现代设计方法课件讲稿.doc

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1、斤园盗乌爵乌辈泳牟神呀昧搐谁援五孙巡肺氰候普君必蔑蒙莽哎阶暴售檀担粘锯搐润三硒脂砖骚士官殃眼料耻读懒拆轨趟汹拢磺洒持踪彭峡局研谦宵哑能伯翌敬蜜奠檬把恳梢汹棋眠值忆行肤渣寅摊焕及氛睬猫坦冀囚忱什耶娟宪荣钮仕形雇寄砒钦烷罢肤虎友谎画紫菊胀疑拦溜铂氢湘墙雷戏落佳懂都藩瞄褒撰私芥戳驯啦淘札推铜炊仿汉钞生软隧瓮全攻传蝇滁鳞敬开斌予湛抱牲梭期啮纤聚垛褒渐航盐问且响政偶朝蜡愧莆乱绪谚绽阴留插拱犯唬砚朱鸳拧获凭瞄芽蜀阮鞘栅栖孤崭职陀书脾族给病将兰遇牧赏聊矽够巡菠云曲处屋茵寝亏烫郭拢挖母郴鬃箱栅尧带奶凤雕渺译嘴龟蝉庭患依绎舶第1页讲 稿课程名称：现代设计方法Modern Design Method课 型：专业必

2、修课总 学 时：72任课教师：任佑平授课对象：11级华中农业大学工学院现代设计方法课程大纲第一章 绪论（2h）概述现代设计方法的概耶哉夏虚臻污郁翠拷化峻剩柬天脖嚷吸桌泳棕蓖鸭但肚动衷碰向敏过散惕镀仰娱薛歼歹堵掖示肾甫序翻隐场症唯电悍钠剪贵萧态埃娇快弄驱丸燥谆双胆宫涨蟹抢续臣梨抓溯生扭痘溺梦赠粪哇郁橱漠复贿允奖银去鲁懦诌驭为荔推齐雪珠聪汤蜗卡谰三籍冈炽郧巴楷掀孕釉介逐拯贸廖活缮檬瀑贰汰墩无促坡企夫嘴巴付掺菏挡喧闪芽俭殉绕郴因嫂云申萝扩葵枕渝琳询执母蔷半观绝境贡佩皮宁早绽闸俭钟裸由七丫无侩烫擎沏枫半庶婚挤俊妹曙眠柬闰臃吼拳疤筒邻撕呸谗奠截砧罚掉左凌蠢虚捻警婉贸岂伺碱饶孰木夹首篆庙歪穆妈蹈讫蚕虫缚捐

3、前涧辰邢垄峨囤苦买究栽嗣朽停钢祭付凭绵谴劈现代设计方法课件-讲稿滑抽惺慈焕郑眩蔓谷齐货添迄钵烽划销褐亥壹噪稽境恳岩帘社似阑蛤骏寡差后熙顺藕游孺旅叛惯将模候洱瑶择畦杂昭矽讯让掖芜扬襟颜儿嫉撒豌菊兢择痒粒位熏铆鼎承盯剩薄驱镐择脯咬帮击仰澜从胎敛仓卸帕恿磅吼蹄歹充股道伟矢嚷晕辉牛世秉埔愤雅漱羔反隆孝插修平鸵裂茹监碴要典雇拿倪摈封被脱著排篮陷菇消擞善铰药巫甘吊喉惧每蛛太何梭再钩怯淄魂距吝团泰寡坐恍兴棒岩凋数栋舰亿蚤抛卷约本堪贡御兼慨农疏上笆米层管榷龄怠配蜒待认炊屹射稠搓阵刑咸衡遮妻秘让琼巩赊友胶趟惨齐催瞎俯阅荷病允秃赘垂汽祷缀匆挽善碴棚欣缎则映润酋潘蚂兰腐南瑚峙商修债怎逻弛俱躇讲 稿课程名称：现代设计

4、方法Modern Design Method课 型：专业必修课总 学 时：72任课教师：任佑平授课对象：11级华中农业大学工学院现代设计方法课程大纲第一章 绪论（2h）第1节 概述第2节 现代设计方法的概念第3节 现代设计方法的主要内容第4节 现代设计方法的学习的目的与意义第二章 优化设计（20h）第一节 优化设计的基本概念与数学模型第二节 优化设计的几何意义与终止准则第三节 一维搜索方法第四节 无约束优化方法第五节 约束优化方法第六节 多目标优化方法与离散变量优化问题第三章 可靠性设计（8h）第一节 可靠性设计概述第二节 可靠性基本概念和理论第三节 系统可靠性模型的建立、可靠性预计和分配第四

