《现代机械工程图学》课件.ppt

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1、,3.3 点、直线、平面的相对位置,3.3.1 两直线的相对位置,3.3.1.1 投影特性,两直线的相对位置有平行、相交和交错三种。其投影特性见下表,3.3.1.2 重影点及可见性的判别,利用重影点可判别交错直线在重影处投影的可见性。注意：各投影的可见性要分别加以判别。,3.3.1.3 两直线垂直 1.性质,空间两直线垂直相交，若其中一直线平行于某一投影面时，它们在该投影面上的投影相互垂直。反之，相交两直线在某一投影面上的投影成直角，而其中一直线平行于该投影面，则该两直线在空间必定垂直相交，如图（a）所示。该性质可称为直角投影定理。其亦适用于垂直交错的两直线。,2.两直线垂直的投影图,(b)直

2、线BC为水平线（c）直线EF为正平线,3.两直线垂直的应用例1 求点K到直线AB的距离L。,（1）分析：该问题曾用直线的二次辅投影求作过。现根据直角投影定理，可将一般位置直线AB变换成投影面平行线，作出点线距离的投影。然后再求真长L。,（2）作图,作一次辅投影，将直线AB变换成投影面平行线，在辅投影中作出k1c1 a1b1并返回作出投影kc、kc。再用直角三角形法（或其他方法）求L。,例2 已知点A的H投影a，求作一等边三角形ABC，其边BC在水平线MN上，高AK=30。,（1）分析：等边三角形具有性质：高与边垂直；三边等长；三角相等为60。根据直角投影定理和已知条件，高投影可作出且该等边三角

3、形边长可求。由此可完成等边三角形的各投影。,（2）作图,如图所示，作akmn，交mn于k，并作出k。按高30，作直角三角形A0ak得到高AK的Z坐标差而求出 a。再作30角的三角形A0B0k，得到边的实长。最后于mn上作bc等于实长，求出b和c并完成等边三角形的各投影。,例3 求作矩形ABCD。已知边AB，而邻边BC的端点C在V面上，并在H面上方25。,（1）分析：矩形邻边垂直，即有CBAB。已知AB为一般位置，由直角投影定理知，只有将AB边转换成投影面的平行线才能作出垂直关系。用辅投影法求解。,（2）作图,如图所示，作使直线AB成为投影面平行线的一次辅投影得到a1b1，并过b1作 a1b1的

4、垂线与距轴X1为25的平行线相交，交点即为C点的辅投影c1。由c1作轴X1的垂线并与轴X相交，交点即为C点的H投影c，再作出其V投影c。分别连接bc、bc完成边BC的投影。由矩形对边平行，其平行性投影不变的原理完成矩形ABCD的投影。,3.3.2 直线与平面的相对位置,直线与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。,3.3.2.1 直线与平面平行 定义,一直线平行于平面上的一直线，则此直线与该平面平行。,基本作图1：过线作面平行于已知面,例 过直线AB作一平面平行于直线EF，（AB、EF为二交错直线）。,（1）分析 由线面平行定义，对交错直线AB、EF，只要将EF平行移动与AB相交确定的平面即为所

5、求。,（2）作图,如图所示，过直线AB上任意一点（如点B）作BC/EF，得到相交二直线AB与BC确定的平面即完成作图。,基本作图2：判别直线是否平行于已知平面。,例 判别直线AB是否平行于已知平面P。,（1）分析 由线面平行定义，只要判断在已知平面上是否能作出一直线与已知直线平行即可。,（2）作图,如图所示，在平面P上作直线MN，使mn/ab(或mn/ab)，检查另一同面投影mn不平行ab，所以直线AB不平行平面P。,直线与平面相交于一点，它是直线和平面的公有点。线面相交问题是如何作图求交点和判别线面投影之间的遮蔽（即可见性）。线面相交的基本作图与直线、平面和投影面的相对位置有关。可按如下三方

6、面进行讨论：1 面为投影面的垂直面时；2 线为投影面的垂直线时；3 线、面均是一般位置时。,3.3.2.2 直线与平面相交 概述,1.平面为投影面的垂直面,例1 已知一般位置直线AB和铅垂面CDEF，求AB与CDEF的交点K，并判别可见性。,（1）分析 利用面的积聚投影及点线关系求交点。利用重影点判别可见性。,（2）作图,如图所示，面的积聚投影cdef与ab的交点即所求交点K的H投影k。再由k作投影连线与ab的相交点，为点K的V投影k，即完成求交点的作图。交点K是可见与不可见的分界点，其V投影k。其余在投影中出现的相交点则是重影点的投影，如2（1），利用重影点的相对位置即可判别可见性。由于y2

