理想流体动力学.ppt

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1、4-1 欧拉运动微分方程式4-2 拉格朗日积分式4-3 伯努利积分式及其应用4-4 伯努利方程几何意义和能量意义4-5 动量定理及动量矩定理,第四章 理想流体动力学(Ideal fluid dynamics),第四章 理想流体动力学 1,第四章 理想流体动力学 2,重点：伯努利积分式及其应用、伯努利方程的几何意义和能量意义、动量定理及动量矩定理,难点：动量定理及动量矩定理,第四章 理想流体动力学 3,虽然实际流体都具有粘性，但是在很多情况下粘性力影响很小，可以忽略，所以讨论理想流体的运动规律不但具有指导意义，而且具有实际意义。,本章先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程，然后在特定的条

2、件下积分可以得到拉格朗日积分式及伯努利积分式，介绍两个积分的实际应用，最后推导出动量及动量矩定理，并举例,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 4,4-1 欧拉运动微分方程式,欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。,如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任取一微元六面体，其边长分别为dx、dy、dz。,平行六面体，顶点为 处的速度是，压强为。六面体平均密度为，作用在六面体上的力有表面力和质量力。,以y方向为例进行受力分析：1.y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表面上的力只有法向力,

3、其方向为内法线方向。,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 5,左面：,故沿方向表面力的合力是：,右面：,2.y方向的质量力 设作用在六面体上沿y轴的单位质量力为Y，则流体质量力在y方向的分力为。,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 6,3.推导运动微分方程 根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积。,故对y轴有：,又：,所以：,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 7,即为理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微分方程。,同理可得：,三式综合写成矢量形式：,此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定常流

4、的理想流体均适用。,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 8,运动微分方程的三个分量式中有四个未知数、和，再加上连续方程式共四个方程组，方程封闭，理论上可求解。当然还要满足所提问题的边界条件、初始条件，这一问题不是本课程的讨论范围。,但是对于复杂的流动很难得到问题的解析解，只有在一些特殊条件下，才能求出解析解，如拉格朗日积分式和伯努利积分式。,第四章 理想流体动力学 4-1 欧拉运动微分方程式 9,存在质量力势函数，且：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 10,4-2 拉格朗日积分式,拉格朗日(Langrange)积分是欧拉方程在非定常无旋运动条件下的积分解。,拉格

5、朗日假设：,理想不可压缩流体；,质量力有势；,无旋运动。,存在速度势函数，且：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 11,推导过程主要分别将x、y、z方向的运动微分方程变形为某函数(或表达式)关于x、y、z的偏导数，三方程相加，在质量力为重力的情况下，整理出要求的拉格朗日积分式。,以x方向为例：,第一项：,等号右边：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 11,第二、三、四项：,第一项：,等号左边：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 12,所以x方向的运动微分方程变形为：,第二项：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 13,同样可得：,三式综合说

6、明，括弧内函数不随空间坐标变化,那么只可能是时间的函数。可写为：,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 14,引入函数，使：,方程继续可改写为：,将 对 求偏导数：,可见，和 实质一样，符合速度势的定义。,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 15,如果流体的质量力只有重力，取轴垂直向上，有，代入上式，得：,上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。,或：,对于定常无旋运动，括号中的函数还不随时间变化，因此它在整个流场为常数：,(通用常数),第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 16,对于理想、不可压缩流体，在重力作用下的定常、无旋运动，上式写为：,此式即为理想不可压

7、缩流体，在重力场中定常无旋运动得拉格朗日方程。是在整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。,(通用常数),(通用常数),第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 17,若能求出了流场的速度分布(理论或实验的方法)，就能用拉格朗日积分式求流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流体与固体之间的相互作用力。,应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。,第四章 理想流体动力学 4-2 拉格朗日积分式 18,第