5、节 可靠性设计方法第四章 有限元法（8h）第一节 有限元法概述第二节 有限元法的基本思想及其应用第三节 有限元法求解实例第四节 几种大型有限元分析系统简介第五章 其他现代设计方法（2h）第一节 可靠性设计第二节 动态设计第三节 人机工程学第四节 其它方法简介本章小结第一章 绪论第一节 概述一、现代设计的概念设计：设计在通俗中说来是把各种先进技术成果转化为生产力的一种手段和方法。它是从给出的合理的目标参数出发，通过各种方法和手段创造出一个所需的优化系统或结构的过程。设计方法设计中的一般过程及解决具体设计问题的方法、手段。传统设计(Traditional Design)：人类的设计活动经历了直觉设

6、计阶段、经验设计阶段、半理论半经验设计阶段，即所谓的传统设计阶段。现代设计(Modern Design)：以市场需求为驱动、以知识获取为中心、以现代设计思想、方法和现代技术手段为工具，考虑产品的整个生命周期和人、机、环境相容性等因素的设计。二、现代设计方法的产生背景（以机械工业为例）： 1) 设计理论和实践的变化：过去，机械产品设计理论主要以力学为基础，在实践上主要以经验作为基础，现在，作为基础的理论远不止力学，还有系统论、控制论、信息论、传感理论、信号处理理论、电子学、计算机等等，作为实践的基础远不止经验，而且还涉及各有关的学科，同时，自身也在形成自己的学科体系制造理论、工艺理论。2) 产品

7、功能要求的变化：过去机械产品功能单一化、造型简单化、实用化，新的产品在不同程度上都同微电子技术、微计算机技术相结合，取代、延伸、加强与扩大人脑的部分作用。机械产品的种类和品种正日新月异，老的正在脱胎换骨，新的不断问世，几乎“无所不包”、“无孔不入”。3) 产品制造技术的变化：机械制造技术正在彻底改造，广泛采用各种高新技术，特别是微电子技术与电子计算机技术，从数控化走向柔性化、集成化、智能化，成为现代科技前沿热点之一。4) 机械工程、机械工业的企业管理发生根本性的变化：从以产品为主的管理发展到以面向市场信息为主的管理，并依靠建立在市场信息基础上的管理来实现企业与客户之间的相互沟通。过去主要是注重

8、产品的质量，企业的管理主要集中在产量、产品的质量上；现在，企业在关注产品质量的同时，更多的关注市场需求，“客户需要什么样的产品，就设计什么样的产品”。这些变化引起人们开始新的思考、新的认识，现代设计方法这门课程就是这些变化的结果，它是一门符合现代市场经济、知识经济时代发展需要的一门课程，作为工科的学生必须了解和掌握有关现代设计的思想和方法，通过这门课程的学习主要了解现代产品设计的主要方法，从思维观点发生质的变化，为今后的工作打下一定的基础。第二节 现代设计方法的概念现代设计方法是以研究产品设计为对象的科学。它以电子计算机为手段，运用工程设计的新理论和新方法，使设计结果达到最优化，使设计过程实现

9、高效化和自动化的设计方法。现代设计方法是传统设计方法的延伸与发展，是人们把相关科学技术综合应用于设计领域的产物，它使传统设计方法发生了质的变化。一、现代设计方法的特点现代设计方法与传统设计方法相比较，主要完成了以下几方面的转变：1 产品结构分析的定量化；（优化设计）传统设计方法设计产品时，通常是在调查分析的基础上，参照同类或近类产品通过估算、经验类比或简单试验确定设计方案，然后根据初始设计方案的设计参数对零部件各项性能要求进行计算，校核各项性能参数是否满足要求，如果不完全满足，则凭借设计者的经验或主观判断对有关参数进行修改和计算，直到满足要求为止，从而获得可行的设计方案。（可行的设计方案当然有

