导数的几何意义(102).ppt

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1、导数的几何意义,平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,割线的斜率,以平均速度代替瞬时速度，然后通过求极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,P,Pn,切线,T,导数的几何意义:,我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线P

2、 Pn趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,问题:,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?,割线PPn的斜率:,设相对于 的增加量为,则,当点Pn无限趋近于点P即x0时,kn无限趋近于切线PT的斜率k.,那么当x0时,割线PPn的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.,“在”点P处的切线的斜率.,注意：曲线在某点处的切线，1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线

3、,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,;,根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。,大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）,*设切点M(),求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的斜率;

4、利用点斜式求切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)利用点斜式求切线方程.(若点不知,则先设、求出点的坐标),请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？,请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？,增（减):,增（减）快慢：,=切线的斜率,附近：,瞬时；,变化率,（正或负）,即：瞬时变化率（导数）,（数形结合，以直代曲）,画切线,即：导数,的绝对值的大小,=切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度（陡峭程度）,以简单对象刻画复杂的

5、对象,切注：,(2)曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线，函数在 附近单调,如图，切线 的倾斜程度大于切线的倾斜程度，,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,见书P9导函数。,说明：“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数f(x)在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数(2)“导函数”：如果对于函数f(x)在开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f(x0)，这样就在开

6、区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f(x)或y.,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；差（2）求平均变化率；化（3）取极限，得导数。极限,小结:,C.导数的几何意义求曲线切线方程:注“在，过”利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，分所给点是切点和不是切点两种情况求解(1)求所给点(x0，y0)为切点，求过该点的切线方程的步骤如下：

7、第一步：求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；第二步：根据直线点斜式方程，得切线方程：yy0f(x0)(xx0),(2)求所给点(x0，y0)不是切点的切线的布骤如下：第一步：设出切点坐标；第二步：利用导数的几何意义及切点坐标写出切线的参数方程；第三步：将点(x0，y0)的坐标代入参数方程求出参数；第四步：写出直线方程.,点拨求曲线的切线要注意“过点P的切线”与在“P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点P处的切线，点P必为切点,简结：在求；过设。,思考题：试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的切线方程分析当点(x1，y1)不在曲线上时，求

8、切线方程的步骤为：设出切点坐标为(x0，y0)；求出过该切点的切线方程yy0f(x0)(xx0)；把(x1，y1)代入上述方程解得(x0，y0)；写出切线方程,解容易判断P(3,5)不在曲线yx2上设所求切线的切点为A(x0，y0)，因为点A在曲线yx2上，所以y0 x20因为A是切点，所以过A点的切线的斜率为y|x y|x=x02x0.又因为切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，,所以切点坐标为(1,1)或(5,25)所以切线的斜率为k2或k10.所以所求切线方程有两个：y12(x1)和y2510(x5)即y2x1和y10 x25.,回顾:方程组法,简结：在求；过设。,作业：片24思考题,课下：p10 A组5,6；B组；三维。,