导数的概念及运算(文).ppt

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1、导数的概念及运算,一、复习目标,了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(nN*)的导数公式、会求多项式函数的导数.,二、重点解析,导数的几何意义是曲线的切线的斜率,导数的物理意义是某时刻的瞬时速度.,无限逼近的极限思想是建立导数概念,用导数定义求函数的导数的基本思想.,导数的定义:,利用定义求导数的步骤:(1)求 y;,三、知识要点,f(x0)或 y|x=x0,即:,函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f(x0),就是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 k,即:k=tan=f(x0).,2.导数的意义,(1)几何意义:,(2)物理意义:,函数 S

2、=s(t)在点 t0 处的导数 s(t0),就是当物体的运动方程为 S=s(t)时,物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v,即:v=s(t0).,1.导数的概念,3.几种常见函数的导数,(1)c=0(c 为常数),(xn)=nxn-1(nQ);,4.如果 f(x),g(x)有导数,那么:,f(x)-g(x)=f(x)-g(x),f(x)+g(x)=f(x)+g(x),cf(x)=cf(x).,典型例题 1,解:(1)y=3x3+6x,y=(3x3)+(6x),求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x3)2;,(2)y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1);

3、(4)y=(2x2+3)(3x-2).,=9x2+6.,y=4+(4x3)+(x6),=12x2+6x5.,(3)y=2x3-2x2+x-1,y=6x2-4x+1.,(4)y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.,典型例题 2,已知 f(x)的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且 f(0)=2a,若 a2,求不等式 f(x)0 的解集.,解:f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.,f(0)=2a,b=2a.,f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a,=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a),=

4、(x-a)(x2-x-2),=(x+1)(x-2)(x-a),令(x+1)(x-2)(x-a)0,由于 a2,则,当 a=2 时,不等式 f(x)0 的解集为(-,-1);,当 a2 时,不等式 f(x)0 的解集为(-,-1)(2,a).,典型例题 3,已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,y0)(x00),求直线 l 的方程及切点坐标.,点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x03-3x02+2x0.,又 y=3x2-6x+2,在点(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.

5、,整理得 2x02-3x0=0.,注 有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.,典型例题 4,它在 P 处的切线斜率 k1=-2,典型例题 5,求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1,-1)的切线方程.,解:由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,设切点为 P(x0,y0),则,y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点 P 处的切线方程为,y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).,又切线过点 M(1,-1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),

6、即 y0=3x03+3x02-6x0-1.,而点 P(x0,y0)在曲线上,满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.,整理得 x03-3x0+2=0.,解得 x0=1 或 x0=2.,切点为 P(1,-1)或 P(-2,-1).,故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.,课后练习 1,求下列函数的导数:(1)y=(x2+1)(x-2);(2)y=(x-1)(x3+2x+6).,解:(1)y=x3-2x2+x-2,y=(x3)-(2x2)+(x)-2,(2)y=x4-x3+2x2+4x-6,=3x2-4x+1.,y=(x4)-(x3)

7、+(2x2)+(4x)-6,=4x3-3x2+4x+4.,课后练习 2,一质点作直线运动,它所经过的路程 S(单位:m)和时间 t(单位:s)的关系是 S=3t2+t+1.(1)求 2,2.01 这段时间内质点的平均速度;(2)当 t=2 时的瞬时速度.,解:(1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)v=S,=6t+1.,v|t=2=13.,即当 t=2 时,质点运动的瞬时速度为 13m/s.,课后练习 3,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线,求 f(

8、x)、g(x)的表达式.,解:f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,课后练习 4,如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点坐标与切线方程.,解:切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y|x=x0,3x02+1=4.,x0=1.

9、,当 x0=1 时,y0=-8;,当 x0=-1 时,y0=-12.,切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10)|x=x0,=3x02+1.,课后练习 5,已知曲线 S:y=x3-6x2-x+6.(1)求 S 上斜率最小的切线方程;(2)证明:S 关于切点对称.,(1)解:由已知 y=3x2-12x-1,当 x=2 时,y 最小,最小值为-13.,S 上斜率最小的切线的斜率为-13,切点为(2,-12).,切线方程为 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)证:设(x0,y0)S,(x,y)是(x0,y

10、0)关于(2,-12)的对称点,则 x0=4-x,y0=-24-y.,(x0,y0)S,-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6.,整理得 y=x3-6x2-x+6.,(x,y)S.,曲线 S 关于切点(2,-12)对称.,课后练习 6,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线,求 f(x)、g(x)的表达式.,解:f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.,又g(x)=2b

11、x,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,课后练习 7,设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式.,解:由已知,P 点的坐标为(0,d).,曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0,120-d-4=0.,又切线斜率 k=12,解得:d=-4.,故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12.,而 y=3ax2+2bx+c,y|x=0=c,c=12.,函

12、数在 x=2 处取得极值 0,y|x=2=0 且当 x=2 时,y=0.,解得 a=2,b=-9.,y=2x3-9x2+12x-4.,课后练习 8,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有相同的切线.(1)求实数 a,b,c 的值;(2)设函数 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的单调区间,并指出函数 F(x)在该区间上的单调性.,解:(1)f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,F(x)=2x3+4x2-8x-16.,综上所述,实数 a,b,c 的值分别为-8,4,-16.,223+2a=0.,f(2)=622-8=16.,(2)由(1)知 f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,F(x)=6x2+8x-8.,F(x)的单调区间为:(-,-2)、,