投资者的效用函数 (I).ppt

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1、上一节课程内容复习,第二章,第二节风险资产组合的有效边界,允许卖空时的有效边界,第三节有效边界的求解,含做空的资产组合表示方法,一、允许卖空且可以无风险借贷,含做空的资产组合之例,假设投资者有100元，他卖空价值 900元的证券 A，购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？,含做空的资产组合练习题（42页）,假设投资者拥有元可以投资于证券和证券。投资者可以将资金全部投资于证券，获得元的收益，即的收益率。另一方面，投资者也可以卖空价值元的证券，购买价值元的证券，则资产组合的期望收益为元，而借入证券的成本为元，因此，最初元的投资，可以获得元（）的收益，即期望收益率为。期望收益率从增加到，但

2、是标准差也从增加到，试写出计算过程。,含做空的资产组合练习题（42页）,最大化目标函数为：,约束条件为：,一、允许卖空且可以无风险借贷,练习题,考虑三种证券：公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%；公司的股票，平均收益率为8，收益率的标准差为6；公司的股票，平均收益率为18，收益率的标准差为13。此外，假设公司和公司之间的相关系数为0.5，公司和公司之间的相关系数为0.3，公司和公司之间的相关系数为0.2。最后假设无风险借贷利率为 4。假设允许卖空且可以无风险借贷。求切点资产组合 G与有效边界。,一、条件重述,二、解方程：,解题过程,三、代入公式：,第三章投资者风险偏好与最优资产

3、组合,第一节 投资者的效用函数,第一节投资者的效用函数,例1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是不喜欢的，他仍会去干；（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很可能不干了。,一、效用,一、投资者的效用,效用最大化准则投资者会选择组合，而放弃组合。,（一）效用函数的一阶导数为正,随着财富增加，效用也将增加。,非饱和性：,二、效用函数的性质,（二）效用函数随投资者风险偏好而变化,表-一个等价变量,称变量 X 为等价变量。,等价

4、变量：,也称变量 y 为 X 的确定性等价量。,二、效用函数的性质,风险厌恶型投资者的效用函数,风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。,表-一个等价变量,如果以U(W)表示效用函数，U(W)表示效用函数的二阶导数，风险厌恶意味着 U(W)0。,风险中性型投资者的效用函数,风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一个等价变量不影响投资者的决策。,对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为,表-一个等价变量,风险偏好型投资者的效用函数,风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。,表-一个等价变量,效用函数的二阶导数为正,风险偏好类型总结,表-投资者风险态度与效用函数,投资者财富增加,风险投

5、资增加？,（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度,投资者的绝对风险厌恶程度,（-）,表绝对风险厌恶相对于财富的变化,绝对风险厌恶程度的度量,（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度,投资者财富增加,风险投资比例增加？,投资者相对风险厌的恶度,上式对财富 W 的一阶导数是R(W)。,表随财富变化的相对风险厌恶,相对风险厌恶程度的度量,三、效用函数与资产组合选择,一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：,它的一阶和二阶导数为：,对W 的限制：,在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度的函数式及它们的一阶导数将为：,二次型效用函数对应的厌恶度,二

6、次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。,二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。,如果投资的收益率服从正态分布（即满足马科维茨均值方差分析假设条件），同时投资者效用函数为二次型，那么不论投资者的风险偏好程度如何，他们在资产组合的有效边界（有效集）中总能确定一个最优资产组合。,二次型效用函数与均值方差模型的关系,第二节效用无差异曲线与最优资产组合,一、资产组合效用函数的类型二、期望效用无差异曲线三、最优资产组合的选择,一、资产组合效用函数的类型,（一）凸性效用函数,投资收益率的边际效用递减,一、资产组合效用函数的类型,（二）凹性效用函数,投资收益率的边际效用递增,一、资产组合效用函数的类型,（

7、三）线性效用函数,投资收益率的边际效用不变。,二、期望效用无差异曲线,不同类型的无差异曲线,三、最优资产组合的选择,分离定理,一、对风险资产组合的选择,二、选择包含无风险资产的资产组合的有效边界,三、无差异曲线将决定最优资产组合的具体位置。,风险资产组合有效边界,包含无风险资产的组合的有效边界,切点组合（市场组合）,无差异曲线,确定了具体的位置,第三节其他最优资产组合选择方法,一、几何平均收益率方法二、安全第一方法,一、几何平均收益率方法,（一）几何平均收益率的计算,1、一个资产组合的几何平均收益率,假设某个资产组合的收益率如下：,则这个资产组合的几何平均收益率定义为：,几何平均收益率的计算例