8、四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 19,4-3 伯努利积分式及其应用,介绍伯努利(D.Bernouli 17001782)方程的推导和应用。,伯努利方程的推导：是欧拉方程在定常运动沿流线的积分。,存在质量力势函数，且：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 20,伯努利方程的限制条件：,理想不可压缩流体；,质量力有势；,定常流动；,沿流线积分。,一、沿流线的伯努利方程,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 21,推导过程主要将运动微分方程沿流线积分，再将积分号下的项变形为某个函数的全微分，得到积分方程。然后在质量力为重力的情况下，整理出要求的伯

9、努利积分式。,欧拉运动微分方程：,沿流线积分：,首先，定常流动，有：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 22,其中dx、dy、dz为流线上的线元的分量。,以x方向为例：,则：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 23,则上式简化为：,变形：,以及：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 24,同理可得：,即变为：,三式相加：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 25,整理为：,即：,此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分，它表明：对于不可压缩理想流体，在有势质量力作用下作定常流时，在同一条流线上 值保持不变，该常数值称为伯努

10、利积分常数。对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同。,或：,在重力场中，则沿流线上式变为：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 26,或：,或在流线上任意两点上成立：,上式即为理想流体定常、不可压缩、重力场中沿流线的伯努利方程。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 27,伯努利积分与拉格朗日积分在形式上相似,但不同之处有二：,应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无旋流运动，不要求流动定常；伯努利积分无需无旋运动，但一定是定常流动。,常数性质不同。拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积分常数只在同一根流线上不变，不同流线取值不同，称为流线

11、常数。或者说拉格朗日积分在整个空间成立，而伯努利积分只在同一条流线上成立。,当流动定常且无旋时，两个积分式等同。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 28,流束的极限为流线。为工程上的应用，现将伯努利方程推广到有限大的流束(总流)。,渐变流动：流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动。否则称为急变流动。,二、沿有限流束(总流)的伯努利方程,渐变流动的特点：在整个有效截面上为常数，即服从静压分布规律：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 29,为简单计，约定 取有效截面形心处的数值。,缓变流：1、3、5、7,1段有效截面上：,7段有效截面上：,第四章 理想流体动

12、力学 4-3 伯努利积分式及其应用 30,由于图中一维理想流体缓变流有效截面上的速度又处处相等，那么有下式成立：,此式即为理想流体总流的伯努利方程。说明在两缓变流有效截面上三项之和相等，与中间流动无关。,1、2点不在同一根流线上,第四章 理想流体动力学 4-4 伯努利的几何意义和物理意义 31,三、伯努利方程的几何意义和物理意义,1.几何意义,伯努利方程式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。,：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。：称测压管水头。：表示研究点处速度大小的高度,称速度水头。：称总水头。

13、,：表示单位重量流体对某一基准具有的位置势能。：表示单位重量流体具有的压强势能。：表示单位重量流体具有的动能。,第四章 理想流体动力学 4-4 伯努利的几何意义和物理意义 32,伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中三种形式的水头可互相转化，但位置水头、压力水头和速度水头之和为一常数，即总水头线为一条水平线。,2.能量意义,伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。Conservation of mechanical energy,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 33,四

14、、应用,实例1 小孔口出流(如船舶舱壁上破一洞)。如图所示大容器内装有液体，容器底部开一小孔，液体在重力作用下从小孔流出，求流量。,伯努利方程解题思路：判断成立的条件是否满足，确定基准面，然后选取合适的流线上两点或者两个缓变流有效截面建立伯努利方程，解出待求物理量。选取点或面的方法是选取自由面、无穷远处或者物理量已知处，以及待求物理量处。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 34,设小孔面积为a，容器液面面积为A,Aa，因此液面高度h近似认为不变(近似为定常流动)，粘性忽略不计，且此时流体的质量力只有重力，满足伯努利方程的前提条件。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分

