概率统计(非数学专业).ppt

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1、概率论与数理统计,主讲教师:王剑君,第一章 概率论的基本概念,概率论是研究随机现象的统计规律性的一门基础学科,为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样,概率论具有自己的严 格的体系和结构.本章重点介绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。,第一节 样本空间、随机事件,1.随机现象,客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。,直角三角形中,斜边边长的平方是另外两条直角边边长的平方之和.这是确定的，必然的。,随机现象1.掷一枚硬币,观察向上的面;2.某人射击一次,考察命中环数

2、;3.从一批产品中抽取一件,考察其质量;,确定性现象抛一石块,观察结局;导体通电,考察温度;异性电荷放置一起,观察其关系;,2.随机现象的统计规律性,虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在,上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，某人射击一次,其命中环数,只能是0-10中的任意整数。可见“全部可能的结果,的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,进行一次试验，如果每一次试验之前不能预知哪一个结果会出现，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特点：,（1）可重

3、复性：试验原则上可在相同条件下 重复进行;（2）可观察性：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的；（3）随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果,出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,De morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovsmii,4040,4092,10000,1

4、2000,24000,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。,3.样本空间

5、,随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示样本点与样本空间。,抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比如样本点=（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。,观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2,样本空间为=0次，1次，2次,连续射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间=1，01，001，0001，

6、,观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时，样本空间为：,练习:写出下列各个试验的样本空间:1.掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况；2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数；3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、C,有2 个黄球，编号D、E，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？,4.袋中有编号为1,2,3,n的球,从中任取一个,观察球的号码；5.从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中

7、某天交通事故的次数。,4.随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次,试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反，空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称 为不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。记作,2.事件相等,如果事件A包含事件

8、B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。,3.事件的并,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并，记作,4.事件的交,“事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作 或。,若AB=,且AB=,则称事件A与事件B互为对立事件(逆事件).A的对立事件记为,5.事件的差,“事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B的差,记作 A-B.,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即，则称A与B是互不相容事件.,6.互不相容事件,7.对立事件,显然,在一次试验中，若A发生，则必不发生，反之亦然，即在一次试验中，A与两者只能发生其中之一,8.完备事件组,则称

9、 是一个完备事件组。显然，A与 构成一个完备事件组。,为了帮助大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,表1.2,符号,集合论,概率论,全集,样本空间：必然事件,空集,不可能事件,推广:,注:,练习:1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|,B=x-a(0）A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,A与B对立,A与B互斥,例1.1.5:设A、B、C为任

10、意三个事件,试用它们表示下列事件:(1)A、B出现，C不出现；(2)A、B、C中恰有一个出现；(3)A、B、C中至多有一个出现；(4)A、B、C中至少有一个出现.,解答:,思考题:设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算式表示下列事件:,(1)A发生而B与C都不发生;(2)A,B都发生而C不发生;(3)A,B,C至少有一个事件发生;(4)A,B,C至少有两个事件发生;(5)A,B,C恰好有两个事件发生;(6)A,B,C恰好有一个事件发生;(7)A,B至少有一个发生而C不发生;(8)A,B,C都不发生.,解:,第二节 概率、古典概型,概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知

11、道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们称为事件的概率.随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。,1.频率 若随机事件A在 n 次试验中发生了k 次，则称比值 为事件A在n 次试验中发生的频率，记作.,它满足不等式：,如果A是必然事件,有k=n,则;,如果A是不 可能事件，有k=0,则;,就是说：必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。,一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的频率总是在某个确定值p附近徘徊，而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近

12、p,数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可能性大小的度量。,概率的统计定义：,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越,小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,2.组合记数,排列:从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有,全排列:,组合:从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有,例如:,两批产品各50件,其中次品各5件,从这两

13、批产品中各抽取1件,(1)两件都不是次品的选法有多少种?(2)只有一件次品的选法有多少种?,解(1)用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,古典概型 设为试验E的样本空间，若（有限性）只含有限个样本点;（等概性）每个基本事件出现的可能性相等;则称E为古典概型。,古典概型概率的定义,设E为古典概型,为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:,3.古典概型,(1)古典概型的判断方法（有限性、等概性）；(2)古典概率的计算步骤：弄清试验与样本点;数清样本空间与随机事件中的样本点数;列出比式进行计算。,注意:,概率的性质：,用0,1,2,9共10个数字中的任意两个(可重

14、复使用)组成一个两位数的字码,求字码之和为3的概率.,解:此为古典概型,样本空间总数为100,字码之和为3的有:03,30,12,21共4个字码,设A:字码之和为3,则,将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.,表示“点数之和为8”事件，,表示“第二次掷得3点”事件,解：设,所以,则,箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率：（1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品.,解：设A=取到的两个都是次品，B=取到的两个中正、次品各一个,C=取到的

