《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限.ppt

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1、,二、两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1.函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见,仅讨论,的情形.,有,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义,且,对上述,时,有,于是当,时,故,可用反证法证明.(略),有,证：,当,定理1.,有定义,且,有,说明:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1 找一个数列,不存在.,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1.证明,不存在.,证:取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在.,2.函数极限存在的夹逼准则,定理2

2、.,且,(利用定理1及数列的夹逼准则可证),圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注,注,当,时,例2.求,解:,例3.求,解:令,则,因此,原式,例4.求,解:原式=,例5.已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明:计算中注意利用,2.,证:当,时,设,则,(P5354),当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为,时,令,例6.求,解:令,则,说明：若利用,则,原式,例7.求,解:原式=,的不同数列,内容小结,1.函数极限与数列极限关系的应用,(1)利用数列极限判别函数极限不存在,(2)数列极限存在的夹逼准则,法

3、1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在.,函数极限存在的夹逼准则,2.两个重要极限,或,思考与练习,填空题(14),作业 P56 1(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(4),(5),第七节,第一章,都是无穷小,第七节,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1.证明:当,时,证:,例2.证明:,

4、证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明:上述证明过程也给出了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,设对同一变化过程,为无穷小,说明:,无穷小的性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若=o(),(2)和差代替规则:,例如,例如,(见下页例3),(3)因式代替规则:,界,则,例如,例3.求,解:,原式,例4.求,解:,例5.证明:当,时,证:,利用和差代替与取大规则,说明,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是

5、的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,2.等价无穷小替换定理,思考与练习,Th 2,P59 题1,2,作业 P59 3;4(2),(3),(4);5(3),常用等价无穷小:,第八节,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义

6、域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有

7、一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,3.P65 题 3,*8,为,连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,P65 题*8 提示:,作业 P65 4;5,第九节,备用题 确定函数,间断点的

8、类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1,1上也连续单调,(递减),递增.,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:设函数,于是,故复合函

9、数,又如,且,即,单调 递增,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:由此可见当,时,有,例4.求,解:,原式,说明:若,则有,例5.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断

10、点.,在点 x=1 不连续,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业P69 3(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6,提示:,“反之”不成立.,第十节,第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在

11、闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值.,例.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可

12、用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,*三.一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念.,定义:,对任意的,都有,在 I 上一致连续.,显然:,例如,但不一致连续.,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在(0,1 上不一致连续.,定理4.,上一致连续.,(证明略),思考:P74 题*7,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提

13、示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,2.设,作业P74(习题110）2;3;5,一点,习题课,备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,二、连续与间断,一、函数,三、极限,习题课,函数与极限,第一章,一、函数,1.概念,定义:,定义域,值域,图形:,(一般为曲线),设,函数为特殊的映射:,其中,2.特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,3.反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4.复合函数,给定函数链,则复合函数为,5.初等函数,有限个常数及基本

14、初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,思考与练习,1.下列各组函数是否相同?为什么?,相同,相同,相同,2.下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数?为什么?,不是,是,不是,提示:(2),3.下列函数是否为初等函数?为什么?,以上各函数都是初等函数.,4.设,求,及其定义域.,5.已知,求,6.设,求,由,得,4.解:,5.已知,求,解:,6.设,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,设,其中,，求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例1.,二、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类

15、间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区间上连续函数的性质,例2.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例3.设函数,试确定常数 a 及 b.,例4.设 f(x)定义在区间,上,若 f(x)在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f(x)对一切 x 都连续.,P65 题 1,3(2);P74 题*6,证:,P74 题*6.证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.

16、,上连续,且恒为正,例5.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,证明:,即,上连续,且 a c d b,例6.设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,三、极限,1.极限定义的等价形式,(以 为例),(即 为无穷小),有,2.极限存在准则及极限运算法则,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小:,4.两个重要极限,6.判断极限不存在的方法,5.求极限的基本方法,或,例7.求下列极限：,提示:,令,则有,复习:若,例8.确定常数 a,b,使,解:原式可变形为,故,于是,而,例9.当,时,是,的几阶无穷小?,解:设其为 x 的 k 阶无穷小,则,因,故,阅读与练习,1.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1 为第一类可去间断点,x=1 为第二类无穷间断点,x=0 为第一类跳跃间断点,2.求,解:,原式=1,(2000考研),注意此项含绝对值,作业 P75 4(1),(4);5;8;9(2),(3),(6);10;11;12;13,3.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,