15、式及其应用 35,从图中可见，出流流束有一收缩截面(离开流出孔有一小段距离)，此截面上流速相互平行，为缓变流截面。取小孔轴线所在的水平面为基准面，把整个,容器看成一个大流管。取容器的液面为流管第一个截面，出流流束截面收缩到最小处为第二截面，并列伯努利方程：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 36,截面：,截面：,(近似),(表压),(表压),(待求),解出小孔理想出流的速度公式：,可以看出水位高为h时，小孔的出流速度与高度为h的流体的自由落体的末速度相同。实际上，因为粘性阻力的影响，出流速度小于此值，一般用一个流速系数来修正，则：,由实验确定，其值常在0.96之间。,第四章

16、 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 37,则实际流量是：,其中，为流量系数。,在小孔出口,发生缩颈效应。设缩颈处的截面积为，收缩系数：,由实验测定，例如圆形孔口，其值为0.610.63。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 38,应用伯努利方程的原理可以制成各种测量流速或流量的仪器。文德利管就是其中的一种。,实例2 文德利管(Venturi tube，一种流量计)。,为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段由入口段、收缩段、喉部和扩散段组成管段，称为文德利管，如图所示。在文丘里管入口断面1和喉部处断面2两处测量压差，设断面1、2的平均速度、平均压强和,断面面

17、积分别为、和、，流体密度为，比压计中流体密度为。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 39,列1、2两缓变流有效截面的伯努利方程：,移项可得：,又：、截面上为缓变流，压强分布规律与U形管内静止流体一样，可得：,则：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 40,所以：,那么：,等压面上：,一个方程解不出两个未知数，添加连续性方程。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 41,将：,连续性方程：,代入：,解得：,其中称为流速系数：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 42,文德利管的流量公式为：,实例3 汽化器。汽化器的原理如图所

18、示，为收缩、扩张的管道。空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入，细管将汽油自油箱引出来。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 43,细管的一端，即汽油油滴的喷出口恰在汽化器的最狭断面处。该处流速最高，压力最低有一定的真空度，因此汽油能在该处汽化，并被吸入汽缸。,已知流量，汽化器的最小直径为，汽油管外径为，求汽化器的真空度。解：取管轴为基准线，把整个汽化器当作一个流管，取汽化器入口前方的大气为截面，管道最小截面处为截面(两个缓变流截面)。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 44,列、截面的伯努利方程：,截面：,(近似),截面：,故求得汽化器的真空度为：,正是此

19、真空度的存在，将汽油从油箱中吸出，喷入汽缸。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 45,其中：,实例4：毕托管(Pitot tube)和联合测管。,毕托管是一种测定空间点流速的仪器。毕托管是弯成直角而两端开口的细管。,如图所示，测河道流速时，将毕托管一端迎向来流，另一端竖直向上。流体在管中上升，到达一定高度静止，设高出液面h，求流速v。,沿入口前流线列A、B两点的伯努利方程：,代入方程，解得：,(B点称为滞止点或驻点。),第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 46,如图，若要测定管流液体中A点的流速v，在A点布置测压管，可测出该点的静压，并在A点下游相距很近的

20、地方放一根毕托管，一端的出口置于与A点相距很近的B点处，并正对来流，另一端向上。在B点处由于毕托管的阻滞，流速为0，动能全部转化为压能，毕托管与测压管中液面高度差为h。,应用理想流体定常流沿流线的伯努利方程于A、B两点，并取AB连线所在平面作为基准面，则有：,对于实际液体在应用上式计算A点流速时，需考虑液体粘性对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对流动的干扰，应使用修正系数，对该式的计算结果加以修正。一般 小于1，即 式中 为流速系数，其值一般由试验率定。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 47,其中：,代入方程，解得：,其中，为毕托管系数。,第四章 理想流体动力学

21、4-3 伯努利积分式及其应用 48,为了方便，可将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管，如图所示。,其原理为：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 49,实例5 虹吸管。,如图所示，为连接两个水箱的一段虹吸管。已知管径d=150mm,H1=3.3m,H2=1.5m,z=6.8m，设不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。,管道流量：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 50,解：取 为基准面，列0截面和2截面的伯努利方程：,解方程得：,真空度为：,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 51,列截面0和1的