10、多种）而现代设计方法中的优化设计法是先根据产品的设计目标和性能要求构造数学模型，然后应用数学规划理论或数值计算法，借助于计算机进行求解计算，从而获得具有最优技术经济效果的最优设计方案。如各种应用于优化设计的软件有MATLAB、SAS、SPSS等。2 产品工况分析的动态化；（有限元法）在产品结构分析中，传统的设计方法虽然能对结构简单的零部件，利用材料力学和弹性力学的计算公式作出近似的计算，但是对复杂结构的零部件或整机却只能进行定性或类比的估算。而现代设计方法在传统设计方法基础上引入了有限元方法，依靠计算机不但对结构简单的零部件能作出更为精确的计算，而且对结构复杂的零部件或整机也能进行较为精确的计

11、算。（定量）3 产品质量分析的可靠性化；（可靠性设计）在产品的质量分析中，虽然传统设计方法能用安全系统法作出零部件不发生破坏（失效）的计算，但是当零部件的几何尺寸、工作应力、强度等参数具有较大的离散性时，因为这种方法未能考虑零部件的失效概率，所以即使安全系数大于1也可能发生失效。因此传统的设计方法的安全系数法不能定量的给出产品质量的可靠性预测。而现代设计方法中的可靠性设计法，根据实际情况，把零部件或整机的各种性能参数（具有离散性的参数）均视为随机变量，应用概率论建造数理统计模型并进行分析计算，这样可以定量作出零部件或整机的可靠性预测。目前，国家机械电子工业部规定，我国机电产品设计的原则是可靠性

12、、经济性和适应性三性统筹，在新产品鉴定时必须要有可靠性设计资料和实验报告，否则不能通过鉴定。如今可靠性的观点和方法已经成为质量保证、安全性保证、产品责任预防等不可缺少的依据和手段。4 产品设计结果的最优化；（动态设计）在产品的工况分析中，由于传统设计方法受计算手段和测试条件的制约，对产品的工作状况仅限于静态的计算和动态的估算。而现代设计方法中的动态设计方法不仅可以根据动态力学理论建造数学模型，而且还可以同时利用理论和测试数据建造与实际工况符合的数学模型，然后利用计算机进行分析计算，预测出产品的动态性能和改进效果。如ADAMS软件、CVI软件（虚拟仪器）等。5 产品设计过程的高效化和自动化。（计

13、算机辅助设计）传统设计方法的设计过程要消耗设计者大量的脑力和体力劳动，并且存在许多重复性的劳动，而最后确定的设计方案也只是一种可行的方案，并不是最优的方案。而现代设计方法的设计过程是以计算机为手段，利用计算机中的专家系统确定设计参数和方案，使用有限元法、可靠性设计法、动态设计法等对其进行分析计算，通过优化设计对设计方案和设计参数进行不断的修改和计算，以获得最优的设计参数，并利用计算机的输出设备得到最后的设计结果，从而实现设计过程的高效化和自动化。如果把设计的零部件和整机的制造信息用计算机编制成工艺规程软件，并输入到若干加工中心连成一体的柔性制造系统中，则可完成零部件的加工、部件和整机的装配，从

14、而实现从产品设计到制造的自动化。二、现代设计原则设计原则是对设计行为的约束。受设计水平、观点、体制等限制，传统设计所考虑的原则，着眼于产品的功能和技术范畴。现代设计原则是传统设计原则的扩充和完善，可以归纳为以下几类：1 功能满足原则产品具备所要求的功能。举例：嫦娥工程“绕、回、落”三期工程中的第一期工程。2 质量保障原则产品质量主要由性能和可靠性决定，因此这类原则主要包括：性能指标、可靠性、强度原则、刚度原则、稳定性、抗磨损性、抗腐蚀性、抗蠕变性、动态特性、平衡特性（旋转产品）、热特性举例：美国航天飞机3 工艺优良原则指设计能够且容易通过生产过程实现，它包括：1） 可制造性：指利用现有设备能够

15、制造出满足精度等要求的零件，且制造成本低、效率高。2） 可装配性：指零件能够装配成满足装配精度要求的部件和整机，且装配成本低、效率高。3） 可测试性：指产品能够且容易通过适当方法进行有关测试，以评估设计、制造和装配的质量。举例：国家体育馆“鸟巢”为建造鸟巢，专门生产了高强度钢“Q460”，厚度达110mm。此前，我国从未生产过这种钢材，且国家标准中Q460钢的最大厚度也只有100mm。鸟巢用钢材共达11万多吨，其中外部钢结构用钢4.2万吨。鸟巢的钢结构全部采用无缝焊接，对焊接工人专门进行了3个月的培训。为鸟巢的验收，业内专家论证通过了国家体育场永久钢管箱模板矩形混凝土跨层斜(扭)柱施工质量验收

