线性代数第10讲.ppt

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1、2023/5/29,1,线性代数第10讲,线性方程组,2023/5/29,2,3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,2023/5/29,3,对于以mn矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程组AX=0(3.15)如果把A按列分块为A=a1,a2,.,an,它就可以表示为向量等式x1a1+x2a2+.+xnan=0(3.16)因此,(3.15)有非零解的充分必要条件是a1,a2,.,an线性相关,秩(A)=秩a1,a2,.,ann.定理1 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件为 秩(A)n.,2023/5/29,4,设秩(A)=r,则矩阵A存在r个线性无关的行向量,其余m-

2、r个行向量可由这r个线性无关的行向量线性表示.因此,对A作初等行变换可将其化为有r个非零行的阶梯阵,2023/5/29,5,由UX=0与AX=0是同解方程组,以及UX=0有非零解的充要条件为rn,就使本定理得证.定理1的等价命题是:齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是 秩(A)=A的列数.当A为n阶矩阵时,AX=0有非零解的充要条件还可以叙述为|A|=0,AX=0只有零解的充要条件可以叙述为|A|0.,2023/5/29,6,例1 设A是n阶矩阵,证明:存在ns矩阵B0,使得AB=0的充要条件是|A|=0.证 将B按列分块为B1,B2,.,Bs,则AB=0等价于ABj=0,j=1,2,.

3、,s,即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解.若AB=0,B0,则AX=0有非零解,故|A|=0;反之,若|A|=0,取AX=0的s个非零解作为B的s个列,则B0,但它使得AB=0.,2023/5/29,7,定理2 若X1,X2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k1X1+k2X2(k1,k2为任意常数)也是它的解.证 因为 A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2=k10+k20=0,故k1X1+k2X2是AX=0的解.定理2的结论显然对于有限多个解也成立,即若X1,X2,.,Xr是齐次线性方程组AX=0的r个解,则k1X1+k2X2+.+krXr(k1,.,kr为任意常数)也是

4、AX=0的解.,2023/5/29,8,定义1 设X1,X2,.,Xp是AX=0的解向量,如果:(1)X1,X2,.,Xp线性无关;(2)AX=0的任一个解向量可由X1,X2,.,Xp线性表示.则称X1,X2,.,Xp是AX=0的一个基础解系.如果找到了AX=0的基础解系X1,X2,.,Xp,那末k1X1+k2X2+.+kpXp对任意常数k1,k2,.,kp作成的集合,就是AX=0的全部解的解集合.,2023/5/29,9,例2 求齐次线性方程组AX=0的一般解,其系数矩阵为,解 对矩阵A作初等行变换,将其化为行简化阶梯矩阵.,2023/5/29,10,2023/5/29,11,2023/5/

5、29,12,UX=O即,x2和x5为自由变元,令x2=k1,x5=k2,k1,k2为任意常数,则x1=-2k1-2k2,x3=k2,x4=0.,2023/5/29,13,将x1=-2k1-2k2,x2=k1,x3=k2,x4=0,x5=k2,写成向量形式:,其中X1=-2,1,0,0,0T,X2=-2,0,1,0,1T构成基础解系.,2023/5/29,14,定理3 设A是mn矩阵,若秩(A)=rn,则齐次线性方程组AX=0存在基础解系,且基础解系含n-r个解向量.证 先证存在n-r个线性无关的解向量.按高斯消元法的步骤对A作初等行变换,将A化为行简化的阶梯阵U,2023/5/29,15,不失

6、一般性,可设,2023/5/29,16,UX=O,即,是AX=O的同解方程组,取xr+1,xr+2,.,xn为自由未知量,将它们的下列n-r组值:1,0,0,.,0;0,1,0,.,0;.;0,0,0,.,1分别代入上式可求得n个解:,2023/5/29,17,X1=d11,d21,.,dr1,1,0,0,.,0T,X2=d12,d22,.,dr2,0,1,0,.,0T,.Xn-r=d1,n-r,d2,n-r,.,dr,n-r,0,0,0,.,1T.显然,X1,X2,.,Xn-r是线性无关的.,2023/5/29,18,再证AX=0的任一个解X可由X1,X2,.,Xn-r线性表示,则我们将任意