7、y1，说明在之前，即线段BK在平面CDEF的前面，所以bk为可见。,2.直线为投影面的垂直线,例 已知正垂线AB和一般位置平面三角形CDE，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。,（1）分析 利用线的积聚投影及点线面的关系求交点。利用重影点判别可见性。,（2）作图,交点K的V投影k与AB的V投影ab重影。再过k作三角形CDE面上的直线CF的V投影cf，其H投影cf与ab的相交点，即为点K的H投影k。利用重影点判别可见性，结果如图所示。,3.线、面均是一般位置,例 如图，直线AB与三角形DEF均为一般位置，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。,（1）分析,如图所示，设交点K已求出，

8、过点K在三角形DEF上任作直线MN，则MN和AB构成辅助平面P。MN是DEF与P的交线，而MN与AB的交点即是K。过点K在DEF上的作直线是无数的，所以包含AB的辅助平面是无数的。一般应选择与投影面垂直的平面。综上所述求交点的步骤可归纳如下：（i）包含已知直线作辅助平面P（一般为投影面的垂直面）；（ii）求平面P与已知平面的交线MN；（iii）MN与已知直线AB的交点K即所求；（iiii）判别各投影的可见性，完成投影。,（2）作图,如图所示，包含已知直线作铅垂面P，即过ab的投影PH；再求平面P与已知DEF的交线MN（mn、mn）；而MN与已知直线AB的交点K（k、k）即所求；判别各投影的可见

9、性，完成投影。,一般位置直线AB和迹线平面Q的交点,如图所示，作图过程与前述完全一样。,3.3.2.3 直线与平面垂直 概述,直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交直线，则该直线垂直于平面。如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2（或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平面上的所有直线。,基本作图1 过点K作直线KD垂直于平面。其中（a）为三角形ABC；（b）为迹线平面P。,基本作图2 作直线AB的中垂面。其中（a）由相交两直线确定；（b）作迹线平面P。,3.3.3 平面与平面的相对位置,平面与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。,3

10、.3.3.1 平面与平面平行 概述,一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则两平面平行。如图，平面P和Q上各有相交直线p1、p2和q1、q2，若p1/q1、p2/q2，则P/Q。,基本作图1 过点作平面平行于已知平面。,例 如图，过点K作一迹线平面Q平行于已知平面P。,（1）分析 根据两平行的迹线平面，其各同面迹线应相互平行和点在面上，点必在面的直线上。因此作图应使所作平面包含已知点K且其迹线平行于已知平面P的相应迹线。,（2）作图,如图所示，首先过点K作一辅助线与已知平面P的一迹线平行，如图中作正平线KM/PV 并求得其水平迹点M。再过迹点M作QH/PH、QV/PV，平面Q即

11、为所求。,基本作图2 补全平面形的投影。,例2 已知相交二直线DE、FG所确定的平面平行于三角形ABC，补全三角形ABC的投影。,（1）分析 根据两平面平行的性质和线面的从属关系，应使所作平面包含与已知平面上对应的相交直线平行的直线，以次完成ABC投影。,（2）作图,如图所示，首先可过已知点C（c、c）作直线CI、CII分别与相交二直线DE、FG平行且点I、II取在直线AB上。V投影为c1、c2，并求得H投影为c1、c2。再连1、2与过a、b的投影连线相交即得到ab。最后连接ac、bc 完成三角形ABC的投影。,平面与平面相交于一直线，它是二平面的公有线。面面相交问题是如何作图求交线和判别二面

12、投影之间的遮蔽（即可见性）。面面相交的基本作图与平面和投影面的相对位置有关。可按如下两方面进行讨论：1.平面之一为投影面垂直面时；2.二平面均是一般位置时。,3.3.3.2 平面与平面相交 概述,1 平面之一为投影面垂直面,例 已知正垂面ABC和一般位置平面三角形DEF，求它们的交线MN，并判别可见性。,（1）分析 根据平面的积聚性和线面关系求交线，并由重影点判别可见性。,（2）作图,正垂面ABC和三角形DEF交线MN的V投影应与abc重影，为mn。由此作出其H投影mn。利用重影点判别可见性，结果如图所示。,2.二平面均是一般位置,（1）分析 求它们的交线可转化成用一个平面上的直线与另一平面相

13、交求交点的方法解决。用重影点判别可见性。,例 已知三角形ABC和DEF均为一般位置平面，求它们的交线MN，并判别可见性。,（2）作图,如图所示，可选择三角形ABC中的直线AB、AC，分别包含它们作辅助面P、Q（图中为铅垂面），求出AB、AC与三角形DEF的交点M（m、m）、N（n、n），连接MN（mn、mn）即是所求交线。判别可见性的作图，其方法与判别直线和平面相交时的可见性相同，见下图。,判别可见性,两平面形相交，从形式上看，有如下图（a）（b）所示的两种情况。（a）图是三角形ABC穿过三角形DEF，交线MN。（b）图是将三角形ABC扩大成三角形AGC，则两三角形互相有一部分相交，交线NK。