22、伯努利方程，可求得虹吸管顶点S处的真空度。,故S点的真空度水柱高为：,伯努利解题思路：判断是否满足伯努利方程成立的条件；取基准面；选流线上的两点，或选两个缓变流的有效截面；一般选在物理量已知、液面、无穷远处以及待求物理量处；列伯努利方程，确定物理量的值；有时与连续性方程、测压仪器联立求解；解方程。,注意的问题：1.同一基准面,统一压强形式(一般绝对或相对)；2.总流伯努利方程一定建立在缓变流有效截面。,第四章 理想流体动力学 4-3 伯努利积分式及其应用 52,4-5 动量定理及动量矩定理,一、动量定理 Theorem of Momentum 工程中常见流体和物体之间的相互作用问题求作用力的合

23、力或合力矩(对这些力的具体作用过程、分布状况不感兴趣)。这时应用动量定理较为合适与方便。动量定理是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的外力之间的关系。Law of conservation of momentum,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 53,此动量定理是按拉格朗日观点对质点系导出的，在流体力学中，需将其转换成适合于控制体的形式(欧拉法)。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 54,控制体：相对于所选坐标系，在流场中任意选取形状、大小任意，固定不动的空间。控制面：控制体的边界(可以是流体，固体)流

24、体经过控制面流入、流出。通过控制面一般有流体质量、动量、能量交换，控制体内与控制体外的流体(或固体)存在作用力与反作用力。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 55,下面推导适合于控制体形式动量方程。t时刻，在流场中取一控制体体积为,控制面面积为。经过时间dt以后，设 内的流体质点系移动到了新的位置(虚线所示)。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 56,经过dt流体所产生的总动量变化为：,对于定常运动时，公共区域内动量是不随时间变化的，即,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 57,从物理意义上讲，t+dt时刻体积所具有的动量等于经过dt时

25、间从控制面的流出面 流出的流体所具有的动量，即：,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 58,同样地，t+dt时刻体积所具有的动量等于经过dt时间从控制面的流入面 流入的流体所具有的动量，即：,则：,我们注意到，上式中流入面 的法线方向 为控制面 的内法线方向，将其改为外法线方向，则积分号前面加一负号“-”。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 59,动量的变化率为：,代入动量定理，得：,上式即为定常流动的动量方程，表明定常流动，控制面上流体动量的变化率等于作用与控制面内流体上的合外力。,为矢量方程，在直角坐标系下分解：,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定

26、理及动量矩定理 60,应用动量方程应注意：1.矢量方程，将方程分解为坐标轴方向，便于求解。2.合外力包括：周围固体和流体的表面压力及表面粘性力、质量力等，不要漏掉。3.用分解坐标轴下的动量方程求解时，应注意力矢量、速度矢量分解后的正负值。4.适当选取控制面：的面，与速度垂直的面，速度及压力分布已知的面，等等。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 61,二、动量矩定理 Theorem of moment of Momentum,动量矩定理是动量矩守恒定律在流体力学中的应用。用同样的方法，可以导出流体作定常流动时的动量矩定理：,直角坐标系下分解：,即绕某一点或某一轴的动量矩变化率

27、等于外力对同一点或轴的力矩之和。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 62,以上推导的动量定理和动量矩定理，适用于粘性流体，当是理想流体时，表面粘性力为0。,下面举几个实例来说明动量定理和动量矩定理的应用。,实例6 一维不可压缩定常流动的动量定理。,选取控制面如图中虚线所示。控制面=流管侧面+A1+A2,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 63,连续性方程：,因此：,所以动量定理为：,分解为：,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 64,实例7 射流对倾斜平板的冲击力。,厚为 的二元流束以向平板AB冲击，流速与平板的夹角为，求流体对平板的作用

