二维随机变量函数的分布.ppt

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1、华中科技大学文华学院,概率论与数理统计,2010年3月5月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,15994278022（Mobil）,4 两个随机变量的函数的分布,第三章,二维随机变量及其概率分布,退出,知识点、考点举要,一基本概念,二常用重要函数分布的求法,退出,范例选析,思考与练习,两个随机变量之和的分布,4 两个随机变量的函数的分布,两个随机变量最大与最小取值的分布,退出,退出,返回,在离散量的分布列中,对X,Y 所有能使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行归并(例如,固定一个变量的取值,然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率),所得之和即是函数 Z 在同一可取

2、之值上的取值概率.,1.离散变量之和的分布列可用归并法求之,Z=XY,一、和的分布,试求 的分布列,退出,返回,例1 设随机变量(X,Y)的联合分布列如下,在联合分布列中对使 Z,解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2,8.,可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并,即得Y 的分布律如下,0,0.02,0.24,0.19,0.13,0.06,0.19,0.12,0.05,一、和的分布,退出,2.连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之,利用分布函数转化法可以证明:将联合概率密度中的任一变量改写成和变量与另一变量的差,然后关于另一变量在(,)上积分,即得和的概率密度:,返回,或,Z=XY,一、和的

3、分布,退出,证 Z 的分布函数,Z 的概率密度,返回,例2-1 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y).证明 Z=XY 的概率密度,或,一、和的分布,退出,证,Z 的概率密度,返回,例2-1 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y).证明 Z=XY 的概率密度,或,类似地,一、和的分布,退出,例2-2 两标准正态量 X 与Y 相互独立,求其和,的概率密度.,解,返回,于是,依卷积公式即得,且相互独立,联合概率密度,即,一、和的分布,3.若干重要独立量的和的分布可加性,换言之,如果相互独立的随机变量 Xi N(i,i2),i=1,2,k 那么,其任意的线性组合量 Z=b 1

4、 X1+b 2 X2+b k X k 也是正态量，且有,退出,返回,Z=XY,一、和的分布,有限个相互独立的正态量的线性组合仍然,是正态量.,3.若干重要独立量的和的分布可加性,换言之,如果相互独立的随机变量 Xi B(ni,p),i=1,2,k 那么,其和变量 Z=X1+X2+X k 也是二项分布量，且有,退出,返回,Z=XY,一、和的分布,是二项分布量.,因此,服从B(n,p)的二项分布量是 n 个相互独立的 0-1量之和.,有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然,3.若干重要独立量的和的分布可加性,退出,返回,Z=XY,一、和的分布,有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量.,换言之,如果

5、相互独立的随机变量 Xi P(i),i=1,2,k 那么,其和变量 Z=X1+X2+X k 也是泊松量，且有,退出,例2-4 两 0,1 上的均匀量 X 与Y 相互独立,试求和变量,的概率密度.,解,返回,于是,依卷积公式,即得,且相互独立,概率密度,1,Z,X,O,z=x+1,z=x,1,x=z,一、和的分布,例2-4 两 0,1 上的均匀量 X 与Y 相互独立,试求和变量,的概率密度.,解,且相互独立,概率密度,于是,依卷积公式,即得,1,Z,X,O,z=x+1,1,x=z,x=1-z,退出,返回,一、和的分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y)

6、,如果随机变量 X 和Y 相互独立，分布函数依次为FX(x)和FY(y)，则最大值 M=max(X，Y)与最小值N=min(X，Y)的分布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,1.最值分布的分布函数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y),即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,1.最值分布的分布函数,【最值分布函数计算式的证明】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y),1.最值分布的分布

7、函数,【最值分布函数计算式的证明】,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y),即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取 k 值的所有概率的总和,2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y),即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取 k 值的所有概率的总和,2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,返回,例2-1 设随机变量（X

8、，Y)的分布律为,试求 max(X，Y)与min(X，Y)的分布律.,M 取其中任一,M=max(X，Y)的取值范围显然为05,解,值 i 的概率(即分布律)为,0,0.04,0.16,0.28,0.24,0.28,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-1 设随机变量（X，Y)的分布律为,试求 max(X，Y)与min(X，Y)的分布律.,N 取其中任一,N=min(X，Y)的取值范围为03,同理,值 i 的概率(即分布律)为,0.30,0.25,0.17,0.28,二、最大与最小值分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M=max(X，Y)与 N=min(X，Y),如果随机变量 X 和Y