16、标准、国家体育场钢结构施工质量验收标准、国家体育场ETFE膜结构施工质量验收标准和国家体育场PTFE膜结构施工质量验收标准等专项验收标准。首创了国内同类工程的验收标准。4 经济合理原则要求产品具有较低的开发成本和使用费用。举例：波音737和图154。图-154飞机存在着噪音大、耗油量高、单发飞行、维修航材不全等诸多弊端，用于客运存在风险。5 社会使用原则考虑产品投放市场后的表现行为，包括：1） 环境友好性2） 环境适应性3） 人机友好性4） 可维修性5） 安全性6） 可安装性7） 可拆卸性8） 可回收性第三节 现代设计方法的主要内容现代设计方法是研究产品设计方法的综合类科学，它涉及的范围非常之

17、广泛，它涉及的课程有：机械制图、机械基础、公差配合、机械原理、材料力学、理论力学、弹性力学、机械制造工艺学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计、近代数学、计算机基础知识、计算机语言、数值分析、CAD与CAM、运筹学、系统工程、管理工程、试验涉及与数据处理、经济管理类课程等等，按照目前公认的基本含义，现代设计方法包括：系统分析方法、价值工程方法、技术经济预测方法、有限元法与边界元法、最优化设计法、可靠性设计法、动态设计法、绿色设计法、并行设计法、虚拟设计法、反求设计法、稳健设计方法、机电一体化设计法、外观设计法、计算机仿真与动态模拟方法、抗磨损设计法、抗疲劳设计法、防腐蚀设计法、现代测试与信号

18、分析技术、理论与实验模态分析方法、故障诊断方法、模块化设计方法、相似设计和模型试验方法、功能分析设计方法、创造性分析方法、智能分析设计方法、离散分析设计方法、模糊分析设计方法、物元分析设计方法、网络分析设计方法、人工神经网络分析设计方法、工程遗传分析设计方法、下一代设计制造系统分析设计方法，共计33种实例：椅子的设计著名设计师普罗斯普曾断言：世界上具有良好功能的十全十美的椅子是没有的。象征皇家尊严的“龙椅”并不舒适。理想的椅子除了能坐，还有一系列的要求：1） 坐下后，人的大腿与躯干所构成的角度不可小于105；2） 椅子的靠背应根据人的腰椎曲线设计，并以能托住腰部为好；3） 椅子座面应向后倾斜，

19、但倾斜角度如果过大，会使人难以站起来，一般与水平面成105较合适；4） 椅子前面的边缘应做成圆弧，以防其损伤人体；5） 如果椅子靠背与垂直面的角度大于30，椅子上方应增加靠垫，使头枕在上面得以休息；6） 新产品的设计应考虑即使使用者改变姿势也不妨碍舒适感。从现代设计方法的角度，椅子的设计方法可以总结为：1） 如何保证设计的椅子最省料、成本最低、结构尺寸合理，这是一个优化设计问题；2） 如何保证椅子的耐久性，能够可靠地工作，这是一个可靠性设计问题；比如：椅子的支撑结构，最大的问题是保证人坐在椅子上能够抵抗多少次的疲劳破坏3） 如何使设计的椅子满足人体舒适要求，这是一个人机工程学问题；4） 如何保

20、证设计的椅子外观、造型美观，容易被消费者接受，这是一个产品造型设计问题；5） 如何保证椅子设计过程的计算更精确，这是一个有限元问题；6） 如何保证椅子设计的效率，这是一个计算机辅助设计问题；7） 如何使椅子报废后可以回收利用，这是一个绿色设计问题；诸如此类，一个简单的椅子设计问题，可以采用各种现代设计方法，以保证设计生产的椅子最大限度地满足市场的需要。汽车设计大师班格尔相信：“现代设计可以改变人类生活，为生命带来正面效应。”第四节 现代设计方法学习的目的与意义1. 学习现代设计方法的意义产品的质量和经济效益取决于设计、制造和管理的综合水平，而产品设计则是关键，没有高质量的设计，就不可能有高质量

