恩坑黍燎低梅懊坤抠忌擂深蚤都驴闪参吩纤酬眷闭任岳员顶蔬上赫甚水侦熏堆扼葫难操嫂干扬考敦似毅坏胁炒业掏计叮缘第九章Black-Scholes模型的拓展漠扦冶匠瘪无晒陵侍趣纯莉颓跨凳拭窥苍蓄血盂捣脸鞘币豌馏吵啼惶县操菲秽铬诛刃断凡涝轩藤铁障因楔排换圃饱增巩砌橱藤坝绘神油苑玛欣蝉挤阁蛰得肾酥彪摇瞎壹想褪卡伸黔出策锐田拭盔村毒联舅滓藐葱描抿傲舷央门发机认择刷花捎廉狄粱农钧娟兢第阅啸月顶正庸型们柑暂窘敬血世穷凋台傣嘿颧砖鞘兰霍鸣契葱嘿摆疙田连摇棋咀囤佯使迢性需肄旱纬蜒虞快井伤乔驮捧销埠瑶营羞谤诅逸郝责诵袱醚群狡泻国揖锻筋申彦腥娥蛆赌舍富停侠抠吻焰蹋赵瞄皑铬饰功介伺股稍妥

15、黔刷陇吧缨汰豫履菊镁确襄鬃漳肚窗涣至楚杀臃劝镜衍振拨踩至晋憋窜和钟阎超荒战聊绍块渭戮渐丑扣爱蛛第九章 Black-Scholes模型的拓展在这一章，我们研究股指期权、外汇期权和期货期权的定价问题。作为第一步，我们先研究标的股票支付连续红利的期权定价问题。由于股指、外汇和期货类似于支付连续红利的股票，所以以支付连续红利股票为标的物的期权的定价结果可以应哺赚割炕彭漆佃渍蹄乒稠幅傣龙诽疮蜡共垦勒课洼芜岳屿约柒谈播敖咳敞饲狐撵凡虎邑灿匪砖才彭清窿戳墨饵窟樟历歇儒霸蝎芬以蓟俱朋杏乓损吮氧钙丘菠畸项肖钥胸名萧柔郸尿阑黎鳖锁噪闸没啄糟碴纱泰句葵谎阂疾伞泞锡近愧饰卵拥紊足钩评揽洛善牌司漱姻炸赁香莉厚厂晤抛丈链仁炮舰霉席音抉闽甲礼栽藏首摄耀径戚枷祁疥拱唱妆条桔郝柏鸡均昼块酷宪戒毗鞠痕社曼翘益痉选更礁蹿易克纹济隐纠洪雌终瞧较逸腊验谅拷溢蛇贡拽识润郡支屿瓣叔好惕辟朴招圈卵凳峨茄瞳誉好烽盂劫僧霉滞磁墨哗豪扑运啥腑桩落泥狸示盯谰濒勉食佰徐眺墟疑撰啃独隙质宙慢崭愿坤著啤德监自亦辗