6.3等比数列及其前n项和.ppt
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1、要点梳理1.等比数列的定义 如果一个数列,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母 表示.2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.,6.3 等比数列及其前n项和,从第二项起,后项与相邻前项的比是,一个确定的常数(不为零),公比,q,a1qn-1,基础知识 自主学习,3.等比中项 若,那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am,(n,mN*).(2)若an为等比数列,且k+l=m+n,(k,l,m,nN*),则.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则 an(0),anbn,仍是等比数列.,G
2、2=ab,qn-m,akal=aman,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.,qn,基础自测1.设a1=2,数列an+1是以3为公比的等比数列,则a4的值为()A.80B.81C.54D.53 解析 由已知得an+1=(a1+1)qn-1,即an+1=33n-1=3n,an=3n-1,a4=34-1=80.,A,2.等比数列an中,a4=4,则a2a4a6等于()A.4 B.8 C
3、.32 D.64 解析 a4是a2与a6的等比中项,a2a6=16.a2a4a6=64.,D,3.(2009广东文,5)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2,a2=1,则a1=()A.2 B.C.D.解析 设公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因为等比数列an的公比为正数,所以q=,故a1=,C,4.在等比数列an中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值是()A.2B.-2C.3D.-3 解析 方法一 依题意,q1,=7,=63.得1+q3=9,q3=8,q=2.方法二(a1+a2+a3)q3=a4+a5+a6,而a4+a5+a6=S6-S
4、3=56,7q3=56,q3=8,q=2.,A,5.(2008浙江理,6)已知an是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+anan+1等于()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)解析 anan+1=4()n-14()n=25-2n,故a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=23+21+2-1+2-3+25-2n,C,题型一 等比数列的基本运算【例1】已知an为等比数列,a3=2,a2+a4=,求an的通项公式.根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组.解 方法一 设等比数列an的公比为q,则q0,a2=a4=a3q=2
5、q,+2q=解得q1=,q2=3.,思维启迪,题型分类 深度剖析,当q=时,a1=18,an=18()n-1=233-n.当q=3时,a1=,an=3n-1=23n-3.综上所述,an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4=,则a2,a4为方程x2-x+4=0的两根,,a2=a2=6a4=6 a4=,解得,或,.,当a2=时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当a2=6时,q=,an=233-nan=23n-3或an=233-n.(1)等比数列an中,an=a1qn-1,Sn=中有五个量,可以知三求二;(2)注意分类讨论的应用.,探究提高,知能迁
6、移1 已知等比数列an中,a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=anlog2an,求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q,由题意知:2(a3+2)=a2+a4,q3-2q2+q-2=0,即(q-2)(q2+1)=0.q=2,即an=22n-1=2n.,(2)bn=anlog2an=n2n,Sn=12+222+323+n2n.2Sn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1.-得-Sn=21+22+23+24+2n-n2n+1=-2-(n-1)2n+1.Sn=2+(n-1)2n+1.,题型二 等比数列的判定与证明【例2】(2
7、008湖北文,21)已知数列an和bn满足:a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 为实数,n为正整数.(1)证明:对任意实数,数列an不是等比数列;(2)证明:当-18时,数列bn是等比数列.(1)可用反证法.(2)根据递推关系推出bn+1=-bn,用-18说明b10,即bn0.,思维启迪,证明(1)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有=a1a3,即 9=0,矛盾.所以an不是等比数列.(2)bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n(an-3n+21)=-bn.又-18,所以b1=-(+18
8、)0.,由上式知bn0,所以(nN*).故当-18时,数列bn是以-(+18)为首项,为公比的等比数列.证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种:一是利用等比数列的定义,即证明(q0,nN*),二是利用等比中项法,即证明=anan+20(nN*).在解题中,要注意根据欲证明 的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构 造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.,探究提高,知能迁移2(2009全国理,19)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明 由已知有a1+a2=4a1+
9、2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,(2)解 由(1)知等比数列bn中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=32n-1,于是因此数列 是首项为,公差为 的等差数列,所以an=(3n-1)2n-2.,题型三 等比数列的性质及应用【例3】在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=8且=2,求a3.(1)由已知条件可得a1与公比q的方程组,解出a1、q,再利用通项公式即可
10、得a3.(2)也可利用性质=a1a5=a2a4直接求得a3.解 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列,也是等比数列,公比 为.,思维启迪,=(a1q2)2=4,a3=2.方法二 由已知得=4.a3=2.,由已知条件得,探究提高 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.,知能迁移3(1)已知等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值;(2)在等比数列an中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.,解
11、(1)a3a11=4a7,a70,a7=4,b7=4,bn为等差数列,b5+b9=2b7=8.,(2)方法一 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=q6=1.a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15=q54=8.:=q48=8q16=2,又a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43=q166=q6q160=(q6)(q16)10=1210=1 024.,方法二 由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为p,设T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16=8,T4=T1p3=1p3=8,p=2.T11=a41a42a43a
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