8、题,假设某个资产组合的收益率如下：,解：这个资产组合的几何平均收益率为：,试计算其几何平均收益率。,（一）几何平均收益率的计算,2、多个资产组合 P 的几何平均收益率,假设第 j 个资产组合的收益率如下：,则第 j 个资产组合的几何平均收益率定义为：,几何平均收益率的计算例题,下面举例说明。表给出了三种可能的投资证券、证券和证券；每种投资都有两种可能的结果，每种可能性相同；该组合中这三种证券比例相等。,试计算并比较各个资产与资产组合的几何平均收益率。,在第一种情景下，资产组合收益率为：,在第二种情景下，资产组合收益率为：,资产组合的几何平均收益率为：,计算资产组合的几何平均收益率,计算各个资产

9、的几何平均收益率,资产组合的收益率高于任一单个证券的收益率,（二）几何平均收益率方法的运用,运用几何平均收益率法选择最优资产组合，最简单的办法就是从各种投资方案中选择最高几何平均收益率的资产组合。,几何平均收益率方法不可能挑选一个收益率可能为负的投资组合，从而可极大程度地排除非有效组合和不适宜的有效组合。我们把这种特性称为“有效集中”。,使用几何平均收益率方法选择的最优资产组合通常是一个分散化的组合。,在收益率是正态分布或对数正态分布条件下，可以证明几何平均收益率最大化的组合是均值方差有效的。,二、安全第一方法,（一）罗伊标准（）（二）卡陶卡标准（）（三）特尔瑟标准（）,（一）罗伊标准,罗伊定

10、义：最优资产组合是收益率低于某一特定水平的可能性最小的组合。,其中：RP 表示组合收益率，RL 表示投资者可接受的最低收益率水平。,罗伊的选择标准是：,（3-23）,如果 RL 是收益率的“破产警戒线”，则罗伊标准就是看谁破产的可能性最小。,-3-2-2 3,68%,95%,99.7%,正态曲线的特征,资产组合投资收益率是正态分布的情况,资产组合投资收益率是正态分布的情况,RP RL的概率,远,近,小,大,高于最低收益率水平,低于最低收益率水平,RP RL的概率,罗伊标准（极小化形式）,罗伊标准（极大化形式）,三个可行的资产组合中，组合是最优的,根据罗伊标准选择资产组合,（二）卡陶卡标准,限制

11、条件是收益率小于或等于下限的概率不超过预先规定的值，即：,限制条件为：,例如，某个资产组合的收益率满足如下条件：,则 0 就是该资产组合收益率的最大化下限。,卡陶卡标准：最大化下限,在卡陶卡标准下资产组合的选择,假设=5%，资产组合A，B的最大化下限分别为：,试问：在卡陶卡标准下应该选择哪个资产组合？,所以，在卡陶卡标准下应该选择资产组合 B.,在卡陶卡标准下资产组合的选择,所以，在卡陶卡标准下应该选择资产组合 B.,正态分布,标准正态分布,正态分布的累积分布曲线,标准正态分布表,N-1(0.95)=,N-1(0.99)=,1.6+0.05=1.65,2.3+0.03=2.33,假如设定 0.

12、05，限制条件变为：,因为我们希望L越大越好，所以,资产组合收益率服从正态分布的情况,卡陶卡标准下的最优资产组合也必定在均值标准差坐标系中的有效边界上。,有效边界的切点,卡陶卡标准与均值方差模型的关系,（三）特尔瑟标准,选择标准是最大化期望收益率。其限制条件是收益率小于或等于预先设定的限制的概率不超过预先设定的数值。用符号表示，即：,限制条件为：,在特尔瑟标准下资产组合的选择,所以，在卡陶卡标准下应该选择资产组合 B.,特尔瑟标准：,可能没有满足限制条件的可行点,有效集中,具有最高期望收益率的可行组合,卡陶卡标准与均值方差模型的关系,小结与习题,几何平均收益率的计算例题,下面举例说明。表给出了

13、三种可能的投资证券、证券和证券；每种投资都有两种可能的结果，每种可能性相同；该组合中这三种证券比例相等。,试计算并比较各个资产与资产组合的几何平均收益率。,在第一种情景下，资产组合收益率为：,在第二种情景下，资产组合收益率为：,资产组合的几何平均收益率为：,计算资产组合的几何平均收益率,计算各个资产的几何平均收益率,1、几何平均收益率的计算习题（69页）,下表给出了三种可能的投资证券、证券和证券；每种投资都有两种可能的结果，每种可能性分别为：结果1的概率 p1=0.7；结果2的概率 p2=0.3；该组合中这三种证券比例相等。,试计算各个资产与资产组合的几何平均收益率。,三个可行的资产组合中，组合是最优的,根据罗伊标准选择资产组合（71页）,2、根据罗伊标准选择资产组合习题（71页）,根据罗伊标准，三个可行的资产组合中，组合 是最优的。,解：计算罗伊标准中的比率,6,7,5,请提问题。谢谢！,http:/俎英华檶,