不定积分的定义.ppt

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1、课题八、不定积分的计算,不定积分：若F(x)=f(x),则称F(x)+C为f(x)的不定积分.记为：，即 说明：由定义知，求f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数，然后加上任意常数C即可。不定积分的性质：（1）（2）（3）,主页,下页,微分与积分的互逆性,积分的运算性质,课题八、不定积分的计算,基本积分公式 由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表,上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),直接积分法 利用基本积分表和积分运算法则,最多对被积函数作适当变形就可以积分的方法,称为直接积分法利用积分表和运算法则例1.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6),上页,下页,课题

2、八、不定积分的计算(直接积分法),解答如下（基本公式和法则）(1)(2)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),利用代数变形例2.求下列不定积分(2)(3)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),解答如下（代数变形）(1)(2)(3)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),利用三角变形例3.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),解答如下（三角变形）(1)(2)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),课堂练习一.求下列不

3、定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？,上页,下页,课题八、不定积分的计算(直接积分法),课堂练习 答案一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？解:,由s(1)=3得所以运动规律-完-,上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),前言 利用基本积分表和运算法则可以积分的函数非常有限.下面介绍换元积分法-将要计算的积分通过变量替换化成基本积分表中已有的形式,算出原函数后,再换回原来的变量.换元积分法包括:第一类换元积分(凑微分)和第二类换元积分提出问题 如何求积分

4、:解决方法 像复合函数求导一样,我们引入中间变量u,将被积函数变成基本积分表中的函数,积分后再回代变量.,上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),例1.求积分:解：令u=2x,du=2dx,则例2.求积分:解:令u=2x+1,du=2dx,则例3.求积分:解:令u=x+1,du=dx,则,上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),其实,在上面的例子中可以这样求解.例4.求积分:(1)(2)(注:回忆前面所讲的微分式子)解(1)因为,所以(2)因为,所以 上面这种求积分的方法称为“凑微分法”.,上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),复习微分式:例5.求下列不定积分(1)(

5、2)(3)(4),上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),解:(1)(2)(3)(4),上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),例6.求下列积分(1)(2)(3)(4)解(1)(2)(3)(4),上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),小 结(第一类换元积分,即凑微分)使用环境如果被积函数可以整理为如下形式,则可使用凑微分.注意事项(1)熟悉基本积分公式;(2)熟悉常用凑微分式;(3)明确将哪部分放进微分里(即凑微分).,上页,下页,课题八、不定积分的计算(凑微分法),课堂练习 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-,上页,下页,课题八、不定

6、积分的计算(凑微分法),课堂练习 解 答 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-完-,上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),如何求如下积分呢?通过观察,上面积分很显然不能使用“凑微分法”,所以必须另寻新的积分方法第二类换元积分(即先作变量替换,积分后再回代变量)第二类换元积分通常包括:根式换元和三角换元根式换元例7.求积分:解:,上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),例8.求积分:解:,上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),例9.求积分:解:,上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),三角换元例10.求积分:解:,

7、上页,下页,1,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),例11.求积分:解:,上页,下页,1,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),例12.求积分:解:,上页,下页,2,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),小 结(第二类换元积分法)使用环境 当求积分 较困难,但作变量替换 后,而新的积分 容易积分时使用.若 的反函数存在时,有换元方式(1)根式换元(2)三角换元,上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),课堂练习 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6),上页,下页,课题八、不定积分的计算(第二类换元法),课堂练习 答 案 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(

8、5)(6)-完-,上页,下页,课题八、不定积分的计算(分部积分法),分部积分公式(由乘积的微分公式得到)说明:(1)当积分 不易计算,而积分 容易积分时,考虑使用本公式;(2)使用的关键是正确选择u和dv.下面,我们通过例子来分析和总结公式的使用技巧.例13.求积分:分析:对照公式 我们要将xexdx变形为udv的形式,即形成公式的左边,就必须将被积函数中的某一项“拿进”微分里去,形成某一函数的微分,即dv.那么,将哪项“拿进”微分里去呢?,上页,下页,课题八、不定积分的计算(分部积分法),事实上,哪项都可以拿进微分里“凑微分”.下面我们就来分别试一试!方法一.将x拿进微分里“凑微分”观察:后

9、项积分比前项积分(所求)更复杂,更难于积分.方法二.将ex拿进微分里“凑微分”说明方法二的选择是正确的.,上页,下页,容易积分,课题八、不定积分的计算(分部积分法),练一练:如何求积分:例14.求积分：分析:现在我们换个角度来分析,由公式 知 在第二个积分中要对u求微分(即导数),幂函数求导后次数会降低;而余弦函数求导后仅变成正弦,对积分的难度没有影响.由此可见,应把幂函数x作为u,而将cosx拿进微分里“凑微分”.解：,上页,下页,凑微分,课题八、不定积分的计算(分部积分法),同理可求积分:总结规律:(1)若被积函数为幂函数与指数函数或正(余)弦函数相乘时,可使用分部积分法,此时选择幂函数作

10、为u.例4.求积分:分析:由于对数函数求导后,会将“对数符号”去掉,所以应选择对数函数作为u.解：,上页,下页,课题八、不定积分的计算(分部积分法),例15.求积分：分析：选择反正切函数作为u.解：,上页,下页,拆项,课题八、不定积分的计算(分部积分法),总结规律:(2)若被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数相乘时,可使用分部积分法,此时选择对数函数或反三角函数作为u.特别地,求积分:分析:由于被积函数仅一项,由上述规律(2),此时应将dx中的x看成v,即已经满足分部积分公式,直接使用公式.解：,上页,下页,凑微分,课题八、不定积分的计算(分部积分法),例16.求积分：分析：由于指数函数与余弦函数求导后具有循环性,故选择哪项作为u都可以.为了方便,选cosx作为u.解：,上页,下页,再分部积分,课题八、不定积分的计算(分部积分法),同理:可求 总结规律:(3)对于形如 的积分,通过两次使用分部积分后,将形成一个原来的积分形式,通过解方程求出最后的结果.练一练求下列积分:,上页,下页,课题八、不定积分的计算(分部积分法),提高题(1)设 是f(x)的一个原函数,求积分:提示:设,使用分部积分法.(2)求积分:提示:完全平方展开,使用分部积分法.-完-,上页,主页,