函数单调性与极值.ppt

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1、3.3 函数的单调性及其极值,一、函数单调性,二、函数的极值及其求法,返 回,在某区间的切线,轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升如图（a），,如果曲线,若这个角是钝角，则该曲线在该区间内是下降的如图（b）。,返 回,猜想：,一、函数的单调性,返 回,证,应用拉氏定理,得,返 回,例1,解 该函数的定义域为,返 回,返 回,例2,解,返 回,返 回,确定某个函数单调性的一般步骤是：,（1）确定函数的定义域。,这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。,（3）确定,在各个子区间内的符号，从而判断,返 回,例3,证明不等式,证,返 回,（2）设,返 回,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得

2、极值的点称为极值点.,二、函数极值的定义,定义,返 回,极值是局部区域上的最大或最值；在间断点或端点处不考虑极值。,三、函数极值的求法,定理2(必要条件),定义,注意:,例如,返 回,定理3(第一充分条件),(是极值点情形),(不是极值点情形),返 回,运用定理3求函数极值的一般步骤是：,（1）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不 存在的点；,（2）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；,（3）求出函数极值点处的函数值，得到极值。,返 回,例4,解,列表讨论,极大值,极小值,返 回,例5,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,返 回,定理4(第二充分条件),证,同理，可证（2）,返 回,运用定理4求函数极值的一般步骤是：,（1）确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；,（3）求出极值点处的函数值，得到极值。,（2）考虑函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；,返 回,例6,解,（2）因为,所以有,返 回,（3）计算极值：,返 回,小 结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,返 回,