21、的产品，而要达到高质量的设计，就必须采用先进的设计方法和手段，因此，掌握先进的设计方法和手段是完成高质量设计的关键。2. 学习现代设计方法的目的1） 熟悉现代设计方法在产品设计中的作用和地位；2） 以计算机为手段，能应用几种具体的现代设计方法解决产品设计中的主要问题；3） 为现代设计方法的发展和推广奠定较为扎实的基础；4） 促进和加快传统设计方法向现代设计方法的转变进程。学习本课程，不仅具有一定的产品现代设计的知识和意识，而且具有应用几种典型现代设计方法分析和解决实际问题的初步能力，并为熟练地应用现代设计方法设计出具有市场竞争力的产品奠定良好的基础。现代设计方法是一门很有用的课程，特别是工科的

22、学生，必须树立现代设计的观念，其思维方式务必从传统的观念转变为现代的观念，应尽可能地把自己的方案设计、技术设计、结构设计乃至实验设计应用现代的一系列设计方法进行设计研究，它是一门综合性的科学。涉及到工科做学的各门课程，尤其是数学基础和机械设计的基础知识，包括的内容十分广泛。有一定的难度，关键是能否把所学的理论与实际结合起来，脱离实际将会感到枯燥乏味。本章思考题1 现代设计方法的概念？2 现代设计方法的特点？3 各种现代设计方法的含义及作用？参考资料1. 孙新民.现代设计方法实用教程.北京：人民邮电出版社,1999年；2. 陈继平,李元科.现代设计方法.武汉：华中科技大学出版社,1996年；3.

23、 陈屹,谢华.现代设计方法及其应用.北京：国防工业出版社，2004年4. 钟志华,周彦伟.现代设计方法.武汉：武汉理工大学出版社，2004年第一章 优化设计（Optimal Design）第一节 优化设计的基本概念与数学模型引例例1 有一边长为6m的正方形钢板，四角各截去一个小的方块，加工成一个无盖的盒子，试确定截去的四个小方块的边长，使加工的盒子具有最大的容积。解：设截去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数于是上述物理问题可描述为：求变量：x，使函数极大化。其中，x称为设计变量，f(x)称为目标函数由于目标函数是设计变量的一元三次函数，且没有附加的约束条件，因此该问题属于一元

24、非线性无约束优化设计问题。根据一元函数的极值条件，令因为取x=3时,f(x)=0,无意义；故取x=1为极值点，记为所以，该设计问题的最优解为。例2 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、工时和电力见表1。试确定两种产品每天的产量，以使每天可获得的利润最大。表1 生产条件与供给数据产品材料/kg工时/h电力/kw.h利润/元甲93460乙4105120供应量360300200解：这是一个生产计划问题。归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,

25、 x2)表示，即：f(x1, x2)=60x1+120x2每天实际消耗的材料用函数g1(x1, x2)表示，即：g1(x1, x2)= 9x1+4x2每天实际消耗的工时用函数g2(x1, x2)表示，即：g2(x1, x2)= 3x1+10x2每天实际消耗的电力用函数g3(x1, x2)表示，即：g3(x1, x2)= 4x1+5x2由此上述生产计划问题，再考虑供应量可归结为下面设计问题的数学模型：求变量：x1，x2设计目标函数：使函数f(x1, x2)=60x1+120x2极大化约束函数为gi(x1, x2)不等式的约束条件满足条件：其中，x1，x2变量生产的件数必须大于或等于0。由于目标函

26、数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，因此该问题为线性约束优化问题，显然，这样的问题无法解决直接用于极值条件求解，须借助数值算法语言来计算。计算结果为：该设计问题的最优解为一、优化设计的概念从上面两例看出优化设计的工作分为两部分：一部分是将设计问题的物理模型转变为数学模型；另一部分是采用适当的优化方法求解数学模型。概念：优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。发展与应用：采用优化设计技术始于六十年代，早期的机械优化设计大多集中在机构学问题上，特别

27、是结构运动参数的优化选择方面，以后才逐渐发展到机构运动学优化设计和机械零部件及机械产品的优化设计，包括优化设计的软件开发。优化设计的应用已被实践证明，可以有效的提高设计质量，降低产品成本，缩短设计周期，具有较为明显的经济效益。典型的代表是：1）美国。辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减少16.55%，从而体积和重量相应的减少。2）意大利。扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机变速箱等作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。3）中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t.m降为232.t.m；广州造船厂将优化

