依据几种插值多项式的比较分析.docx
《依据几种插值多项式的比较分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《依据几种插值多项式的比较分析.docx(26页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、本科生毕业论文开题报告书题目学生姓名学号系别专业指导教师插值方法及其MATLAB实现盛克平1209402023数学与应用数学信息与计算科学讲师2015年12月 11日摘 要IABSTRACT II引言31 、几种常见的插值公式及其构造31.1 Lagrange 插值法41.2 Newton 插值法 71.3 Hermite 插值法 91.4分段低次插值法-1-1.5三次样条插值法-2-2 、例题-3-3 、结束语-7-4、参考文献-7-附录1 -8-附录2 -9-附录3 -9-5、致谢:-10 -摘 要插值法是数值算法的最基本方法之一,同时也是函数逼近、数值积分、数值 微分、微分方程数值解的基
2、础。许多实际问题都需要运用插值法来解决,所以通 过介绍几种常见的插值公式及其误差估计,如:Lagrange插值公式、Newton插 值公式、Hermite插值公式、分段低次插值公式、三次样条插值公式。讨论和比 较它们的实用范围和优缺点。关键词:数值分析插值法插值公式误差MATLABABSTRACTInterpolation is one of the most basic method of numerical algorithm, but also the function approximation, numerical integration, numerical differentia
3、tion, numerical solution of differential equation based. Many practical problems need to solve by using the interpolation method, so the introduction of several common interpolation formula and error estimate, such as: Lagrange interpolation formula, Newton formula, Hermite formula of interpolation,
4、 piecewise low-order interpolation formula, three spline interpolation formula. Discuss and compare their application range and advantages and disadvantages.Keywords:Numerical analysis Method of interpolation Formula ofinterpolation Error Matlab引言插值法是数值算法的最基本方法之一,同时也是函数逼近、数值积分、数值微分、 微分方程数值解的基础。在全球化、
5、信息化浪潮大力推动下,计算机技术得到了迅速的发展。插值法也在生 活、工程和科学研究中得到了更为广泛的应用。比如在计算断面的面积、漏磁探伤和曲线 拟和等诸多实际问题中,有的函数f 3)虽然给出了解析表达式,但往往过于复杂而难以 计算,使用不方便;有的函数f 3)只能给出它在平面上一些离散的点和这些点的函数 值,而函数f 3)的具体解析表达式则不能给出,在这样的情况下,选用近似函数a 3) 来逼近函数f。MATLAB集计算和绘图等功能于一体,操作简单易上手,在数学领域中具有非常重要 的地位。在插值法中MATLAB可以通过改变插值函数的参数,来实现不同的插值方式。本文对几种插值法作归纳、总结并比较和
6、讨论几种插值法的优缺点,总结出规律, 并给出具体算例及Matlab实现,以便进一步理解插值法,更好地运用其方法解决实际工 程问题。1、几种常见的插值公式及其构造插值法是函数插值法的简称,它的基本思想是:构造一个简单便于计算的函数a 3)去 逼近原函数f,通过计算逼近函数a在某一点的值从而得到原函数f在这一点的 近似值,而求a 3)的方法就称为插值法。下面给出插值函数的一般定义:定义1,2,3,4:已知f 3)(可能未知或表达式非常复杂)是定义在区间 ,b上的函 数,在这个区间上有n +1个彼此不相同的点X ,X ,X ,X,且对应的函数值为012nf (X0), f (X), f (X2),f
7、 (X)。寻找一个简单、便于计算的函数a(X),使a(x)满足:a (X ) = f (X ), k = 0,1,2,n.kk通常称a,b为插值区间,f (x)为被插值函数,a(x)为插值函数,X ,X ,X ,X为插 012n值节点。其中当a(x)是多项式时,称为代数插值方法,即多项式插值。若设R(x)为误差函数或余项,则有R(x) = f (x)-以(x).而且R (x)满足关系式:R(x ) = 0, k = 0,1,2,n. k1.1 Lagrange 插值法已知Lagrange插值是为n次多项式插值,首先考察低次的插值多项式。当 n = 1 时,要构造出过两点(X , )与(X ,
8、)的多项式L (x)(次数不超过1次且X丰X), 0011101使得 L (x) = y , L (x) = y。则 L (x)可以写成 u,5:1001111x - x x 一 x1(x) = L T- * y 1 x-?t(Ll)0110它是两个线性函数x - xx - x匕(x)= x一士,1 (x)=x一xh00 x x 11 x x的线性组合,所以称(1.1)为线性插值多项式.当n = 2时,相应的构造出过三点(x,y ),(x,y), (x,y)的多项式L(次 0011222数不超过 2 且 x。x。x),使得 L (x) = y , L (x) = y , L (x) = y。则