15、两个中至少有一个正品.,（1）样本点总数为62，事件A包含的样本点数为22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的样本点数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）因为C与A互为对立事件,所以P(C)=1-P(A)=8/9,思考：若改为无放回地抽取两次呢?若改为一次抽取两个呢？,几何概型 设为试验E的样本空间，若试验E的样本空间是一个几何区域，这个区域大小可以度量(如长度、面积、体积等)并把 的度量记作;向区域 内任意投掷一点,落在区域内任意一个点处是等可能的;则称E为几何概型。,几何概型概率的定义,设A表示“掷点落在区域A内”那么事件A的概率可用下列公式计

16、算:,4.几何概型(等可能概型的推广),几何概率的性质：,两两互不相容,两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.,解:设甲船到达码头的时刻为 x，0 x 24 乙船到达码头的时刻为 y，0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待码头空出.,设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控,监控期为L单位时间,该期间内随时可提取尿样化验,设该人员随时可能复吸且复吸后S单位时间内尿样呈阳性反应,问该人员复吸并被检验出的概率是多少?

17、,解:此为几何型概率问题.用x,y分别表示复吸时刻和化验时刻,则0 xL,0yL,复吸且被检验出的充要条件为提取尿样化验的时刻与复吸时刻的时间差不超过S单位时间,即0y-xS,显然,(x,y)的全体和图中边长为L 的正方形内的点一一对应,能被检验出的事件与图中阴影部分对应.,注：用几何概型可以回答“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“随机地向边,长为1 的正方形内黄、蓝两个三角形投点”事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”,求,由于点可能投在正方形的对角线上,所以,事件A未必一定发生.,5.概率的公理化定义,前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它

18、们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.,为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础.,概率的公理化的定义:,(2)规范性,(1)非负性,两两互不相容,设,是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：,则,则称P(A)为事件A的概率.,概率的性质:,性质1 P()=0.性质2 若A1,A2,An 为两两互不相容事件,则有性质3 设A,B是两个事件,若,则有P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)P(B

19、)性质4 对任一事件A,P(A)1.性质5 对于任一事件A,有性质6(加法公式)对于任意两个事件A,B有,设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(AB).,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,又因为P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.35-0.1=0.25,解:由已知得,P(A)=0.6，P(A

20、B)=0.1,P()=0.15，,P（AB）=1-P（）=1-P（)=0.85,练习:1.P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求P(A-B).P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解：1.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.1,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,2.P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,3.P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。4.A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p

21、，求P(B).解:3.4.,所以,P(B)=1-P(A)=1-p,第三节 条件概率、全概率公式,引例:袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球 现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？,设 A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.,所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为,解 列表,设A、B为两事件,且P(B)0,则称 为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率,记为,即,定义:,1.条件概率的定义,下表给出乌龟的寿命表.寻求下面一些事件的条件概率.乌龟的寿

22、命表,（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？,（2）20岁的乌龟能活到100岁的概率是多少?,条件概率的性质,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,2.乘法定理,某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.,解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,例1.3.3 某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。,解:设,表示事件“产品是甲厂生产的”，,表示事件“产品是次品”由题设知,根

23、据乘法公式，有,一批产品100件,70件正品,30件次品,甲厂生产40件,乙厂生产30件,甲厂生产20件,乙厂生产10件,从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).,解:,从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2 张都是假钞的概率.,解:令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是（而不是！）.,所以,盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次取1个,求:（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取

24、两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求:第一次取得的是二等品的概率.,解:令 Ai 为第 i 次取到一等品,（1）,(3),提问：第三次才取得一等品的概率,是,（2）直接解更简单,（2）,(4),人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决.,例1.3.8 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如

25、利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们,3.全概率公式和贝叶斯公式,估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.,于是,=60%80%+40%40%=64%,解:记A为事件“利率下调”，那么 即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”.据题设知,定义 设 为样本空间,可分为n个事件，假如（1）（2）则称事件组 为样本空间的一个划分.,定理1.2(全概率公式)设B为样本空间 中任一事件,为 的一个划分,且P(Ai)0(i=1,2,n),则,某工厂生产的

26、产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且有如下的概率:一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,求一批产品通过检验的概率.,全概率公式把一个复杂的事件分解为一组互不相容的事件之和,若事件B受多个事件A1,A2,An的影响,而B只能和其中之一同时发生,当P(Ai)及P(BAi)都易于计算时,利用全概率公式可简化计算.,设B：“产品通过检验”Ai:“一批产品中有i件次品”，i=0,1,2,3,4,由题意得,(敏感性问题的调查)学生考试作弊会严重影

27、响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。问题1：你的生日是否在7月1日之前？问题2：你是否在考试时作过弊？被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是已知的，即,P(红球)=，P(白球)=1-,被调查者无论回

28、答问题1还是问题2，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内.,是 否,上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾，,如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易使被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查.当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计.设有 张答卷，其中 张答“是”，于是回答“是”的比率是，可用频率 去估计，记为,(是)=，,这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般认为是0.

