《微积分》第一篇第一章-函数.ppt

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1、高等数学基础微积分,本章重点1、函数概念2、函数的定义域3、函数值的计算4、函数奇偶性的判别,本章难点复合函数的分解,第一篇第一章函 数,一.函数概念,函数是微积分学的关键概念，没有函数，就没有微积分学。,1.在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量。,【例如】,复利问题,圆的面积,一般用x,y,z,s,t等表示变量。,2.在某过程中始终同一数值的量称为常量,3.变量的取值范围称为该变量的变域。,注：变域可用区间、不等式表示：,【例如】,圆周率,中山到广州的直线距离S,一般用大写字母X,D,L等表示变域。,一般用a,b,c,k等表示常量。,4、函数的定义（P-5）,记作：yf(x)，并称 y

2、 是 x 的函数，其中x是自变量，y是因变量，f是对应规则。,函数yf(x)是两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量，f 是对应规则。,定义域,值域,对应法则,函数的定义域：是使函数有意义的自变量x取值的全体。也就是自变 量x允许取值的范围。,二.求定义域,确定函数定义域的三条基本要求：,(1)分式的分母不能为零。即若,则要求,(2)偶次方根下的表达式非负。,即若：,则要求,(3)对数函数中的真数表达式大于零。,即若：,则要求,【例 2.1】,【解】,于是所求的函数的定义域为,【例 2.2】,求函数,的定义域。,【解】,要使得表达式有意义,必须,解这组不等式，得,所以，所求函数的定义域

3、为：,写成区间的形式，得到定义域：,x,3,2,2,【练习1】,【解】,公共部分,【练习2】,【解】,x,3,2,3,得到定义域：,接下来将：,写成区间的形式,三.计算函数的值,就是将自变量的值代入函数的表达式中，计算出因变量(函数)的值来。,解：,【练习3】,设,则,解：,所以选择C.,更复杂一点，可以根据函数在某个表达式上的值，反过来求该函数的计算公式。,例 3.2,已知,解：,代入已知表达式得到：,再将变量 u 替换成 x,就得到所求函数计算公式：,注：这也叫做“换元法”。,判断两个函数相同的方法：定义域和对应法则都相等,四.判断两函数相同,例 4.1,判断下列函数是否相同：,解：,例

4、4.2,判断下列函数是否相同：,【解】,所以它们是不同的函数。,表达式不同，定义域不同,定义域和表达式都相同，所以它们是相同的函数。,五.函数的几何性质,单调性、奇偶性、有界性、周期性,重点：是奇偶性，这里主要讨论函 数奇偶性的判别（单调性放在第三章再讲）,函数的奇偶性,奇偶性：定义1.3(P9),（1）奇函数,（2）偶函数,要注意：所有函数可以分为 奇函数、偶函数和非奇非偶函数。,通过图像可以看出：奇函数的图像是关于原点对称的，偶函数的图像是关于y轴对称的。,奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，奇偶非奇非偶函数，f(x)+f(-x)为偶函数，f(x)-f(-x)为奇函数。,通过定义，我们

5、可以证明得到下面的结论：,提示：有点类似正数(偶)和负数(奇)的关系。,【例 5.1】判断下列函数的奇偶性：,解：,(1)对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定义3.3,知f(x)是偶函数。,(2)对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定义3.3,知 是偶函数。,【练习4】判断下列函数的奇偶性：,【解】对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定义3.3,知 是奇函数。,六.四类基本初等函数,（一）常数函数,要求熟记这五类函数的表达式，定义域。,（二）幂函数,例如：,归纳幂函数的性质：,要学会将这些函数转化为幂函数的形式,（三）指数函数,指数函数的运算性质可依据幂函数的运

6、算性质(1)-(5)。,（四）对数函数,其中a为底数，x为真数,就称为以3为底的对数函数,归纳对数函数的性质:（其中M,N0）,注意：对数一定要“同底数”才能相加减,(a0),七.函数的运算,1、四则运算：加、减、乘、除与我们 通常所知数的运算一样。,2、复合运算这对我们来说，是一种新的运算。,直观地说就是两个函数，一个函数里面再套一个函数，就是复合。,例 7.1,解：,其中u称为中间变量.,由此可见，简单函数经过复合运算，会变成复杂函数。更重要的是，我们可以研究：复杂函数是由哪些简单函数通过复合运算得来的？即复合函数的分解。,例如：函数,可以看作是：,三个函数复合而成。,例 7.2 将初等函

7、数,分解为基本初等函数的复合运算或四则运算。,解：,有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数.,例 8.1:绝对值函数,八.分段函数,注意,1分段函数的定义域是其各段定义域的并集；,【例8.1】,求函数,的定义域。,【解】,定义域D=,分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数.,2求分段函数的函数值，先要确定x取值所对应的表达式，然后再代入求值。,【例 8.2】,给定函数,解：,关键是要注意自变量所在的范围，不同的范围用不同的公式计算函数值。,【练习】,给定函数,【解】,九、经济函数,经济函数主要包括：1、需求函数q(p)(p为价格

8、)2、成本函数C(q)3、收入函数R(q)4、利润函数L(q),生产和经营活动中，人们所关心的问题是产品的成本、销售收入（又称为收益）和利润,它包括固定成本和可变成本,（一）需求函数q(p)(p为价格),（二）成本函数,平均成本：,（三）收入函数,【例9.1】某商品的需求函数为q=100-3p,求 收入函数R(q).,【解】,（四）利润函数,【例9.2】,解：,生产某种产品的固定成本为1万元，,每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：,(1)生产x件该种产品的总成本和平均成本；,(2)售出x件该种产品的总收入；,(3)若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？,（1）生产x件该种产品的总成本为；,平均成本为,（2）售出x件该种产品的总收入为,（3）生产x件该种产品的利润为,【例9.3】,解,设该产品的线性需求函数为,