高等数学映射与函数.ppt

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1、1,基本概念,函数概念,小结 作业 思考题,第一节 映射与函数,第一章 函数与极限,函数的特性,反函数,2,一、集合,(1)定义,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,(3)符号,(4)表示,列举法,描述法,(5)常用集合,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,1.集合概念,(2)有限集和无限集,映射与函数,3,不含任何元素的集合称为空集,规定空集为任何集合的子集.,(6)关系,子集(包含),相等,2.集合的运算,并,交,(1)基本运算,B,A,I,B,A,I,AB=x|x A 且 x B,AB=x|x A 或 x B,映射与函数,4,补,直积或笛卡儿乘积:,差,A,B,I,AB=x|xA且

2、xB,AB,I,A,B,映射与函数,5,(2)运算法则,交换律:,结合律:,分配律:,对偶律:,映射与函数,6,3.区间和邻域,开区间(a,b):,(1)有限区间,闭区间 a,b:,半开区间 a,b):,半开区间(a,b:,映射与函数,7,(2)无限区间,映射与函数,8,(3)邻域,点a的邻域U(a):,以点a为中心的任何开区间.,点a的邻域U(a,):,U(a,)的实质:,U(a,)=(a,a+).,点a的左 邻域:,(a,a).,点a的右 邻域:,(a,a+).,问题：如何用邻域表示(1,2)呢？,映射与函数,9,二、映射,引例(1)一个班里有6名男同学,记为X=1,2,6，入学时分配宿舍

3、，共有4个房间可供分配，记为Y=301,302,303,304我们确定分配方案如下：,1301，2,3302，4,5303，6304,引例(2)设X=Y=1,2,3,4，规定对应法则：12，23，34，41,共同之处:,在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与它对应。,映射与函数,10,1.映射概念,(1)定义,(2)要素,设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f:X Y,如，X=三角形，Y=圆，f：X Y,对每个xX,有唯一确定的y(x的外接圆

4、)Y与之对应.,映射与函数,11,注记,映射与函数,12,(3)满射、单射和双射(一一映射),满射：,单射：,双射（一一映射）：,既是单射，又是满射.,Rf=Y,即Y中任一元素都是X中某元素的像；,映射与函数,13,补例1 设X是一切非负实数所成的集合，Y=yyR,0y1，f是从X到Y的一个映射，,证明：f是从X到Y的一一映射。,f(x)=,证明:设yY，取x=,，因为0y1，所以,x0，即xX我们有,f(x)=,=,=y,所以f是满射。,映射与函数,14,设x1,x2X，,所以f是单射。,综合(1)，(2)所述，f是一一映射。,(4)几种常用的映射(算子),泛函 f：X Y(数集);变换 f

5、：X X;函数 f：X(实数集或其子集)Y(实数集).,映射与函数,x1 x2时，f(x1)f(x2),15,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射,问题：请分析补例1是否存在逆映射？,设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到X的新映射g，即,g：RfX，,对每个yRf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y这个映射g称为f的逆映射，记作f-1其定义域Rf，其值域X,映射与函数,16,(2)复合映射,注记:,两个映射的复合是有顺序的;,映射与函数,17,.举例,例,映射与函数,18,三、函数,1.函数概念,(1)定义,设D是实数集，则称映射f:DR为定义在D上的函数，通常简记为：,其中x称为

6、自变量，y称为因变量，D称为定义域，一般记作,(2)要素,定义域D及对应法则f,映射与函数,19,注记:,区别符号f与f(x)的不同含义；,函数是特殊的映射.,掌握函数定义域D的确定原则:,(3)函数定义域D的确定,()对有实际背景的函数，根据问题的实际意义确定;,()对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许之取值而定（此为自然定义域）.,映射与函数,20,(4)单值函数与多值函数,若对xD唯一y Rf，则y=(x)单值；,若xD多个y Rf，则y=(x)多值。,如，x2+y2=r2(r0)确定y是x的二值函数。,对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为