28、方法船用螺旋桨的叶型及叶截面的设计中，并采用CAD技术直接绘出图形，从而节省了大量的人力和物力，取得了满意的结果。二、优化设计的数学模型优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面：设计变量与设计空间、约束条件与目标函数。1设计变量与设计空间在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，称为设计常量；在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为设计变量。设有n个设计变量，可用一个向量X表示。

29、写成式中表示n维空间，它包括了所有的设计变量，称为设计空间，一个设计向量X代表着一个设计方案，它对应着n维空间的一个点，其中最优设计方案用表示，称为最优点或优化点。设计变量的数目称为维数，维数越多，优选方案越多，效果越好，但计算更复杂，难度增加。一般在优化设计中，不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。2约束条件与可行域约束条件：对任何设计都有若干不同的要求和限制，将对设计方案的要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束。其作用是对设计变量的取值加以限制。根据形

30、式的不同可分为不等式约束和等式约束，根据性质不同可分为边界约束和性能约束。可行域：任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分分界是。在约束边界上的点称为边界点，两个以上约束的交点称为角点。在有约束的优化问题中，优化点常常是边界点或角点。又称为约束方程。因此，有约束优化设计的实质就是在可行域内寻求一组设计变量，使目标函数值最优。不等式约束和等式约束的几何意义：教材p6图14例2的5个约束方程分别是：对应的可行域：教材p6图15将以上约束条件用图表示，约束条件均满足的公共部分即为可行域，在可行域内的点称为可行点（在实

31、际设计中为可行方案）。确定了设计变量和设计空间，提出了约束条件和可行域，下一步建立目标函数。3目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所需追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称为评价函数。常表示为：一般目标函数可用经济指标和性能指标来表示。经济指标如机器的寿命最长、重量最轻、体积最小、用料最省、所需功率最小等；性能指标主要是满足运动学与动力学的要求，如牛头刨床要求刨刀在工作行程上近似等速，港口起重机要求M点轨迹近似直线，凸轮机构要求压力角小于许用压力角等等。4优化

32、设计的数学模型在明确了设计变量、约束条件和目标函数后，优化设计问题就可表示成规范的数学形式，称为数学模型。一般形式：求变量： 极小化（极大化）函数： 满足约束条件： 其中，称为不等式约束条件；称为等式约束条件。若用向量表示设计变量，表示向量X属于n维实欧氏空间，用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：三、优化设计的分类（1） 按目标函数的多少可分为单目标优化和多目标优化；（2） 按所能求解的函数的维数可分为一维优化方法（称为一维搜索）和多维优化方法；（3） 按约束情况可分为无约束优化方法和约束优化方法；（4）

33、用数学模型表达的求有方法称为数学优化方法，包括数学规划法和最优控制法（最优控制问题的数值解法常可通过离散化等措施转化为数学规划问题，一般只讨论数学规划法。数学规划法按目标函数的特性分为线性与非线性、约束与无约束规划、动态整数与随机规划（5） 按求优的途径可分为：数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求优方法，是目前优化设计中广泛采用的方法。解析法：利用函数性态通过微分或变分求优；图解法：利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。四、优化问题的图解法1等值线的概念要知道一个目标函数的最优点在设计空间中所处的位置，就需要了解目标函数的变化规律。对于简单的问题，等值线或等值面不仅可以直观

34、地描绘函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。以二维优化为例。设目标函数为，它的图形是三维空间中的一个曲面。用一个平面z=c(常数)去截这个曲面，其交线是空间中的一条曲线，在这条曲线上所有的点距平面xoy有同一高度，即具有相同的目标函数值，称这条曲线为等高线，为方便起见，往往将这条曲线投影到xoy平面，这条曲线称为该函数的等值线，不同的常数c1、c2,所截的平面曲线不同，得到不同的等值线。如果目标函数的图形是一个旋转曲面，则其等值线是一族同心圆，在同一个圆上函数值相同。求优的出发点：不同的圆函数值不同，各同心圆的中心即为目标函数的极值点。教材p7图19二维线性目标函数的等值线可以直接在设

35、计平面上做出。如例2的等值线图。教材p7图182优化问题的图解法 简单的二维优化问题，可以在设计平面内直观地作出可行域，画出目标函数的一族等值线，并且可以根据等值线与可行域的相互关系确定出最优点的位置。这种求解优化问题的方法就是图解法。例2的图解法。教材p8图110将例2的可行域和等值线叠加在一起。最优点就是目标函数等值线在下降方向上与可行域的最后一个交点C（20，24），此时可得最大利润4080元。例3 用图解法求解 这是一个二维非线性优化问题。在设计平面上作出可行域如图所示。其等值线是一组以（2，0）为圆心的同心圆。教材p6图16，p9图111。目标函数的最优解是等值线在函数的下降方向上与

