167;4.2随机变量的方差.ppt
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1、由第一节我们知道,随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度,但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。,假设甲乙两射手各发十枪,击中目标靶的环数分别为,4.2随机变量的方差,容易算得,二人击中环数的平均值都是8.8环,现问,甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定?,直观的理解,二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少,这个选手发挥的更稳定,一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况,应由偏差的绝对值之和求平均更合适。,对于甲选手,偏差绝对值之和为:,所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.
2、64 环和 1.08 环,因而可以说,甲选手水平发挥更稳定些。,类似的,为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。,定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;,显然:E(X-EX)=0.,定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2 为X的方差,记为:,DX=E(X-EX)2,特别,记,x=,注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.,结合随机变量函数的数学期望可得:,(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则,DX=E(X-EX)2,(2)若X为连续型,Xf(x),则,DX=E(X-EX)2,随机
3、变量的方差,为X的标准差.,若X的取值比较分散,则方差较大.,若方差D(X)=0,则r.v.X 以概率1取常数值.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中,则方差较小;,D(X)=EX-E(X)2,方差的性质:,(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2,证明:(2)D(aX)=EaX-E(aX)2,=Ea(X-EX)2,=a2E(X-EX)2,=a2D(X),(4),DX=E(X-EX)2,=EX2-2X(EX)+(EX)2,=EX2-E2X(EX)+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(E
4、X)2,=EX2-(EX)2,EX2=DX+(EX)2,(常用于计算方差),(注:EX是常数),(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2,从而,证明:若X与Y相互独立,则已知,性质(5)可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如,当 相互独立时,成立,例1 对服从(01)分布的随机变量 X,分布列为,求 X 的方差。,已知 而且,则 X 的方差为,解,由上节中的例14 知 其中 服从同一(01)分布:,且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得:,解,例2 设随机变量 X 服从二项分布,试求,例 已知随机变量X服从二项分布,且E
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