不定积分换元法(IV).ppt

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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,则称 F(x)为f(x)在区间 I 上的一个原函数.,如引例中,的原函数有,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定

2、义区间上有原函数,定理 2.,原函数都在函数族,(C 为任意常数)内.,证:1),又知,故,即,属于函数族,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C 为任意常数),C 称为积分常数不可丢!,例如,记作,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,例2.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点

3、运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,二、基本积分表,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,(k 为常数),或,或,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,三、不定积分的性质,推论:若,则,例5.求,解:原式=,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用

4、恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,练习,1.证明,2.若,提示:,提示:,3.若,是,的原函数,则,提示:,已知,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5.求下列积分:,提示:,6.求不定积分,解：,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,例2.求,解:,令,则,想到公式,例3.求,想到,解:,(直接配元),

5、例4.求,解:,类似,例5.求,解:,原式=,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,例10.求,解法1,解法 2,同样可证,或,例11.求,解:原式=,例12.求,解:,例13.求,解:,原式=,例14.求,解:原式=,分析:,例15.求,解:原式,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2.求,提示:,法1,法2,法3,