7、多值函数的单值分支。,映射与函数,21,例,函数 y=2,y,x,o,1,y=2,映射与函数,22,例6,绝对值函数,y,x,o,1,-1,1,y=|x|,映射与函数,23,例,符号函数,y,x,o,1,1,映射与函数,24,例8,函数,x,y,o,2,1,y=f(x),分段函数,映射与函数,25,补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分钟是6.60(元),以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计)另加1.20(元).显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位:分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的图形。,解：记长途电话费为C(t)由于t0，于是函数的定义域为(0,+)从给出的信

8、息，我们有,映射与函数,26,取整函数 y=x其中x 表示不超过 x 的最大整数.,阶梯曲线,例9,映射与函数,27,例10,狄利克雷(Dirichlet)函数,映射与函数,28,2.函数的几种特性,(1)有界性,定义,映射与函数,29,说明,有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念,命题1：,比如，y=1/x 在(1,+)有界，在(0,1)内无界(无上界,但有下界).,函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。,映射与函数,30,(2)函数的单调性,定义,单调增加(或单调减少).,注意函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念,(x1)(x2),映射与函数,31,

9、(3)函数的奇偶性,偶函数,定义,则称 f(x)为偶函数(或奇函数).,奇函数,f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x),注意:有非奇非偶的函数,映射与函数,32,补例3 判别,的奇偶性。,分析,补例4 试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。,分析 设(x),g(x)为两偶函数,即(-x)=(x),g(-x)=g(x).记h(x)=(x)+g(x),则 h(-x)=(-x)+g(-x)=(x)+g(x)=h(x),故两偶函数之和为偶函数。,映射与函数,33,(4)函数的周期性,通常说周期函数的周期是指其最小正周期;,设函数 f(x)的定义域为D，若存在一个正数 l，,定义,恒成立，则称 f

10、(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期,x,y,o,x,f(x),x+l,f(x+l),说明,并非每个周期函数都有最小正周期如狄利克雷(Dirichlet)函数。,映射与函数,34,.反函数与复合函数,(1)反函数,定义,设函数 f:Df(D)是单射，则称其逆映射,为函数 f 的反函数,映射与函数,35,说明,反函数的习惯表示法,若直接函数 y=f(x)，xD，,直接函数与反函数的单调性,具有一致性,直接函数与反函数的图形特点,y=x,关于直线y=x对称,映射与函数,36,()复合函数,定义,设函数 y=f(u)，,函数 u=g(x)，,则称函数,为由函数u=g(x)和函数 y=f(u)构成

11、的复合函数,说明,(1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两个函数的复合是有条件的；,(2)函数复合可以推广到多个函数,问题：y=arcsinu 和u=2+x2和能否复合？,映射与函数,37,补例5 设f(x)的定义域是(0,1)，试求复合函数f(lnx)的定义域。,分析 y=(lnx)由y=(u)和u=lnx复合而成，,0lnx1，解出1xe故f(lnx)的定义域为(1,e),f(u)与f(x)的定义域一样的，即0u1，所以，,补例6,设,映射与函数,38,.函数的运算,设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为D1,D2,且,则可定义 f(x)和 g(x)的下列运算：,例11,设函

12、数 f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在(-l,l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x)，使得 f(x)=g(x)+h(x).,映射与函数,39,.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,映射与函数,40,指数函数,映射与函数,41,对数函数,映射与函数,42,三角函数,正弦函数,映射与函数,43,余弦函数,映射与函数,44,正切函数,映射与函数,45,余切函数,映射与函数,46,反三角函数,映射与函数,47,映射与函数,48,映射与函数,49,映射与函数,50,(2)初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.,补例7,说明,本课程内所讨论的函数大都是初等函数,映射与函数,51,四、小结,1.基本概念集合,区间,邻域,映射,函数.,2.函数特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.基本初等函数的特性.,映射与函数,52,3.基本运算集合运算,求函数定义域,求函数值,简单函数作图,判别函数的有界性、奇偶性，求函数的单调区间，求周期函数的周期，求反函数,函数复合与分解，建立实际问题的函数关系,四、小结,