14、但不管是哪种形式，其实质是相同的。,对交线情况的分析,（1）分析：如图所示，根据“三面共点”原理，作辅助平面和已知二相交平面分别相交得到交线，此二交线的交点即为相交平面的交线上的点。应当注意的是，为使作图简便，所作的辅助面应选择特殊位置平面（一般为投影面平行面）。,用“三面共点”原理求作二平面交线,（2）作图,3.3.3.3 平面与平面垂直 概述,如图所示，若直线AB垂直于平面P，则包含直线AB的平面Q、R等必都垂直于平面P；或者，若平面R垂直平面P，则在平面R上任取一点C，作CD垂直于平面P，则直线CD必在平面R上。,例 过直线EF作平面垂直于三角形ABC（直线EF不垂直于三角形ABC）,基

15、本作图1：过直线作平面与已知平面垂直,（1）分析 根据面面垂直的性质，作已知平面的垂线与已知直线即组成所求平面。,如图所示，首先在三角形ABC上作水平线BI（b1、b1）和正平线CII（c2、c2）。然后过直线EF上任意一点（如E点），作直线ED（ed、ed）垂直于三角形ABC，即有 edb1、edc2。由相交直线EF和ED所确定的平面即为所求。,（2）作图,例 判别三角形ABC和DE/FG确定的平面是否垂直,基本作图2 判别两平面是否垂直,（1）分析 根据面面垂直的性质，可先作一已知平面的垂线，再判别该垂线是否在另一平面上而得出结论。,（2）作图,如图所示，在DE/FG确定的平面上过点F作三

16、角形ABC的垂线FK。再检查直线FK是否在F点所在的平面上。图中由于点K不在DE/FG确定的平面上，故两平面不垂直。,3.3.4 综合几何问题,常见综合几何问题有距离、角度的度量和轨迹作图等。距离的度量有一般位置直线的实长（两点之距）、点线、线线、两平行平面之间的距离等。角度的度量有直线、平面对投影面的倾角，两直线（相交或交错）的夹角，线面、面面夹角等。轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。部分常见轨迹有：与一定点等距离点的轨迹是以此点为中心的球；与两已知点等距离点的轨迹是两点连线的中垂面；与一已知直线等距离点的轨迹是一直圆柱面；过一定点而与投影面成一定倾角直线的轨迹是一正圆锥面；与两相交平面等距

17、离点的轨迹是两平面的等分角面；与不在一直线上的三点等距离点的轨迹是一直线，该直线过三点所确定的圆的圆心且垂直于该圆面。综合几何问题的作图往往是由一些基本作图综合组成，因此对已学过的基本作图方法必须很好理解和掌握。,概述,综合举例,例1 已知ABC平面外同侧两点D、E，求作ABC上一点G，使点G到点D、E的距离之和（DG+EG）为最短。,空间分析,如图所示，点D、E在三角形ABC同侧，若三角形ABC上所求点G已作出，而欲使（DG+EG）为最短，则只有点D、E、G在一直线上时成立。但已知点D、E在三角形ABC平面的同侧，因此只有转换（DG+EG）=（FG+EG）=EF，这时点D、F就应是三角形AB

18、C的垂直线且有DM=FM（点M是DF与三角形ABC的交点）。,拟定作图方法,根据以上分析，作图方法可拟定为：（1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M；（2）延长DM到F，并取DM=FM；（3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所求点G。,具体作图,如图所示，采用一次辅投影将三角形ABC转化为投影面的垂直面，在一次辅投影中完成上述作图步骤，求作出点G的一次辅投影g1。返回求作g、g，应注意利用点G在EF上且df/X1。如果不用辅投影，采用直接作垂线、求垂足，再求EF与三角形ABC的交点G，则作图较繁。,例2 求作直线MN，既与平面P垂直，又分别与直线CD、EF相交于点M、N。,空间分析,如

19、图所示，与平面P垂直的直线，不一定能与CD、EF都相交；而与CD、EF都相交的直线又不一定垂直于平面P。运用轨迹概念，可知分别与直线CD、EF相交且垂直于平面P的直线的轨迹各是一包含CD、EF的平面，此两平面的交线即是满足条件的直线。图中所作的平面CDdc和EFfe即是垂直已知平面P且各自包含CD、EF的平面，交线MN即所求。,拟定作图方法,若按上述分析作图，则（1）首先作出已知平面P的垂线；（2）将作出的垂线各自与已知直线CD、EF组成平面；（3）求作两平面的交线即所求直线MN。可将上述作图过程简化如下：（1）过CD（或EF）直线作一平面垂直于平面P；（2）求出直线EF与该平面的交点N；（3

