概率论与数理统计(理工类第四版)概率第1章.ppt

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1、1,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算频率与概率等可能概型(古典概型)与几何概型条件概率事件的独立性,2,1.1 随机事件,一、随机试验（简称“试验”）随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。,3,E1：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：在某高

2、楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地 面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。,随机试验的例子,随机试验,4,二、样本空间,1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为S或；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点。,试给出E1E5的样本空间,5,三、随机事件,例1.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：,6,其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。如事件A

3、：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是S的子集。类似地，B=(1,1),(2,2),(6,6)，B也是S的子集。,7,1、随机事件随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件 为 基本事件(或简单事件)。2、两个特殊事件 必然事件S S包含所有的样本点，是S自身的子

4、集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件 空集不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。,8,例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3

5、)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件,五、事件的关系与运算,9,1.事件的包含与相等“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。,10,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB,2 n个事件A1,A2,An 的和事件：n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,2”可列个事件A1,A2,An 的和事件：可列个事件A1,A2,An 至少有一个发生，记作,11,3.积事件:A与B同时发生，记作 ABAB,3 n个事

6、件A1,A2,An 的积：n个事件A1,A2,An同时发生，记作,3”可数（列）个事件A1,A2,An,的积：可数（列）个事件A1,A2,An,同时发生记作,12,4.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。,13,5.互斥的事件：AB=,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。,基本事件是两两互不相容的,14,6.互逆的事件 AB S,且A B,A与B对立：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。,15,对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。,16,7.完备事件组,

7、设A1,A2,An是有限个或可数个事件，若A1,A2,An 满足如下两个条件：（1）A1A2An=S，（2）A1,A2,An两两互不相容则称事件组A1,A2,An 为一个完备事件组。在每次试验中，事件A1,A2,An 必有且仅有一个发生。,17,五、事件的运算规律,1、交换律：ABBA，A BB A2、结合律：(AB)CA(BC)，(A B)CA(B C)3、分配律(AB)C(A C)(B C)，(A B)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,18,例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,19

8、,例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,20,作业 习题1-1(Page 6),4.(1)(2)8.,21,1.2 随机事件的概率,一、频率及其性质定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在这n次试验中发生了rn(A)次,则比值,称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作fn(A)，即,fn(A)=,22,频率具有如下的性质对任一事件A，0 fn(A)1；对必然事件S，f

9、n(S)1；而 fn()=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB，则 fn(AB)fn(A)fn(B)。,一般地，若事件A1，A2，An两两互不相容，则,23,事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。,历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 1

10、2012 0.5005,24,实践证明：当试验次数n增大时，随机事件A的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。,25,设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(A)具有如下性质：非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0；完备性（规范性）：P(S)=1；可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为事件A的概率。,二、概率1、概率的公理化定

11、义,26,2、概率的性质,不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性。,27,互补性 对任一事件A，有,加法公式 对任意两个事件A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广,可分性 对任意两事件A，B，有,28,例1.5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为 0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为

12、0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天都不下雨”的概率P(G)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。,解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1,(1),且,可得,29,（2）,（3）,=0.6+0.3-0.1=0.8,（4）,（5）,30,作业 习题1-2(Page 11),1,3,4,31,1.3 等可能概型（古典概型）与几何概型,一、古典概型的定义设随机实验E满足下列条件1.有限性：

13、试验的样本空间只有有限个样本点（即只有有限个可能的结果），即Se1,e 2,e n;2.等可能性：每个样本点（或结果）的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=P(en)。则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。,32,设事件A中所含样本点个数为N(A)=k，以N(S)=n记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质：,(1)0 P(A)1；(2)P(S)1；P()=0；(3)AB，则P(AB)P(A)P(B)。,二、古典概型中的概率：,33,解 设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩。,S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,

14、A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,例1.6 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,34,例1.7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。,解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5个样本点，故,35,乘法原理设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,三、计算古典概率

15、的方法：排列与组合,36,加法原理设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,37,有重复排列(有放回的抽取）从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,38,无重复排列（不放回抽取）从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,39,组 合 从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有,种取法.,40,四、古典概型的基本类型举例,古

16、典概型的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,41,1、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3/5。,42,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,43,例1.9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个 黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率；,解 试验E：从m

17、+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？,所以，事件A发生的概率为,44,(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不放回，试求最后（第i次）取出的球是白球的概率。,解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有,其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为,

18、种保留下来的取法，,事件B所包含的基本事件总数为,45,所以最后所取的球是白球的概率为,注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为,46,2、分球入盒问题,解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒,例1.10 将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,47,一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：,48,例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=某指定的一个盒子中没有球B=某指定

19、的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此,49,事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此,事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn,在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为,事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中

20、任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m,50,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？（减去全部不同日期的）,?,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分

21、到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。,51,3.分组问题例1.12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。,解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组,52,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,53,4.随机取数问题,例1.13 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取

22、到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。,解 N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1/25,54,五、几何概型,（1）设样本空间S是平面的某一个区域，它的面积记为,（2）S的某一个部分区域A的面积记为,（3）随机投掷一点，该点落在区域A的事件记为A,注：当样本空间S为一线段或者一空间立体时，公式同上，不同的是面积计算相应更改为长度或体积。,55,例（会面问题）甲乙两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个

