不定积分积分法.ppt

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1、,一元函数积分学涉及三种积分:不定积分、定积分、反常积分（广义积分）。这三种积分含义不同，但它们之间有密切联系。,微积分学是微分学和积分学的统称,它是高等数学的核心内容,导数和微分又构成了微分学的总体。,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,第二节 换元积分法,第三节 分部积分法,已知一个函数的导数 求该函数,积分学中讨论的问题.,已知函数 求其导数,微分学中讨论的问题;,（求导数的方法称为微分法）,（求 的方法称为积分法）,1、原函数的概念,一、原函数与不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,2、不定积分,例,例1 求,解,求不定积分与求导（或微分）互为逆运算,解,例2 求,如果在

2、每一条曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线都具有相同的斜率即互相平行。,不定积分的几何意义：,如果函数F(x)为f(x)的一个原函数，则称F(x)的图像是f(x)的一条积分曲线。,函数f(x)的不定积分表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意地平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线族。,F(x),例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,即为曲线族方程。,二、不定积分的性质和基本积分公式,求不定积分与求导（或微分）互为逆运算，因此可以根据求导公式得出积分公式.,（1）,

3、（2）,不定积分的性质：,证,等式成立.,（此性质可推广到有限个函数的情况）,例 求积分,解,基本积分公式,说明：,（7）,（8）,积分法:求不定积分的方法称为积分法.,介绍三种积分法:直接积分法,换元积分法,分部积分法.,直接积分法:利用不定积分运算性质和基本积分公式可以求一些简单函数的不定积分。这种利用不定积分运算性质和积分基本公式计算不定积分的方法称为直接积分法。,例1,例2,例3,例4,第二节 换元积分法,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,一、第一换元积分法,这是一个凑微分的过程，因此第一换元积分法也称为凑微分法。,定理,使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：,例1 求,解（一

4、）,（二）,（三）,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例6 求,解,例7 求,解（一）,解（二）,类似地可推出,二、第二换元积分法,存在。,定理,应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：,例1,例2,例3,也可用：,补充说明:,可以证明(介绍定积分时介绍):只要被积函数 连续，其原函数 总是存在的。此时称 是“可积的”。有些初等函数的原函数虽然存在，但不能表示为初等函数，我们称这种类型的函数的积分为“积不出的”。例如 等，都属于这种类型。均称为“积不出”的积分。,故：初等函数在其定义区间内均连续，其原函数 一定存在，但不一定都是初等函数。,分部积分公式,利用两个函数乘积的求导法则，可以得出分部积分公式,利用分部积分公式求积分的方法分部积分法.,第三节 分部积分法,例2 求积分,解,例3 求积分,解,例4 求积分,解,例5 求积分,解,综合题：求积分,解,