9、 L (x)可0121001111222写成:(x 一 I? (1.2) 2 (x - x)( x - x).L (x) = y l (x) + yl (x) + yl (x) 20 001 112 22Y (x - x )(x - x )(x - x )(x - x )=y+ y+ y0 (x x)(x x )1 (x x )(x x)01021012有 L (x) = y (i = 0,1,2,., n.), n ii式(1.2)被称为抛物线插值多项式。同理,当x x x x为插值节点时 012n则L (x)可写成:(1.3)式(1.3)L(x) =yl(x) =Ey(x-x).(x-x1
10、)(x-x.(x-xn)i i=0i=0被称为Lagrange插值多项式.i 0 ii1ii+1i n/, i *i (x - x ).(x - x )(x - x ).(x - x)在(1.1),(1.2),(1.3)式子中,l (x)均为插值基函数,且满足:l (x) =! = k,k ik i 10 i 丰 ki=0 i丰k即得 I (x) = Wlx(i = 0,1,2,.,n). kV V误差估计由定理形式给出:定理1,6,7 1.1.1 设 x , x , x ,.,x012j为区间a, b上互不相同的节点,f (x)g C na,b,且 f (n+1) (x)在(a,b)内存在,
11、L (x)满足L (x) = y的插值多项式,则对 Vx g a,b, 3 g (a,b),使得R (x) = f (x) L (x)=nnf (n+1)( 20(n +1)!(x).n+1还可写成其截断误差:|R (x)M (n +1)1!n+1(x).其中M=maxn+1 axA/f (+1)()R (x) = g(x) N (x) =(x) = gx ,x ,.,x 岬(x).nn(n + 1)!n+10 1 nn+1当用Newton插值多项式计算较高次的插值时,只需添加一项对应的节点和在 这节点处的计算即可,而表达式前面的计算仍然有效,从而节省了计算量。但是用 Lagrange插值多项
12、式计算较高次的插值时,在添加一项对应的节点和其计算时,表 达式也要经过重新计算,计算量明显的增大。所以Newton插值多项式在这一点上克服了承上启下的问题。但随着次数n的增大,其误差不是很稳定,所以Newton插值对高次插值是不可取的。%保存文件名为New_Int.m%Newton基本插值公式%x为向量,全部的插值节点%y为向量,差值节点处的函数值%xi为标量,是自变量%yi为xi出的函数估计值function yi=New_Int(x,y,xi) n=length(x);m=length(y);if n=merror(The lengths of X ang Y must be equal!
13、);return;end%计算均差表YY=zeros(n);Y(:,1)=y;for k=1:n-1for1:n-kif abs(x(i+k)-x(i)epserror(the DATA is error!);return;endY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);endend%计算牛顿插值公式yi=0;for1:nz=1;for k=1:i-1z=z*(xi-x(k);endyi=yi+Y(1,i)*z;end1.3 Hermite 插值法定义1,2,3,: 设在n +1个不同的插值节点X ,X ,X ,X上,给定 = f 0), 012niim =
14、 f(X),i = 0,1,2,n。要求一个次数不超过2n +1的多项式H(x),使得满足ii2 n+1条件:H(X) = y,H(X) = m ,i = 0,1,2,n.则称满足这种条件的多项式为Hermite插值多项式。由于Hermite插值是带有导数的插值法,所以在运用Hermite插值法时就必须知道在节点处的函数值和其导数值,且还要求它们相等.如表2所示,知道了节点处的函数值和其导数值:表2节点数据表xxxxxny(x ?yyyyy(x ?bbbbn由表2可构造出一个次数不高于2n +1的多项式H2 13),则称H2 13)为Hermite 插值多项式,即 H(x) = (y a (x
15、) + b P (x)。其中侦(x),。(x)为插2n+1i ii iiii=0值基函数,则对Vx g a, b,羽g (a, b),使得误差函数或余项f (2n+1)(n) 七=y-H2n+i(x) =2 n+1 -Hermite插值多项式能够克服插值函数在节点处不光滑、不可导的缺点.但是在运用Hermite插值公式计算不但要求在节点处的导数值相等,甚至高阶导数也要求 相等,条件太高.在matlab中实现Hermite插值的代码如下:function h,yy =HermiteInt1 (x,y,x1,y1,xx)%求Hermite插值.x为插值节点,y为相应的函数值;在节点x1的一阶导数为
16、y1; xx为插值点.%输出Hermite插值函数的表达式h,若输入参数中有插值点xx时,再输出xx相 应的插值函数值 yy.n=length (x); m=length (x1 );syms tyy=0;for i=1:n%下面求y (i)前的系数I=0;%下面这个循环是要找出x (i)在数组x1中的位置 for j=1:mif x (i) =x (j)I=j ;breakend end11=1; 12=0;for j=1:nif j=i 11=11* (t-x (j) / (x (i)-x (j); 12=12+1/ (x (i)-x(j);endendfor j=1:mif j=I11=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 依据 几种插值 多项式 比较 分析
链接地址:https://www.31ppt.com/p-5011134.html