常微分方程的数值解法(IV).ppt

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1、1,第八章 常微分方程数值解法,8.1 欧拉法（重点）8.2 龙格-库塔法8.3 亚当斯方法8.4 线性多步法（重点）8.5 方程组与高阶方程的数值解法8.6 边值问题的数值解法,2,欧拉法的几何意义,y,0,xi,x0,x1,xi+1,xn-1,xn,x2,3,8.1.1 矩形法,（）,4,8.1.2 梯形法（改进的Euler方法）,(8.1.4),5,迭代求解隐式方程,（）,6,隐式方程的收敛性,7,隐式方程的收敛性,8,预估矫正法,9,局部截断误差,10,算法精度与局部截断误差的主项,11,欧拉法的局部截断误差,12,梯形法的局部截断误差,13,算法精度,二阶方法,一阶方法,一阶方法,注

2、：也可定义算法具有p阶精度为：算法公式对任意次数不超过p次的多项式准确成立，但对于某一p+1次多项式不准确成立。,14,例 证明Euler方法能准确地求解以下初值问题,15,证明,16,Euler法的收敛性,其中：,17,例考察以下初值问题Euler法的收敛性,解：,18,8.2 Runge-Kutta方法,龙格-库塔（Runge-Kutta)方法的一般形式为：,此类公式 称为 r级 p阶 R-K方法。,使局部截断误差为：,其中:i,i,ij为待定参数,适当选择参数:i,i,ij,i=1,2,.,r,n=0,1,2,.,19,二级二阶Runge-Kutta方法,适当选择参数:1,2,使局部截断

3、误差为：,这里仍假定 yn=y(xn),(r=2)受改进的Euler方法的启发，可设：,20,二级Runge-Kutta方法,由二元函数Taylor展式得：,由一元函数Taylor展式得：,21,二级二阶Runge-Kutta方法,与Taylor展式相比较得：,由于有四个参数，只有三个方程，因此有一个自由参数，即解（计算格式）不唯一。,22,展开Taylor公式到二阶微分,23,二级R-K公式的阶,由R-K公式：,对比Taylor展式：,24,Runge-Kutta方法的其他问题,25,8.4 线形多步法,线性多步法一般形式可设为：,（）,26,基于Taylar展开式的方法,27,1、四阶Adams显示格式,故：,