《线性相关性》课件.ppt
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1、线性方程组及其解法,向量组的线性相关性,线性方程组的解的结构,线性方程组的求解,第8章,向量的线性运算与向量组的线性相关性,学习要求,了解向量的概念,掌握向量的线性运算法则;,理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法;,理解向量组的极大无关组和秩的概念,会求向量组的极大无关组及秩;,了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行、列向量组的秩之间的关系。,向量与线性方程组,引例 一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组;矩阵也可对应一组数组。,向量的定义,如果将有序数组写成一列的形式,则称向量为列向量。,实
2、际上,行向量即为一个行矩阵,列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、同维向量:分量个数相等的向量称为同维向量。,2、相等向量:如果向量 与 是同维向量,而且对应 的分量相等,则称向量 与 相等。,3、零向量:分量都是0的向量称为零向量,记作O。,4、负向量:称向量 为向量 的负向量,记作。,5、向量组:如果n个向量 是同维向量,则称为 向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习:已知,求,解,向量空间,设S是一非空n维实向量集,在S中定义加法和数乘运算,如果对于S中任意两向量 和
3、实数,都有则称S为一个n维向量空间,记作,如,是向量空间,不是向量空间,向量的线性相关关系,解 设,则,所以,线性组合的概念:设有同维向量,如果存在一组数,使得 成立,则称向量 可由向量组 线性表示,或称向量 是向量组 的线性组合。,线性相关、线性无关的概念,显然:含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组,如果存在一组不全为零的数,使得 成立,则称向量组 线性相关,否则,称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时,才成立,则称向量组 线性无关。,证明,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。,任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示,,解 设,则
4、,利用矩阵的初等变换,可求得,注:有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,证明,例5 已知向量组 线性无关,证明:向量组 线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,所以有,由于,事实上,可取,则,否则,若,可推得,这与已知矛盾,所以,定理 若向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则向量 可由向量组 线性表示,而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,不妨设,于是有,则有,解 设,所以,方程组(*)只有唯一的一组解,所以有,解得,小结:,(3)向量 可由向量组 线性表示,线性方程
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