29、5，即,p(是|白球)=0.5p(是|红球)也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中所占比率p，即p(是|红球)=p最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来p(是)=p(白球)p(是|白球)+p(红球)p(是|红球),由此可获得感兴趣的比率,注：像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、学生中看黄色书籍的比率等都可以参照此方法组织调查，获得感兴趣的比率.,上述公式称为贝叶斯公式,设是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,An满足:,则 对于任何一个正概率事件B，有,定理1.3 贝叶斯(Bayes)公式,贝叶斯公式用于解

30、决下面类型的问题.假设事件组 为样本空间 的一个分割，并且假设已知它们的概率，如果在试验中出现了事件,要求在此条件下对事件 出现的可能性做出判断，即求出它们关于 的条件概率,通常称 为先验概率而称,.,为后验概率.,例1.3.11 每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.,解,(1)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.807,A1,An,BA1,BA2,BAn,全概

31、率公式,B,贝叶斯公式,A2,例1.3.12 由于随机干扰,在无线电通讯中发出信号“”,收到信号“”,“不清”,“”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“”,收到“”,“不清”,“”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“”和“”出现的概率分别为0.6 和 0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“”还是“”的概率 哪个大？,解:设原发信号为“”为事件 A1 原发信号为“”为事件 A2,收到信号“不清”为事件 B,已知：,可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“”的可能性大,例 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件

32、正品.记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.,第四节 独立性1.事件的独立性,定义:若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1:A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).,证明：A.B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与

33、否的影响.,证明 不妨设A.B独立,则,其他类似可证.,推论2:在 A与 B,与 B,A与，与 这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。,注意:判断事件的独立性一般有两种方法:由定义判断,是否满足公式;由问题的性质从直观上去判断.,某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷.7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与听力都有缺陷，记,=“学生视力有缺陷”，,=“学生听力有缺陷”，,=“学生听力与视力都有缺陷”，,现在来研究下面三个问题：,（1）事件,与,是否独立？,由于,所以事件,与,不独立，即该校学生视力与听力,缺陷有关联.,（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺陷

34、的概率是多少？,这要求计算条件概率,由定义知,（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？,类似地可算条件概率,定义(n个事件的相互独立性）设有n个事A1,A2,An,若对任何正整数m(2mn)以及,则称这n个事件相互独立.,若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.,注意:从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,有限个事件的独立性,例1.4.2 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子,事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数.,则,但,相互独立

35、事件的性质,性质1 如果,个事件,相互独立，则,个事件改为相应的对立事,个事件仍然相互独立.,将其中任何,件，形成新的,性质2 如果,个事件,相互独立，则有,三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A=A1A2A3,P(A)=P(A1A2A3)=,=1-0.168=0.832,例1.4.4 已知事件 A,B,C 相互独立,证明:事件,证,事件,例1.4.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%,求来自不同地

36、区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.,解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A,第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai(i=1,2,100).,则,若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则,不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.,S1:,S2:,某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标

37、的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,解 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai(i=1,2,.,5)相互独立,P(B0)=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,即,(i=0,1,2,3,4,5),类推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),易计算：概率最大的击中目标次数为3.,一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率为p，则：当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1;当（n+1）p不为整数

38、时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.,要验收一批(100件)乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01,如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?,解:设以Ai(i=0,1,2,3)表示事件随机地取出3件乐器中恰有i件音色不纯,B:这批乐器被接收,已知一件音色纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为0.99,而一件音色不纯的乐器经

39、测试被误认为音色纯的概率为0.05,并且3件乐器的测试是相互独立的,于是有,若试验E只有两个可能结果：及,则称E为贝努里试验.设,此时.将E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验.,贝努里公式 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则,2.贝努里(Bernoulli)试验,同时掷四颗均匀的骰子,试计算:(1)恰有一颗是6点的概率;(2)至少有一颗是6点的概率.,解:这是一个4重贝努里试验,掷每一颗骰子就是一个基本试验.,每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以,(1)恰有一颗是6点的概率为,(2)至少有一颗是6点的概率为,例1.4.10 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6,求目标被击毁的概率.,解 设一门炮击中目标为事件A,P(A)=0.6,设目标被击毁为事件B,则,某型号火炮的命中率为0.8，现有一架敌机即将入侵，如果欲以 99.9%的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？,解答:设需配备 n 门此型号火炮设事件 表示第 i 门火炮击中敌机,故需配备 5 门此型号火炮.,