9、相互独立，分布函数依次为FX(x)和FY(y)，则最大值 M=max(X，Y)与最小值 N=min(X，Y)的分布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,3.连续变量的最值概率直接由分布函数计算,退出,返回,例2-2 设随机变量Xi(i=1,2,5)是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，概率密度为,求 M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数以及概率 P M 4.,各 Xi 的分布函数都为,从而，M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数为,解,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-3 某型电子管寿

10、命(小时)服从正态分布 求任取4只,无一只的寿命小于180小时的概率.,且各Xi(i=1,2,3,4)相互独立.,解,以Xi(i=1,2,3,4)分别记4只电子管的寿命，则显然,令N=min X1,X2,X3,X4，则应求的概率,二、最大与最小值分布,相互独立时,k 个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数(关于1)的补数之积的补数,即,退出,返回,4.多维独立随机变量最值分布的一般性结论,二、最大与最小值分布,若 k 个随机变量同分布(包括同参数),则有,其中,FX(x)表各随机变量共同的分布函数.,求 的概率密度.,三、范例选析,退

11、出,*例3-1 设 X 与Y 相互独立,概率密度分别为,解,依卷积公式,返回,1,Z,X,O,1,z=x,x=1,退出,返回,例3-2 随机变量（X，Y)的联合分布律如右表所示:,试求概率 P X=2|Y=2 以及 max(X，Y)的分布律.,解,两边缘分布列如联合,分布列加边后算出的数字所示.,8/18,4/18,6/18,7/18,6/18,5/18,条件概率,M=max(X,Y)的分布律,1/6,三、范例选析,退出,*例3-3 设随机变量,试求随机变量,解,各Xi 的分布函数,返回,相,概率密度皆为,互独立,服从同一分布,的概率密度.,三、范例选析,课外书面练习,退出,返回,概率统计练习

12、册 P19：1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二维离散与连续随机变量基础知识)P20:2.(求二维离散变量的联合分布律)3.(求联合概率密度的未知参数与计算概率),参考答案,退出,返回,(6),(3),(4),(2),以及,1(1),(5),参考答案,退出,返回,*2,3(1)(2),(3)(4),课外书面练习,概率统计练习册P21,P22 P21:4.(二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识)5.(求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度)P22：6.(求二维随机变量的取值概率与边缘概率密度)7.(求二维均匀量的联合概率密度及其函数值),(3),.,参考答案,退出,返回,(2),(2)

13、均匀分布,面积,1,4(1)二维正态分布,5(1),参考答案,退出,返回,(2),6,7(1),课外书面练习,概率统计练习册*P23,P24 P23：8.(条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识)P24：9.(求联合分布律，判断离散量的相互独立性)10.(求未知分布参数与两个边缘概率密度，判断连续量的相互独立性),(3),.,参考答案,退出,返回,(4),(2),8(1),(6)相互独立,(7),(5)相互独立,X 与 Y 相互独立.,参考答案,退出,返回,10,9 联合分布列与边缘分布列为,因为至少有,所以 X 与 Y 不相互独立.,课外书面练习,概率统计练习册*P25,P26 P25

14、:11.(应记忆的和的分布密度与最值分布函数的确定公式)*注意:(2)中表记概率密度的字母都应由大写F 改为小写 f 12.(确定离散量的未知参数、求条件概率与和的分布律)P26:13.(求连续量的和的概率密度),(3),.,参考答案,退出,返回,(2),11(1),参考答案,退出,返回,13 Z=X+Y 的概率密度,从而概率,12,(2)边缘分布律,(3)W=X+Y 的分布律,(1),您真的要退出吗？,Yes,No,多媒体研制组,二0一0年四月,概率论多媒体课件,Exit,特点:,1.积分是无穷限的广义积分;,函数简介,定义:,2.可以证明，r 0 时，积分收敛，即,收敛,收敛,函数的若干重要性质：,函数简介,证明,证,函数简介,返回,