20、）过点N作直线垂直于平面P，则必与直线CD交于点M。,具体作图,如图所示，过直线CD上点C作平面P的垂线CG（cg、cg），求直线EF与CG和CD组成平面的交点即N，过点N作CG的平行线与CD交于M，则MN即所求。,垂直于平面P的直线有无数条，它们的方向是相同的。因此，可由已知平面P求出它的垂直方向S，而所求直线MN必与S平行，如图所示。有了所求直线MN的方向，则将方向为S的垂线变换成某一辅投影面的垂直线，已知直线CD、EF在该辅投影面上的投影如果相交，则该交点即为所求直线MN在该辅投影面上的积聚投影，即确定了所求直线MN的位置。同时，根据已知直线在该辅投影面上的投影是否相交的情况可判断解的有

21、无。按此分析用辅投影法解题见下图所示。,另一种分析,辅投影法,例3 求作直线EF与ABC的夹角。,空间分析,直线（EF）与直线在平面（P）上的投影（ef）之间所夹的锐角（）称为直线对平面的夹角，如图所示。因此，求直线EF与ABC的夹角，应先由点E（或F）作ABC的垂线，并求出垂足，再求作直线EF与ABC的交点，最后求作夹角的真形。但若采用余角法，则可省去求垂足和求直线与平面的交点。,拟定作图方法,采用余角法。欲求夹角，可先求其余角，因此，如图，可过直线上点E作平面的垂线，该垂线与已知直线所夹之角即所求夹角的余角。然后求作角的实形，则所求夹角=90-。,具体作图,（1）作ABC面上的水平线BI（

22、b1、b1）和正平行CII（c2、c2）；（2）过已知直线上点E作EGABC（egc2、egb1）；（3）在所作垂线上任取一点M（m、m）组成平面形EMF；（4）经过二次辅投影求得EMF的实形，m2e2f2即余角，角=90-即为所求。,例4 在H面上找一点S，使其到ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。,空间分析,如图所示，由“与两点等距离的点的轨迹是两点连线的中垂面”推理可知，与A、B、C三点等距离的点的轨迹应是该三点两两连线的中垂面的交线（即是一直线）。此交线与H面的交点即为所求点S。,拟定作图方法,由上述分析可分别作出AC、BC连线的中垂面，中垂 面有两种作法：（1）几何元素表示。以过A

23、C、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线、水平线表示（2）迹线表示。作出过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线的水平迹点M、N，由此作出分别垂直于AC、BC的中垂面Q、P。中垂面作出后，它们的交线求作在（1）的几何元素表示时，作图过程复杂。而在（2）以迹线表示时，作图过程比较简便。且两迹线平面的H迹的交点即是所求点S的H投影s。,具体作图,用迹线表示中垂面，先过AC、BC中点E、F分别作与AC、BC垂直的正平线EN、FM，它们的水平迹点是N（n、n）、M(m、m)。过n作ac的垂线即是AC中垂面的H迹QH，过m作bc的垂线即是BC中垂面的H迹PH。它们的交点即所求点S的H投影s，

24、作出其V投影s(在轴X上)。而中垂面的V迹可以不必作出。,例5 求作平面Q垂直于已知平面P。平面Q过点S，又与点A相距20mm。,空间分析,如图所示，由“与一定点等距离的点的轨迹是以此点为中心的球”可知距点A为20mm的点的轨迹是以点A为中心，半径为20mm的球。而所求平面Q应是该球的切平面，且Q平面应包含已知平面P的垂线。,拟定作图方法,由上述分析可按如下步骤作图。（1）作出已知平面P的垂线SG；（2）将垂线SG经两次辅投影后投影积聚成一点，已知点A随着变换；（3）在两次辅投面上完成以点A为球心，半径为20mm的球投影及过点S与该球面的切平面Q的作图；（4）返回求出平面Q的V、H投影，本题有

25、两解。所求平面均采用迹线平面，使作图简便。,具体作图,（1）作出过S垂直于P的垂线SG（sgPV，sgPH）。（2）将垂线SG作两次辅投影成为点s2（g2），同时点A亦变换成点a2。（3）以a2为中心，20mm为半径画圆，并过点s2（g2）作该圆的切线即是所求切平面Q的二次辅投影，有两解。（4）平面Q在二次辅投影中是投影面垂直面，其一次辅投应与轴X2垂直，以此特性逐一返回，最后求出平面Q的V、H投影，得到解答。,小结,1 一些综合问题采用辅投影法解题比较简便，如例1。2 综合问题的解题思路往往不只一种。同时空间分析与具体作图之间并不完全是一一对应、按部就班，而是在空间分析找到解题思路后还应考虑尽量简化作图过程，如例2、例3。3 应用迹线平面在某些问题的解答中作图比较简便，如例4。,