《工程力学》超静定结构.ppt

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1、超静定结构,141 超静定结构概述142 变形比较法,第十四章：超静定结构,143 力法正则方程144 对称与反对称性质的利用,141 超静定结构概述,1 静定结构或系统,无多余约束的几何不变的承载系统;,其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。,未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目；,2 超静定结构,仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。,未知力的数目与独立平衡方程数目之差。,3 超静定次数,4 多余约束,静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；,与多余约束相对应的反力；,5 多余约束反力,、提高构件的强度和刚度。,6 超静定系统的特点：,、各部分的内力分配与其各部分的刚度

2、比相关。,、可以产生装配应力和温度应力。,7 超静定问题分类,结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是超静定的。,在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的;,仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的;,第一类：,外力超静定系统。,第二类：,内力超静定系统。,第三类：,混合超静定系统；,判断下列结构属于哪类超静定,外力超静定,内力超静定,混合超静定,超静定结构,外力超静定,内力超静定,混合超静定,判断下列结构属于哪类超静定,静定结构，称为三铰拱。,外力静不定，且为一次静不定,判断下列结构属于哪类超静定,静定结构。,内力超静定，一次超静定,判断下列结构属于哪类超静定,8、基本静定基,解

3、除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；,静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。,可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；,也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。,9 相当系统,在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。,10 超静定问题的分析方法,以未知位移为基本未知量。,2.力法：,以未知力为基本未知量。,1.位移法：,列出用位移表示的力的平衡方程,变形比较法,力法正则方程,三弯矩方程,142 变形比较法,原理：,比较原结构与其相当系统在多余约束处的变形，,相当系统应满足原结构的位移边界条件。,变形协调关系。,4.利用莫尔积分,如何用变形比较法求解超静定问题？,1.判

4、定超静定次数,2.释放多余约束,构造相当系统,3.列写变形协调方程,变形协调关系,未知力的方程,解除 多余约束,1 结构静定化,相当系统（以方便为准）,超静定结构的求解思想：,建立,2 在未知力处,变形协调条件,莫尔积分,3 变形条件,关于力的补充方程,例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为L，受力如图，求B处的支反力。,1、确定静不定次数；,2、确定多余约束；,q,A,B,4、列出变形协调条件。,3、去掉多余约束，得到相当系统,5、莫尔积分计算多余约束处的相应位移；,5、用能量法计算梁的弯曲变形。,莫尔积分法,单位力作用下弯矩方程为：,梁的弯矩方程：,在B处加一单位力,进行莫尔积分,

5、6、回代到协调方程中去，求解。,例2、图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为,CD杆的长,BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。,试求悬臂梁AD在D点的挠度。,横截面面积,（1）、判定超静定次数,以CD杆的轴力为多余约束力；,一次内力超静定问题。,（2）、确定多余约束,，得到相当系统。,（3）、去掉多余约束代之以反力,（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为,（5）、用能量法求,单位力作用下的内力方程：,积分得到：,（6）、回代到协调方程中，得到：,求解得到：,故：,（4）、变形协调方程;,（5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角;,变形比较法计算超静定的步骤,（1）、判定超静定次数;,（

6、2）、确定多余约束；,（3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统;,此时多余约束反力作常量处理;,一般情况下，多余约束反力为力的用能量法求线位移；,多余约束反力为力偶的求角位移。,即：将多余约束处的,表示为多余约束反力的函数,（6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。,一旦多余约束得到，系统称为静定，,用能量法求挠度,用能量法求转角,可进行强度、刚度等方面的计算。,1、“所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构均为静定结构。”,2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形几何条件。”,讨论,直梁的静不定,1、EI已知，求轴承反力,2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有高低，使C支座偏离轴

7、线。梁的抗弯刚度为EI，求梁内的最大弯矩。,3、两个横梁的抗弯刚度均为EI24106N2，拉杆的横截面面积为A3104。横梁与拉杆采用同种材料E200GP。P50KN，L=2m,求D点的铅垂挠度。,P,4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连接。求下面梁的中点的挠度。,5、求拉杆BC内的应力。,6、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2，梁的右端用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。求弹簧的变形。,7、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2，用二根长均为的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相等同为EA。求C点的铅垂挠度。,8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连

