《概率论与数理统计》经典课件-随机过程.ppt

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1、2023/5/31,1,概率论与数理统计,2,随 机 过 程,3,关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数自协方差函数 互相关函数互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程,第十章 随机过程及其统计描述,4,1 随机过程的概念,随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S=e，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：,5,一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过

2、程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。,6,例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T，现定义：,7,8,9,例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：,11,随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：连续参数连续型的随机过程，如例2，例3连续参数离散型的随机过程，如例1，例4离散参数离散型的随机过程，如例5离散参数连续型的随机过程，,12,2 随机过程的统计描述,13,例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：,14,例1：抛掷一

3、枚硬币的试验，定义一随机过程：,15,16,(二)随机过程的数字特征,17,18,19,20,续,21,22,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,23,24,25,3 泊松过程及维纳过程,26,独立增量过程的性质：,27,28,(一)泊松分布,29,30,续,31,证毕,32,33,34,35,36,37,定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量，且服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且

4、服从同一个指数分布。,则质点流构成强度为的泊松过程,38,(二)维纳过程,维纳过程是布朗运动的数学模型 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从正态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。,39,40,41,42,关键词：无后效性(马尔可夫性

5、)齐次马尔可夫链 n步转移概率 n步转移概率矩阵 C-K方程 马氏链的有限维分布律 遍历性 极限分布(平稳分布),第十一章 马尔可夫链,1 马尔可夫过程及其概率分布,马尔可夫性(无后效性)过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻tt0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。通俗地说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”。,44,证毕！,45,由上例知，泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程，维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简称马氏链，记为：Xn=X(n),n=0,1,2,参数集T=0,1

6、,2,，记链的状态空间为：,46,47,Xm+1的状态,48,例2：(0-1传输系统)如图所示，只传输数字0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p，误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn是第n级的输出(n1)，那么Xn,n=0,1,2是一随机过程，状态空间I=0,1，而且当Xn=i为已知时，Xn+1所处的状态的概率分布只与Xn=i有关，而与时刻n以前所处的状态无关，所以它是一个马氏链，而且还是齐次的，它的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：,49,例3：一维随机游动。设一醉汉Q(或看作一随机游动的 质点)在直线上的点集I=1,2,3,4,5作随机游动，且仅在1

7、秒、2秒等时刻发生游动，游动的概率规则 是：如果Q现在位于点i(1i5)，则下一时刻各以 的概率向左或向右移动一格，或以 的概率 留在原处；如果Q现在处于1(或5)这一点上，则下 一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1和5这 两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的 随机游动。,50,解：以Xn表示时刻n时Q的位置，不同的位置就是Xn的不同 状态；而且当Xn=i为已知时，Xn+1所处的状态的概率分布 只与Xn=i有关，而与Q在时刻n以前如何到达i完全无关，所以Xn,n=0,1,2 是一马氏链，且是齐次的。它的一步转移概率矩阵为：如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远留在点

8、1时，此时的转移概率矩阵为：,51,例4：排队模型 设服务系统由一个服务员和只可以容纳两个人的等候室组成。服务规则为：先到先服务，后来者需在等候室依次排队，假设一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客，则该顾客立即离去。设时间间隔t内有一个顾客进入系统的概率为q，有一接受服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为p,又设当t充分小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的，再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的。,52,现用马氏链来描述这个服务系统：设Xn=X(nt)表示时刻nt时系统内的顾客数，即系统的状态。Xn,n=0,1,2是一随机过程，状态空间I=0,1,

9、2,3,且如前例2、例3的分析可知，它是一个齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：,53,例5：有甲、乙两袋球，开始时,甲袋有3只球,乙袋有2只球；以后,每次任取一袋,并从袋中取出一球放入另一袋(若袋中无球则不取)。Xn表示第n次抽取后甲袋 的球数，n=1,2,.Xn,n=1,2,是一随机过程，状态空间I=0,1,2,3,4,5,当Xn=i时，Xn+1=j的概率只与i有关，与n时刻之前如何取到i值是无关的，这是一马氏链，且是齐次的,一步转移概率矩阵为：,例6：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态，

10、用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：111100111 设Xn为第n(n=1,2,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链.求(1)一步转移概率矩阵;(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.,解:(1)设Xn为第n(n=1,2,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，状态空间I=0,1，96次状态转移情况是：00：8次；01：18次；10：18次；11：52次；因此一步转移概率可用频率近似地表示为：,56,57,58,59,2 多步转移概率的确定,60,证毕！,61,62,6

11、3,从0出发，经4步首次回到0状态,64,续,65,66,3 遍历性,67,68,69,齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性？如何求出它的 极 限分布？有限链的遍历性的充分条件：,70,71,例1：一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是 两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是 否具有遍历性，若有，求出极限分布。,72,例2：一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是 两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻转移到1和3 的概率各为。写出一步转移概率矩阵，判断此链是 否具有遍历性，若有，求出极限分布。,73,例3：一质点在1,2,3

12、三个点上作随机游动，1和3是两个 吸收壁，当质点处于2时，下一时刻转移到1和3的 概率各为。写出一步转移概率矩阵，判断此链是 否具有遍历性?若有，求出极限分布。,74,例4：设有6个球(2个红球,4个白球)随机平分放入甲,乙两个盒中.今每次从两盒中各任取一球并进行交换.表示开始时甲盒中的红球数,Xn(n0)表示经n次交换 后甲盒中的红球数.(1)求此马氏链的初始分布;(2)求一步转移概率矩阵;(3)计算;(4)判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。,75,76,77,关键词：(宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 谱密度,第十二章 平稳随机过程,78,1 平稳随机过程的概念,

13、79,80,81,82,83,84,85,86,续,87,88,2 各态历经性,如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？按照数学期望和自相关函数的定义，需要时，一个平稳过程重复进行大量观察，获得一族样本函数用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：,89,平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,续,101,证毕

14、！,102,103,见下页,104,105,各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t+，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。,106,3 相关函数的性质,见下页,107,见下页,108,109,证毕,柯西施瓦兹不等式,110,应用：,111,4 平稳过程的功率谱密度,(一)平稳过程的功率谱密度,114,115,116,117,118,(二)谱密度的性质,119,表 12.1,121,122,123,124,125,126,(三)互谱密度及其性质,127,2023/5/31,课件结束!,