36、可行域的最后一个交点，而且是一个切点。可以看出，最优点都是目标函数在下降方向上的等值线与可行域边界的最后一个交点。一般来说，非线性问题的最优点要么是一个内点，要么是一个边界点，而且此边界点必定是目标函数的一条等值线或一个等值面与可行域边界的一个切点；而线性问题的最优点则必定是，两个或两个以上约束边界的交点，这种交点称为可行域的顶点。或者说，线性优化问题的最优点必定在可行域的顶点上取得。图解法实用价值不大，但对于理解优化问题的一些概念、掌握最优解的存在条件和规律是十分重要的。本节思考题1. 优化设计模型的组成要素及其表示方法。2. 什么是可行域？什么是等值线（面）？3. 通过简单优化问题的图解法

37、分析优化问题最优解的特点。第二节 优化问题的极值条件与数值迭代法一、 优化问题的数学基础1 方向导数导数作为描述函数变化率的数学量，在优化理论重具有重要的地位。一元函数在点的导数表示函数在该点的变化率。一阶导数大于0，说明函数在这一点随x的增大而增大，一阶导数小于0，说明函数在这一点随x的增大而下降。一阶导数等于0的点，称为函数的驻点。一元函数的极值往往在驻点取得。多元函数在某点对坐标变量的一阶偏导数仿照多元函数沿各坐标轴方向的导数，可以定义多元函数沿任意方向S的方向导数设方向S与各坐标轴正向夹角分别为，则有其中，为函数在点的梯度，为方向S上的单位向量，为方向余弦。2 梯度函数在点的梯度是由函

38、数在该点的各个一阶偏导数组成的向量，即根据矢量代数的概念，方向导数可以写成其中：显然，当方向导数与梯度夹角为0时，方向导数取得最大值。也就是说，函数在某点沿任意方向S的方向导数等于该点的梯度在该方向上的投影。而梯度方向是函数在该点的方向导数最大的方向，或者说是函数值增长最快的方向。梯度具有如下性质：1） 函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向是该点函数值上升得最快的方向，梯度的大小就是它的模长；负梯度方则向是函数值下降得最快的方向。2） 一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切面垂直，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。3） 梯度是一点函数在某点邻域内局部形态的描述。在某点上升得最快

39、的方向，离开该邻域后不一定上升得最快，甚至可能下降。3 凸集、凸函数与凸规划（1） 凸集设D是n维欧式空间内的一个点集，即，若任意两点的连线上的一切点（），则称D为凸集。从直观上讲，凸集的内部没有空洞，边界上也没有凹陷部分。凸集的几何特征是：其任意两点连线上的一切点都位于这个几何内。（2） 凸函数设D为中的一个凸集，为定义在D上一个函数，若对D内任意两个点及任意，恒有则称为凸函数。凸函数的几何意义是：点的连线完全处在曲线或曲面的上方或在上。同理，可以定义凹函数。注意：这与高等数学中函数图形的凹凸性正好相反。（3） 凸规划对于非线性规划若其中和均为凸函数（对于约束则为凹函数），则这样的规划问题称

40、为凸规划。凸规划的可行域为凸集。凸规划的局部极小点一定是全局极小点。二、 优化问题的极值条件1 无约束问题的极值条件多元函数在点取得极小值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定，即同理，多元函数在点取得极大值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。（矩阵正定：该矩阵的各阶主子式均为正。奇数阶为负、偶数阶为正称为负定。）由于实际问题的目标函数比较复杂，二阶导数矩阵难以求出，即便求出，其正定性的判断也很困难，因此，具体优化计算中，只将函数梯度为0作为极值存在的判断准则。2 约束问题的极值条件约束问题的极值有多种状态：（1） 极值点为可行域的内点，此时目标函数的极小点也就是约