8、接，梁与杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。,9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。求梁内的最大弯矩。,10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直角拐的抗扭刚度GI4 EI/5，拉杆CD 的抗拉压刚度相等EA2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗弯刚度。求CD杆的内力。,11、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆DG的横截面面积为A，且IA。求C截面处的弯矩。,12、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。,13、图示结构由梁AB与杆CD组成，AC=CB，材料相同。梁截面的

9、惯性矩为I，拉杆的横截面的面积为A。求拉杆CD 的轴力。,14、AB、CD两梁的长度相等均为L，并有相同的抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。CD为简支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作用力方向的位移。,15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的长度做短了=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求装配后两杆的应力。,16 两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；该杆材料的弹性模

10、量为E=210GPa，线膨胀系数。试求当温度升高30后，该杆各部分产生的应力。,17 两根长度各为L1和L2的梁交叉放置如图所示，在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截面的惯性矩分别为I1及I2，梁的材料相同。试问在两梁间荷载是怎样分配的。,二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）,1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形不计。求CD杆的受力。,2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。,3、求B处支反力,4、求B支反力,6、作刚架的弯矩图,8、作刚架的弯矩图,10、求C截面的挠度,11、C支座抬高qa4/3EI，作刚架的弯矩图,12、求C截面

11、的转角,M=2qa2,13、直角拐在支座A处有一沉陷，求在载荷的作用下，A处的约束反力。设GIP4EI/5,=qL4/6EI,14、直角拐的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉压刚度相等为EA，各段的长度均为L，且IAL2，求CD杆的内力并作刚架的弯矩图。,1、求C截面的铅垂位移,三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度EI为常量）,2、作刚架的弯矩图,3、作刚架的弯矩图,4、作刚架的弯矩图,四、静不定综合,1、两根长为L2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝相连。左边梁的抗弯刚度为EI150KNm2，右边梁的抗弯刚度为EI2150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E70GPa，求在两梁的跨中施

12、加两个2KN的力后，金属丝内的应力。,2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1100毫米，GH、EF的直径为D220毫米，材料相同。G0.4E，M7KN。求轴内的最大剪应力。,3、直角拐ABC的直径为D20毫米，CD杆的横截面面积为A6.52，二者采用同种材料制成。弹性模量E200GP，剪变模量G80 GP。CD杆的线胀系数=12.510-6，温度下降50。求出直角拐的危险点的应力状态。,0.6m,4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L4米，力P40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性矩为IZ18.5106mm4，求该梁的最大剪力和

13、弯矩，并求C截面的挠度。,C,5、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为d100毫米，位于水平面内，A端固定，C处铰接钢制直杆CD。已知CD杆的横截面面积为A40毫米2，钢材的弹性模量为E200GPa，剪变模量为G80GPa，线胀系数12.5106(1/oC)。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶M5KNm，且CD的温度下降40 oC，CD杆的内力。AK=KB=BC=0.5m，CD=0.3m,6、图示中的悬臂梁AB1与刚架B2CD需要在B1和B2处铰接，但在铅垂方向存在装配误差。已知各杆均为直径d=20毫米的钢杆，长为L1000毫米，材料的弹性模量为E200GPa，剪变模量G0.4E，

14、许用应力为=100Mpa,且不考虑剪力的影响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差，以及B1和B2间的相互作用力。,7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆DK。制造时DK做短了。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗弯刚度皆为EI、GIP。且GIP4 EI/5。杆DK的抗拉刚度为EA，且EA2EI/(5a2)。求:在AB段的B端加多大的扭矩，才可使C点刚好与D点接触。若C、D两点接触后，用铰链将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK杆的轴力和固定端A截面的内力。,8 直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A、C上，梁与支座B间有一间隙。当加上均布荷载后，梁就发生变形而在中点处

15、与支座B接触，因而三个支座都产生约束反力。如要使这三个约束反力相等，则值应为多大？,143 用力法正则方程解超静定结构,一、力法的基本概念,1、多余约束,如果该处约束反力已知，则力系便成为静定系统；且该约束对体系的几何不变无影响。,2、相当系统,解除多余约束，代之以相应的约束反力，此时在外力与多余约束反力的作用下成为静定结构。,3、解的唯一性,既满足力系平衡，又满足变形协调。,4、正则方程,利用B处竖向位移，可求出X1。,、此时B点的变形协调方程可写为：,，,为只考虑单位力作用下的内力方程,MP(x)为去掉多余约束力，只考虑外载作用下的内力方程。,6 回代到正则方程,求解得到,注意：,1、写外

