数学规划之插值法的综合应用.ppt

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1、插值法,插值法,插值法,插值法的一般理论,Lagrange插值,一、数学的期望,实验数据是否存在内在规律?,实验数据的内在规律是什么?,实验数据的内在规律是否有函数解析式?,反映内在规律的解析式是什么?,二、数学的苦恼,数学的苦恼,实例1,标准正态分布函数(x),求(1.014),三、插值引例,插值引例,实例2,机械加工,求机翼下轮廓线上一点的近似数值,该点的值是多少?,插值引例,四、插值问题的提法,插值问题的提法,五、求解插值问题的基本思路,求解插值问题的基本思路,插值的基本原理,常见的插值方法 拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值 牛顿插值 Hermite插值,插值多项式:存在性、唯一

2、性、收敛性,误差估计,六、本章主要内容,主要内容,七、插值法的一般定义,插值法的一般定义,插值法的一般定义,定理1,证明,设有n+1个互不相同的节点,则存在唯一的多项式：,使得,构造方程组,令：,方程组的矩阵形式如下：,所以方程组（4）有唯一解。,证毕,此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。,一般插值多项式的原理,我们的问题是如何确定,进而求得,事实上，方程组的解 a0,a1,an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是此方程组是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法-用程序和

3、Lagrange插值、Newton插值等。,一般插值多项式的原理,A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5,绘制点图,点的绝对直径,插值、插入,一般插值多项式的原理,第一节 Lagrange插值法,插值法,Lagrange插值法的一般理论,Lagrange插值基函数,Lagrange插值余项和误差估计,Lagrange插值多项式的构造,互不相同，不妨设,的插

4、值多项式,Lagrange插值多项式的构造,称为线性插值多项式,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,基函数的图形,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,拉格朗日(Lagrange)插值多项式,优点:结构紧凑,理论分析方便,缺点:改变一个节点则全部的插值基函数都改变,即节点增加,基函数失效,Lagrange插值,定理2,证明,Lagrange插值余项与误差估计,Lagrange插值余项与误差估计,证毕,更有,特别地,当n=1时,线性插值余项为:,Lagrange插值余项与误差估计,当n=2时,抛物插值

5、的余项为:,误差估计,Lagrange插值余项与误差估计,注意,1、此结论适合所有插值多项式。证明过程并未涉及插值多项式的形式。,2、形式上与泰勒余项,很相象，但Taylor多项式要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式要求在n+1个不同点上函数值相等。,Lagrange插值余项与误差估计,例1,解,Lagrange插值余项与误差估计,Lagrange插值余项与误差估计,这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差为,Lagrange插值余项与误差估计,其中,于是,Lagrange插值余项与误差估计,将0,/2 n等分，用g(x)=cos(x)产生n+1个节点，作Ln(x)（取n=1,2),计算cos(/6),估计误差。,若n=1,则(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),例2,解,cos(/6)=0.6667,Lagrange插值余项与误差估计,cos(/6)=L2(/6)=0.8508 精确值：cos(/6)=0.8660,Lagrange插值余项与误差估计,Runge现象:,内容小结,1.插值法概述；,内 容 小 结,2.一般插值多项式原理；,3.拉格朗日插值；,4.拉格朗日插值余项和误差估计；,5.拉格朗日插值多项式的构造。,