二次曲线的不变量.ppt
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1、3 用系数判别二次曲线类型,3.1 二次曲线的不变量、半不变量,3.2 用不变量法判别二次曲线的类型,转轴和移轴的方法只能在右手直角坐标系中判断二次方程表示的曲线类型.对于在一般仿射坐标系中的方程 F(x,y)=0 表示的二次曲线,必须先确定它在某个右手直角坐标系中的方程 F(x,y)=0,然后按转轴和移轴进行判别.,而F(x,y)=0 是由F(x,y)=0 经过从原仿射坐 标系到新右手直角坐标系的仿射坐标变换得到的.如果不了解原来仿射坐标系的度量参数,就不能确定仿射坐标变换公式,也就得不到F(x,y)=0.,3 用系数判别二次曲线类型,本节介绍一种直接用方程的系数(坐标系不限)来判别二次曲线
2、类型的方法.它用到的方程系数 确定的函数 I1,I2,I3 等,称为不变量.这种方法也称为不变量法.,3 用系数判别二次曲线类型,定义:曲线方程系数的一个确定的函数,如果在任意一个直角坐标变换下它的函数值不变,就称 这个函数是这条曲线的一个正交不变量,简称不变量.,不变量既然与直角坐标系的选择无关,于是它就反映了曲线本身的几何性质.因此找出曲线的 不变量是解析几何研究中的一个重要课题.,3.1 二次曲线的(半)不变量,设在平面仿射坐标系中二次曲线的方程是,a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c=0,(3.5),其中a11,a22,a12不全为零.,记F(x,y)是方程(3
3、.5)的左端的二次多项式,即,F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c,设(x,y)是 F(x,y)的二次项部分,即,(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2,二次曲线的矩阵表示,3.1 二次曲线的(半)不变量,利用矩阵的乘法,将F(x,y),(x,y)分别写成,其中,3.1 二次曲线的(半)不变量,设二次曲线F(x,y)=0,作坐标变换,(3.14),得到二次曲线在新坐标系下的方程:,F(x,y)=0,其中 F(x,y)=F(c11x+c12y+d1,c21x+c22y+d2).,坐标变换(3.14)也称为可逆线性变量替换.,3.1 二次曲线的(半)
4、不变量,可逆线性变量替换(3.14)也可用矩阵表示为,其中,或,3.1 二次曲线的(半)不变量,根据上面的记号,可得,F(x,y)的二次项部分为,显然,CTAC 和 C0TA0C0 都是对称矩阵,因此分别 是F(x,y)和(x,y)的矩阵.,3.1 二次曲线的(半)不变量,设二次曲线 F(x,y)=0 及其二次项(x,y)的矩阵分别为,定义 I1,I2,I3 如下:,I1=a11+a22,I2=|A0|=a11a22 a122,I3=|A|.,分别称为二次曲线 F(x,y)=0 的第一、第二、第三不变量.,二次曲线的不变量及其性质,3.1 二次曲线的(半)不变量,命题 3.3 设 F(x,y)
5、经过可逆线性变量替换(3.14)变为F(x,y),以 I1,I2,I3 记 F(x,y)=0 的不变量,则,(1)I2 和 I2同号,I3 和 I3同号;,(2)如果 C0 是正交矩阵,则 Ii=Ii,i=1,2,3.,证明:,(1)根据矩阵乘积的性质,有,|I2|=|C0TA0C0|,=|C0|2I2,因为 C0 可逆,所以|C0|0,从而|C0|2 0,同理可证 I3 和 I3同号.,=|C0|2|A0|,于是 I2 和 I2同号.,=|C0T|A0|C0|,3.1 二次曲线的(半)不变量,(2),当 C0 是正交矩阵时,|C|=|C0|=1,根据(1)的证明,可得 I2=I2,I3=I3
6、.,a12 0 时,如果,对于 I1,a12=0 时只需作移轴,显然有 I1=I1;,C0TA0C0=,3.1 二次曲线的(半)不变量,因此,如果,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,因此,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,C0TA0C0=,3.1 二次曲线的(半)不变量,注:(1)命题 3.2(2)说明经过直角坐标变换,I1,I2,I3 保持不变,因此它们的确是不变量.,(2)在仿射坐标变换下,I1,I2,I3并不是不变的.命题 3.2(1)说明 I2,I3 保持正负性不变,而 I1 的正负性不一定保持不变.,例如:设 F(x,y)=2x2 y2,此时 I1=1,作
7、仿射坐标变换 得,F(x,y)=2x2 4y2,此时 I1=2.,3.1 二次曲线的(半)不变量,引理 若F(x,y)=0 的 I2 0,则对任何实数s,t,有,I1(s,t)0,其中(x,y)是 F(x,y)的二次项.,证明:,设(x,y)的矩阵为,则 a11a22 a122=I2 0,于是,3.1 二次曲线的(半)不变量,=a112s2+2a11a12st+a11a22t2,+a11a22s2+2a12a22st+a222t2,a112s2+2a11a12st+a122t2,+a122s2+2a12a22st+a222t2,=(a11s+a12t)2+(a12s+a22t)2,0.,I1(
8、s,t)=(a11+a22)(a11s2+2a12st+a222t2),3.1 二次曲线的(半)不变量,命题 3.4 如果二次曲线 F(x,y)=0 的 I2 0,则 I1 0,且作可逆线性变量替换(3.14)后所得的 F(x,y)的 I1与 I1 同号.,证明:,因为I2 0,所以 a11a22 a122 0,说明 a11,a22 同号且不全为零,再根据 A0=C0TA0C0 与矩阵乘法的定义,有,于是 I1=a11+a22 0.,另外,根据命题3.3,I2 0,同理说明 I1 0.,3.1 二次曲线的(半)不变量,I1I1=I1(c11,c21)+I1(c12,c22)0.,又因为I1,I
9、1 都不为零,所以I1I1 0,即 I1,I1 同号.,于是由引理,3.1 二次曲线的(半)不变量,注:命题3.4 说明,二次曲线的不变量 I1 在 I2 0 的情况下,其正负性在作可逆线性变量替换时也 不会变.,I1,I2,I3 在作可逆线性变量替换时的变化规律:,(1)I1,I2,I3 的值在任一直角坐标变换下不变;,(2)I2,I3 的符号在任一仿射坐标变换下不变;,(3)当 I2 0 时,I1的符号在任一仿射坐标变换 下不变.,3.1 二次曲线的(半)不变量,下面再看乘非零常数 时的变化规律:,当 0 时,I1,I2,I3 的符号不变;,当 0 时,I2的符号不变,I1,I3变号,但
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