数学物理方法傅里叶变换法.ppt

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1、1,积分变换法,积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。,本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。,2,傅里叶变换,（1）导数定理,（2）积分定理,（3）相似性定理,3,（4）延迟性定理,（5）位移性定理,（6）卷积性定理,4,第一节 傅里叶变换法,用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是,例1,求解无限长弦的自由振动,解：,应用傅里叶变换，即用,同乘方程和定解条件,中的各项，并对空间变量x积分，t

2、看做参数，则,分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。,连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积,无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是,离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于,5,定解问题变换成：,其中,分别是,的傅里叶变换，这样原来,的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：,代入初始条件可得：,故,对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：,6,达朗贝尔公式,例2,求解无限长细杆的热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为：,此常微分方程的初始问题的解为,进行傅里叶逆变换可得：,7,交换积分次序,积分公式：,8,例3,求解无限长细杆

3、的有源热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：,令,利用上述公式可得,9,用,同乘方程各项，可得：,对t积分一次，并考虑零初始值可得：,进行傅里叶逆变换,交换积分次序可得：,10,是单位面积硅片表层原有杂质总量.,并利用积分公式可得最后的结果为：,例4,限定源扩散,在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可,硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题:,有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入,以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已,11,解:,没有杂质穿过硅片表面,即:,第二类齐次边界条件,这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问

4、题,则,引用例2结果可得,高斯函数,12,右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中,即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例5,恒定表面浓度扩散,在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体,中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由,即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.,度趋于均匀,曲线下的面积为,2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓,的分布情况,曲线1对应于较早的时刻,是半无界空间x0中的定解问题,于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求,13,解,首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令,则化为关于w的定解问题:,这是第一类齐次边界条件

5、,意味着奇延拓,即,引用例2结果可得,14,第一个积分中令,第二个积分中令,则有,被积函数是偶函数,故,误差函数,记做erfx,则w可写为:,所求的解如下:,15,余误差函数,记做erfcx,则有,右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中,例6,泊松公式,求解三维无界空间中的波动问题,明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线),的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很,刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚,分布情况,曲线1对应于某个较早的时,16,解,做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题,这个方程的解为,再进行傅里叶逆变换,17,利用5.3例1的结果,18,应用延迟定理,出

6、现,对,的积分只要在球面,上进行,以r为球心(矢径r),半径为at,为球面 的面积元,此即泊松公式.,19,三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式,然后拿初始扰动,按泊松公式在球面 上积分,波动以速度a传播,只有跟点r,相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r,初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0,跟,T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋没有到达r,当d/atD/a,跟T0 相交,扰动到达r,当tD/a,包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明,球心,以at为半径作球面,求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应

7、以r为,扰动已经过去.,最小距离为d,最大距离为D,当td/a,20,例7,推迟势,求解三维无界空间中的受迫振动,解,做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题,此问题的解为(第六章习题7答案),进行傅里叶逆变换可得,21,应用脉冲函数性质和关系式,由于,积分只要在条件,下进行即可,对,的积分只需要在球体,进行,球心的矢径为r,半径at,引用5.3例1的结果,并应用延迟定理可得,22,f的宗量t换成了,扰动以速度a传播,从点,出发的扰动,如果在时刻t对点r产生,影响,必然是时刻,出发.,其中,推迟势,例8,柱面波 降维法,求解二维无界空间中的波动问题,解,也可以用傅里叶变换来求解,这里介绍另一种方法,23,二维空间的波动是三维空间波动,对于二维问题,球面,上的积分代以xy平面的圆,上的,积分,如图,上的面积元,的公式,这种方法称为降维法.,公式,消除了坐标z,成为二维波动,泊松公式给出解,三维波动的泊松,的特例,与坐标z无关,也可以由,24,即,球面,上下两半都投影于同一个圆,故,泊松公式在二维空间中为,二维波动有后效,td/a,跟T0总有重叠,积分一般不为零,在点(x,y)总有扰动,可以看成某种三维波动的剖面.,25,例1,计算,的三重傅里叶变换，r是球坐标中的极径,C为正实数,解,的三重傅里叶变换为,化成极坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向,