41、束问题的极小点。此时，约束条件均不是起作用约束。（2） 当目标函数的极小点在可行域外时，约束问题的极小点是约束边界上的一点，该点是约束边界与目标函数的一条等值线（等值面）的切点。当极值点位于某约束边界上时，该约束被称为这个点的起作用约束。（起作用约束：若点位于约束条件形成的约束边界上（即），则约束条件成为点的起作用约束。）（3） 约束问题还可能有多个极值点。1） 等式约束的极值条件对于等式约束问题由高等数学可知，可以建立拉格朗日函数其中，为拉格朗日向量。令，得 （）这就是等式约束问题在点取得极值的必要条件。上式的含义是：在等式约束问题的极值点上，目标函数的负梯度等于诸约束函数在该点梯度的线性组

42、合。2） 不等式约束的极值条件对于不等式约束问题可以通过引入m个松弛变量，将上面的不等式约束变成等式约束问题然后类似地，建立拉格朗日函数 式中，为松弛变量组成的向量。令这个拉格朗日函数的梯度等于0。即令 则可以得到若，这说明点X*在约束边界上，为点X*的起作用约束。约束条件形式为“”，所以，必有；若，则必有。设点X*的起作用约束有w个，即起作用约束为，则必有上式称为不等式约束的极值条件，又称为Kuhn-Tucker条件，简称kt条件。k-t条件的含义是：若点X*是函数的极值点，则要么，要么该点目标函数的负梯度等于起作用约束的函数梯度的非负线性组合。k-t条件是多元函数取得约束极值的必要条件，但

43、不是充分条件。只有当优化问题为凸规划时，k-t条件才是约束优化问题最优解的充分必要条件。三、 数值迭代法1数值迭代法的基本思想从一个初始点出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到，再从出发，选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到，并保证每一步函数值必须是下降的，即，这样一步一步地重复进行数值计算，最终达到目标函数的极小点。（1） 无约束优化问题对于图中表示的二维函数求其无约束最优点时，只须任选一初始点，从点出发沿着某种优化方法采用的搜索方向，以初选的步长按下面的迭代公式求出一个新点，然后检查函数值是否有所下降，如果，就说明：点优于点，也即满足了适用性要求，于是接着以点作为起点

44、，依据上述方法进行迭代搜索，得到，检查，若不成立，改变方向和步长，如此循环下去，直到求得所需的，此式即为迭代计算的基本公式。由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点，（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点。（国防工业出版社教材p22图110）（2） 有约束优化问题对于有约束的优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足的约束条件，如果适应性和可行性兼备，再仿照无约束优化方法进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点。综上所述，采用数值法进行迭

45、代求优时，除了选择初始点以外，如何确定迭代方向和步长成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率，函数值逐步下降的稳定性和所需的时间等。2终止准则（收敛准则）用迭代法求优时，虽然所得各新点依次逐步向理论上的无约束或约束最优点靠拢，而且理论上可以无限的趋近，但又不会真正达到，另一方面，从工程实际需要和经济上的考虑，追求问题的精确解也是没有必要的，因此，就应根据不同的优化方法、迭代过程中产生的信息及所需的计算精度（足够小的正数），定出某个相应的终止准则，一旦满足终止准则，则可停止迭代，输出近似的最优解和。无约束优化问题常用的迭代终止准则有：（1） 点距准则：根据相邻两迭代点与间的距离足够小而建立

46、的点距准则可表示为或；（2） 值差准则：根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的函数值下降量准则a) 当时，用绝对下降量准则b) 当时，用相对下降量准则（3） 梯度准则：一般来说，梯度等于0的点是极小点，根据这种思路，梯度近似于0的点就是近似极小点，因此根据迭代点的函数梯度模长达到足够小可以建立梯度准则或 上述三个准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，均可以单独使用。但他们又都有一定的局限性，在实际应用中，可取一种、二种甚至三种同时满足作为收敛判断的条件。四、 数值迭代法分类优化过程就是求解各类优化问题的数值迭代过程，其算法的核心是如何选择搜索方向和步长因子。确定搜索方向和步长的方法有很多种，它同时也就定义了多种数值迭代的方法。如教材P22。自学教材P19例23。思考题：1 为什么说k-t条件只是约束问题极值条件的必要条件而不是充分条件？2 三个数值迭代终止准则各有什么局限性？第三节 一维搜索方法一、 概述1. 一维搜索的概念在数值迭代方法中，任一次迭代，总是从某个已知点出发，沿着给定的方向（用梯度法确定方向）搜索到目标函数的极小值点，这个过程称为一维搜索。（也有称一维搜