23、人可在指定的一个小时内任意时刻到达，试计算两人能够会面的概率。,56,作业 Page 16,6；8；10,57,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,58,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率,59,引例：设一个箱子中有100个产品，其中有5个不

24、合格品，不合格品中有3个是废品2个次品，现从袋中任意抽取一个(1)求取到废品的概率；(2)若已知取到不合格品求它是废品的概率。,解 设A取到不合格品,B取到废品,60,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,61,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)P(A)?何时P(A|B)P(A)?,概率定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质：非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0；规范性：P(S)=1；可列可加性：若A1，A2，A

25、n，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为事件A的概率。,62,可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质：非负性：对任意一个事件B，均有0P(B|A)1；规范性：P(S|A)=1；可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有,63,条件概率也满足概率的基本性质，所以概率中的性质对条件概率同样适用。,条件概率的一般计算方法：(1)利用条件概率的含义或称缩减样本空间。(2)利用条件概率的定义公式,64,例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。

26、从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。,65,例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C),解,66,练习：掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中一颗为1点的概率（两种方法）,解：设A 两颗点数之和为7 B 其中一颗为1点求：P(B|A)=?,67,二、概率的乘法公式,P(AB)P(A)P(B|A)(P(A)0)P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0),当P(AB)0时，上式还可推广

27、到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB),一般地，n个随机事件A1,A2,An，且 P(A1A2An-1)0,有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1),68,例1.19 盒中有r个红球，t个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入t只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率(思考：第1、3次取得白球、第2、4次取得红球的概率,进一步在m+n次取球中恰好有m次取到白球n次取到红球的概率呢）。,解 设Ai为第i次取球时取到白球，则,69,定理1.1

28、 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则,此公式称为全概率公式。利用此公式关键要找一个完备的事件组,全概率公式,70,例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。,71,例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如

29、下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划分，,返回,72,例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含

30、次品少的概率要大，即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。,73,贝叶斯公式(Bayes)（逆概率公式）,定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则,此式称为Bayes公式。,74,例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,75,例1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有

31、2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,解 设A1 从甲袋放入乙袋的是白球；A2 从甲袋放入乙袋的是红球；B 从乙袋中任取一球是红球。,甲,乙,76,例1.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%。且各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现从待出厂的产品中抽取1个产品，问(1)该产品是次品的概率，(2)该次品是由哪个车间生产的可能性最大。,解 设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间

32、生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%，P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%，P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5%,(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=45%4%+35%2%+20%5%=0.035,(2),77,若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,Bn。这里假定一个病人不会同时得几种病，即B1,B2,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40时，得Bi这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它

33、可由Bayes公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40)后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。若我们把A视为观察的“结果”，把B1,B2,Bn理解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。,78,例1.24 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有,现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他

34、确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。,解,本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。,79,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,80,作业 page 23,2；4；8；9；,81,例1.26 袋中有a只红球，b只白球b0，现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记A表示事件“第一次所取的球是红色的球”，B表示事件“第二次所取的球

35、是红色的球”。求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。,解（1）有放回,（2）无放回,1.5 事件的独立性,82,即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。,例1.26（2）中,而且此时,例1.26(1)中,而且此时,即一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响,83,定义 设A、B是两个事件，若满足等式P(AB)P(A)P(B)则称事件A与事件B是（相互）独立的事件。,由定义可知，必然事件S和不可能事件与任何事件都是相互独立的。,性质：若A、B相互独立，则下列事件也相互独立,(2)事件,相互独立；,、B相互独立；,(3)事件,相互独

36、立。,(1)事件A、,84,注意：独立与互不相容之间的关系。当P(A)0 P(B)0，独立与互不相容不能同时成立。定理 设A，B是两事件，且P(A)0，则A，B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)即A的发生与否与B的发生概率无关。,独立性的概念可推广到多个事件,85,定义 若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：,则称事件A、B、C相互独立。,（*）式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。,注意：（*）不能推出（*），（*）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称A、B、C相互独立。由定义可知：A、B、C相互独立必有A、B、C两两独立，反之不真。,86,一般地，设A1，A2，An

37、是n个事件，若下列等式同时成立：,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,.,87,88,事件独立性的应用举例,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则,2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则,89,例1.27 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,90,例1.28 设某种高射炮每次击

38、中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。,解 设所需高炮为n门，A表示击中飞机的事件，Ai(i=1,2,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意,即,故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。,91,3、在可靠性理论上的应用,如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路，Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,92,由全概率公式,93,伯努利概型,伯努利(Bernoulli)试验模型 设随机试验满足：1在相同条件下进行n次重

39、复试验；2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4各次试验是相互独立的，即各次试验结果互不影响则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验。在n重伯努利试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。,94,定理 n重贝努里试验中A恰好出现k次的概率为,p为一次试验中A发生的概率，0p1思考：在n次伯努利试验中A至少发生一次的概率.在实际中不要忽略小概率事件。,95,推论,（1-p)k-1p=qk-1p k=1，2，3，,其中0p1是参数,在重复独立试验中，设试验的可能结果只有2种，A与,试验进行到A首次发生（恰好出现r次）为止的概率为（即k次试验，前k-1次失败，第k次成功）,96,例 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)汽车行驶途中遇到的红灯数恰为k的概率；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解(1),97,作业 page 28,3;6;13,98,第一章 小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）、三个概型（古典概型、几何概型、伯努利概型）组成,