7、给定的这个解表示为X=d1,d2,.,dr,k1,k2,.,kn-rT.我们要证明这个X其实和X*=k1X1+k2X2+.+kn-rXn-r是相等的,即X=X*,也就是要证明X-X*=0,当然,X-X*也是AX=0的解,只要证明它是AX=0的零解,也就证明了X-X*=0,就证明了任给的一个解能够用X1,X2,.,Xn-r线性表示,即X1,X2,.,Xn-r确实是AX=0的一个含有n-r个解向量的基础解系.,2023/5/29,19,是相应于自由未知量xr+1,xr+2,.,xn全取零时的AX=O的解,确实是AX=O的零解.,2023/5/29,20,3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构

8、,2023/5/29,21,以mn矩阵A为系数矩阵的非齐次线性方程组AX=b(3.18)可以表示为一个向量等式x1a1+x2a2+.+xnan=b(3.19)其中a1,a2,.,an是A的n个列向量,因此,方程组(3.18)是否有解的充要条件是b可由A的列向量组线性表示,从而秩a1,a2,.,an,b=秩a1,a2,.,an,即r(A,b)=r(A).于是有后面的定理.,2023/5/29,22,定理1 对于非齐次线性方程组AX=b,下列条件等价:(i)AX=b有解(或相容);(ii)b可由A的列向量组线性表示;(iii)增广矩阵A,b的秩等于系数矩阵A的秩.,2023/5/29,23,另一种

9、证明,对A,b作初等行变换化为阶梯阵.,则CX=d与AX=b是同解方程组,因此,AX=b有解dr+1=0r(C,d)=r(C),2023/5/29,24,AX=b有解dr+1=0r(C,d)=r(C)但,r(C,d)=r(A,b),r(C)=r(A),故 AX=b有解 r(A,b)=r(A),即秩a1,a2,.,an,b=秩a1,a2,.,an(3.21)其中a1,a2,.,an是A的向量组.显然,(3.21)式成立的充要条件是b可由a1,a2,.,an线性表示,不然的话,秩a1,a2,.,an,b=秩a1,a2,.,an+1.,2023/5/29,25,推论 AX=b有唯一解的充要条件是 r

10、(A,b)=r(A)=A的列数.(3.22)这是因为,b可由A的向量组a1,a2,.,an线性表示,且表示法唯一的充要条件是a1,a2,.,an线性无关.或者由(3.20)式得AX=b有唯一解dr+1=0且r=n(3.22)式成立.下面讨论非齐次线性方程组AX=b的解的结构.为此先讨论AX=b的解的性质.,2023/5/29,26,定理2 若X1,X2是AX=b的解,则X1-X2是对应齐次方程组AX=O的解.证 因为A(X1-X2)=AX1-AX2=b-b=O,故X1-X2是AX=O的解.由此可进一步可得非齐次线性方程组的解的结构定理.,2023/5/29,27,定理3 若AX=b有解,则其一

11、般解为X=X0+X,其中X0是AX=b的一个特解(某一个解);X=k1X1+.+kpXp是AX=O的一般解.证 由于A(X0+X)=A X0+AX=b,所以X0+X是AX=b的解.设X*是AX=b的一个解,则X*-X0是AX=O的解,而X*=X0+(X*-X0)因此X*可以表示为X0+X的形式,所以它是AX=b的一般解.,2023/5/29,28,例3 设非齐次线性方程组AX=b的增广矩阵,解 先对增广矩阵作初等行变换变为行简化阶梯矩阵.,2023/5/29,29,2023/5/29,30,2023/5/29,31,2023/5/29,32,令x2=k1,x4=k2,x5=k3,k1,k2,k3为任意常数,将它们用向量形式表示.,2023/5/29,33,2023/5/29,34,这是一般的解的形式,其中X0是特解,X1,X2,X3是AX=0的基础解系.,2023/5/29,35,可以验算,2023/5/29,36,今天作业:第148页开始28，29题,