16、载作用下内力方程时，多余约束0，其余支座不动；,2、写单位载荷作用下的内力方程时，外载=0，支座不动。,二、静不定次数的确定,1、用力法计算超静定时，应先确定多余约束的数目；,2、在超静定结构上去掉多余约束的基本方式有：,判定系统为几次静不定，从而确定补充方程的个数。,一般情况下，多余约束力的个数，就是静不定的次数。,、去掉一个链杆，相当于去掉一个联系；,、去掉一个单铰，相当于去掉两个联系；,、切断一根梁式杆，相当于去掉三个联系；,、钢接处改为单铰，相当于去掉一个联系。,三、力法的典型方程,力法的思想,力法以多余力作为未知量，通过位移条件求解多余约束力，再由静定系统求其他的未知反力。,例、图示

17、中刚架的抗弯刚度EI为常量。求约束反力。,1、取支座B处为多余约束拆除，,暴露出三个约束反力X1、X2、X3,2、在B处，由于约束的限制不可能有任何的线位移和角位移。,故其约束条件为：,（沿X1方向的线位移为零）,（沿X2方向的线位移为零）,（沿X3方向的角位移为零）。,分别引起,应用叠加原理得到点B的总位移为：,正则方程,n次超静定时的正则方程为：,为主系数，,为副系数；,表示,表示结构所有已知载荷产生的在,处沿,方向的位移。,由位移互等知：,、写外载引起的内力方程时，多余力去掉；,注意事项,、单位力分别施加，一次只能施加一个单位力；,、切断一根梁时，,、折掉一根二力杆时，,且积分遍布于整个

18、结构上；,多余约束力成对出现，施加单位力 时也应成对施加，相当于相对位移等于零。,、求出多余力后，欲求某点位移时，莫尔积分应遍布整个结构；,、写外载作用下的内力方程时，多余力去掉，支座不动；,写单位力作用下的内力方程时，外载卸掉，支座不动。,注意事项,力法的计算步骤,、解正则方程，求多余约束反力；,、判定超静定次数，确定多余约束；,、去掉多余约束，并用约束反力代换得到相当系统；,、建立正则方程；,写外载作用下的内力方程MP(x)时，和单位载荷作用下的内力方程，并计算系数项。,系数项的计算,主系数：,副系数：,常数项：,静不定系统的内力,例1、刚架如图所示，抗弯刚度为EI，求刚架的约束反力。,（

19、1）、取固定铰处为多余约束卸掉，得到相当系统；,（2）、此系统为次超静定，写出正则方程如下：,（3）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程和外载作用下的内力方程。,外载作用下各段的内力方程,CD段：,BC段：,BA段,单位力X1=1.0作用下对应段的内力方程,单位力X=1.0作用下对应段的内力方程,；,（4）、计算各系数项,(5)代入正则方程：,求解得到：,1 判定多余约束反力的数目；,选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列出变形 协调方程。,变形协调方程,变形协调方程,用能量法计算 和,由莫尔定理可得(图c、d、e),超静定结构,求多余约束反力,将上述结果代入变形协调方程得,求其它约

20、束反力,由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。,作弯矩图，见图(g)。,求梁中点的挠度,选取基本静定系(见图(b)作为计算对象。单位载荷如图(h)。,用莫尔定理可得,注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁。,例4 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。,q,a,A,B,a,解：刚架有两个多余约束。,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力。,建立力法正则方程,计算系数dij和自由项DiP,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全

21、部表示于图中。,144 对称及对称性质的应用,一、对称结构的对称变形与反对称变形,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。,对称结构上作用有对称载荷,对称结构上作用有反对称载荷,对称结构上作用有反对称载荷,正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。,例如：,例1 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,A,B,C,P,P,a,a,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,用莫尔定理求D1P和d11。,则,由平衡方程求得：,返回到本章目录,