28、力。,控制面,选取控制面如图中虚线所示。沿平板的切向和法向取坐标轴。,因整个射流暴露大气中，故流体中压力处处等于大气压力。忽略重力的影响，由伯努利方程可知：,(1),第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 65,设平板对流体的作用力为，其法向分量，而切向分量(忽略流体粘性)，并假设沿坐标轴正向。,控制面,列立 方向和 方向的动量定理，有：,方向：,方向：,(2),(3),第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 66,控制面,又连续性方程：,由于：,所以：,(4),联立(1)、(2)、(3)和(4)解得：,其中：为流体对平板作用的切向分力(为零)，总冲击力 沿平板法向

29、。分别是流束冲击平板后分为两股流束的厚度。可以看出当 是锐角时，。因为在拐弯曲率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚。,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 67,控制面,现取0为参考点,用动量矩定理来求 作用点离开0点的距离e(假设为正)。,动量矩的变化：,合外力矩：,也可：写动量矩和力矩时，逆时针为正，顺时针为负,第四章 理想流体动力学 4-5 动量定理及动量矩定理 68,控制面,则：,解得：,式中的负号表示 作用点位于轴的负向上。,例1：如图，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d2=400mm，转角=45，断面1-1处流

30、速v1=1.2m/s，压强p1=245kPa（表压），求水流对弯管的作用力（不计弯管能量损失）。解：因弯管水平放置，故此弯管液体所受重力在平面内投影分量等于零，沿管轴线取基准面，则：,第四章 理想流体动力学 结束篇 69,列1、2断面伯努利方程，得 p2=243.96kPa 任设弯管对水流作用力R的方向，如图，它在x、y轴上的投影分量为Rx、Ry。分别列两坐标轴方向的动量方程，则,第四章 理想流体动力学 结束篇 70,水对弯管的作用力R与弯管对水的作用力R是一对作用力与反作用力：,第四章 理想流体动力学 结束篇 71,方向沿x轴负向,方向沿y轴负向,合力：,例2 洒水器如图所示，喷嘴a、b的流

31、量均为2.810-43s，喷嘴的截面积均为1cm2，略去损失，试确定洒水器的转速。解：从喷嘴喷出的水流速为 转动起来后，两喷嘴出口水的绝对速度为,第四章 理想流体动力学 结束篇 72,没有外力作用于该系统，故进水管通过转轴中心，对轴不产生动量矩，因此流出喷嘴的流体的动量矩必须为零，即 解得：,第四章 理想流体动力学 结束篇 73,例3 阻力测定的试验中(如图)，直径为d的圆柱体浸没于二维不可压缩定常流场中，在控制面(图示)边界上测量速度和压力。在整个控制面上，压力均匀，x向流速度近似如图所示。试求如下定义的阻力系数：,第四章 理想流体动力学 结束篇 74,解：取虚线1122为控制面，流入控制面

32、的动量为：为流场的宽度。流出控制面的动量为：,第四章 理想流体动力学 结束篇 75,上式第一、二两项为通过控制面2-2流出的动量,而第三项为通过控制面1-2流出的动量在x方向上的投影。事实上1-2并非流线，有流体从1-2面上流出。所以阻力为 故阻力系数：,第四章 理想流体动力学 结束篇 76,第四章 理想流体动力学 结束篇 77,动量(动量矩)方程解题步骤(zhou),1.确定控制体或控制面；2.建立坐标系，确定正方向；3.外力分析，假设待求的力的符号和方向；4.列方程，注意速度和力分量的正负号；5.解方程；6.写出结论。,第四章 理想流体动力学 结束篇 78,小结：,一、概念位置水头，压力水头，速度水头，测压管水头，总水头，总水头线，缓变流，控制体，控制面,二、方程拉格朗日积分式伯努利积分式动量定理动量矩定理,(通用常数),第四章 理想流体动力学 结束篇 79,作业：,1、(选作)3、密度改为比重 4、6、(选作)5、提示：应用动量定理9、提示：应用动量定理，扩大管凸肩上的压强等于入口的。(选作)阻力系数10、其中(2)压力为绝对压力,