线性系统理论(能控性判据).ppt

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1、,内容简介,第一部分,第二部分,第三部分,第四部分,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,格拉姆矩阵判据,考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为,（4.7）,其中，x为n维状态，y为q维输出，A(t)和B(t)为nn和np常值矩阵,结论 4.1,连续时间线性时不变系统（4.7）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵,为非奇异。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,证,充分性 已知,为非奇异，欲证系统完全能控。设x0为状态空间中任意 非零状态。,说明系统是能控的,构造控制输入,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,

2、必要性 已知系统完全能控，欲证 为非奇异。,其中，表示所示向量的范数，而范数必为非负，于是，只能有,采用反证法。反设 为奇异，即反设状态空间中至少存在一个非零状态，使成立：,基此，可进而导出：,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,另一方面，由系统完全能控知，状态空间中所有非零状态均可找到相应的输入u(t)使成立：,从而可进一步得 即,基此，可进而导出：,与题设相矛盾，从而证得 非奇异，必要性得证。证明完成。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,运用格拉姆矩阵判据的类同推证过程可以证明，对连续时间线性时不变系统系统，“Wc0，t1非奇异”同样也是“系统完全能达”的充要条件。据此可

3、以导出，对连续时间线性时不变系统系统，有系统完全能控 Wc0，t1非奇异 系统完全能达 这就表明，对连续时间线性时不变系统，能控性等价于能达性。因此，本节给出的相对于能控性的判据均可适用于能达性。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,秩判据,结论 4.2,对n 维连续时间线性时不变系统（4.7），系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQ c=n,证,充分性 已知rankQc，欲证系统完全能控。采用反证法，设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵为非奇异。这意味着状态空间中至少存在一个非零状态，类似结论4.1中必要性证明过程可得,将上式对t求导直至(n-1

4、)次，再在导出结果中令t=0，得,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,进而，表上述关系式组为,必要性 已知系统完全能控，欲证rank Qc=n 反证法。设rank Qc 0，可得,基此，并由0，可知Qc行线性相关，即rank Qc n，与题设矛盾，所以系统完全能控。充分性得证。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,于是，基于上式可导出这意味着，格拉姆矩阵 奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反设不成立，必有rank Qc=n。必要性得证。证明完成。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,其中，R和C可取任意有限值。通过计算得到,据所示电路，定出状态方程为,例 4.5,容易

5、判定，rank Qc=12=n。据秩判据知，系统不完全能控。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,PBH判据,结论 4.3,n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：,或,其中，C为复数域，i为系统特征值。(例 4.7),结论 4.4,n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=i T，TB=0 的左特征向量 T=0。,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,结论 4.5,结论 4.6,对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充

6、分必要条件是对状态矩阵线性非奇异变换导出的约当规范形中矩阵B中不包含零行向量。（4.50）,对n维线性时不变系统，若A为约当阵，特征值有重根系统完全能控的充分必要条件是：对应特征值相同的各约当小块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。（4.57）例题4.9,约当规范形判据,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,能控性指数,结论 4.7,定义 4.10,对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=n”成立的最小正整数k。,当k=n时，Qk为能控性判别矩阵,对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。,结论 4.8,对完全能控多输入连续时

7、间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,结论 4.10,结论4.8证明,对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，为矩阵A的最小多项式次数，则能控性指数满足,结论 4.9,多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：,4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据,结论 4.11,多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,将Q表为,并从左至右依次搜索Q的n个线性无关列，即若某个列不能表成其左方各线性独立列的线性组合就为线性无关，否则为线性相关。考虑到B中有且仅有r个线性无关列，且不妨令为，再将按次搜索方式得到的n个线性无关列重新排列为,其中 则且称 为系统的能控性指数集。（例 4.10 略讲）,感,谢,关,注,THANK YOU FOR,YOUR ATTENTION,