反常积分与无穷级数收敛关系的讨论95223747.doc
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1、黄冈师范学院本科生毕业论文 本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目: 反常积分与无穷级数收敛关系的讨论 NO.:2011211404032008200X2XX40XXX200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic: Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations Author: CHEN Gan College: College of Mathematics and Physics Specialty: Mathematics an
2、d Applied Mathematics Class: 201104 Tutor: HE Chunling May 17th, 2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 何春玲 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外,没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为,本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 特此郑重声明!指导老师(手写签名):论文作者(手写签名): 年 月 日摘要数学分析是一个研究变量的学科,既有连续变量,又有离散变量.级数和积分是数学分析中的两个重要概念,它们之间有着密切的联系,体现了离散与连续这一基本矛盾的对立与统一.因
3、此深入研究两者关系,有助于我们理解数学分析原理,解决相关问题.二者似乎相距甚远,实则同出一源.它们本质上都是求和运算,只不过是对两种不同的变量求和,同时都是一个极限过程,因此“连续化”问题的积分理论(反常积分)和“离散化”问题的级数理论(数项级数)有很多性质、定理都是相互对应的,二者在研究问题与论证方法上极为相似.本文从判别法等方面对二者加以比较,列出了很多平行的结论,以及一些区别,指出它们之间的相互转化关系,并应用这种关系,通过某类问题的求解探究另一类问题的解法,从而使读者体会离散与连续的相互转化思想,学会数学知识的迁移.关键词:反常积分;无穷级数;对比研究;审敛法Abstract Math
4、ematical analysis is a subject mainly studying on variables, including the continuous and discrete ones. Series and integrals are two important concepts of it, there is a close relationship between them. They embodies the opposite and uniformity of basic contradiction of continuity and discreteness.
5、 So doing further research on the relationship between the two terms helps us to understand mathematical analysis principle, and to solve some related questions. Both seem to produce a conservation-based legacy with source. They are peace operations, is merely to two different variables summation, a
6、t the same time is a limit process, so continuous questions of integral theory (generalized integrals, with respect to the integral, etc.) and discretization questions of series (several series, function of series) have many properties, theorem are mutual correspond, both in research on problems wit
7、h similar reasoning methods. By comparing the concepts, convergence, nature and discriminant method of both aspects, this article lists many paralleled conclusions and some differences, as well as the translation between them. And solve some problems of one kind by applying the solutions of the othe
8、r kind, thus helping the readers to realize the transformation between discrete and continuous thoughts, and be able to learn mathematics knowledge migration.Keywords Improper integral; Infinite series; Comparative study; The Inspection Technique 目录第1章 绪论11.1 选题背景及意义11.2 问题的提出11.3 相关文献综述21.4 论文的主要结构
9、3第2章 反常积分的收敛方法42.1非负函数无穷积分的收敛判别法42.2一般无穷积分的收敛判别法52.3本章小结7第3章 无穷级数的收敛方法83.1 无穷级数的概念83.2正项级数的一般判别方法83.3一般项级数收敛性判别方法12第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨154.1反常积分与数项级数的联系154.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较164.3无穷积分与无穷级数差异174.4本章小结19结束语20致谢21参考文献22第1章 绪论1.1 选题背景及意义级数和反常积分是微积分学中的重要内容,微积分又是以极限为工具来研究数学内容的 .数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立,由
10、麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家,历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容 .对于级数主要包括数项级数、交错级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数等主要内容;反常积分也称广义积分主要包括无穷积分和瑕积分两方面内容;反常积分是学习了定积分后又一新的内容,是对定积分的进一步推广,反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制,无穷积分主要研究的是无穷区间上的“积分”问题,瑕积分主要研究的是无界函数的积分问题 ,它们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉定积分问题进行研究的 .1.2 问题的提出 本论文想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量
11、形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较,列出相平行的结论,得出它们之间确实有着本质的联系这一事实,进而找到这一联系;意义是根据它们的联系,就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论,或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法,从而学会知识的迁移,解决更多的问题.1.3 相关文献综述数学分析(上、下册)是数学系数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识.上册内容包括实数集和函数,数列,极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实属完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,
12、附录分为微分学简史,实数理论,积分表等;下册包括数项级数,函数列与函数项级数,幂级数,隐函数,多元函数微积分等.数学分析中的典型问题与方法这本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型,每种类型的基本方法,旨在拓宽基础,启发思路,培养学生分析问题和解决问题的能力.包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数;多元函数极限、连续、微分、积分.并参阅了70余种教材、文献及参考书,经过反复推敲、修改和筛选,在几代人长期教学实践的基础上编写而成.选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对培养学生的能力极为有益.数学分析的思想方法通过多角度、深层次、全方位地探讨了数学分析学科的思想方法对
13、数学分析内容体系中所体现的重要思想进行了探讨与分析.并且通过大量的事例对数学分析内容中所常用的数学思想进行了举例与分析;对数学美与数学分析中的美学思想进行了论述与分析;对微积分创立过程中数学家的思想和方法进行了整理与分析;最后以附录的形式将古代数学家解决问题的方法进行了举例与说明.数学分析纵横谈的作者用唯物史观阐述微积分的发展史和评价历史人物, 采用文理渗透的方法,探索数学分析与史学、 逻辑学、 哲学、 美学及心理学等的联系,融学术性、 教育性、 指导性为一体, 是一部数学研究的力作, 对21世纪的数学分析课程建设, 将发挥重要的作用.数学分析原理是数学系经典原版书籍,共分为十一章,涉及了实和
14、复的数域、拓扑、序列与级数、连续性、微分、黎曼斯蒂尔切斯积分、函数列与函数项级数、特殊函数、多元函数以及勒贝格理论等与数学分析相关的内容.反常积分与无穷级数在惟质及敛散性判别法方面极其类似,无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的“搬家”.目前,许多文献对无穷积分和无穷级数进行了研究.如张千祥1等.研究了无穷积分与无穷级数的关系;关东月2,研究了无穷积分与无穷级数收敛的必要条件的不同之处。本文则主要给反常积分和无穷级数的一个等价关系,进行比较研究。1.4 论文的主要结构对反常积分和数项级数概念的定义、性质以及收敛判别法等方面列出了很多平行结论加以比较,对其中一些重要结论给出了证明,
15、指出了它们之间可以相互转化.并根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.第1章从选题背景及意义、问题提出、相关文献综述、论文结构这四个方面来阐述,说明了该论题研究现状和成果.第2章 从反常积分的收敛方法,通常所讲的反常积分和无穷级数在理论和研究方法上联系.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.第3章 简单介绍无穷级数概念与各种收敛方法.第4章 探讨了反常积分与无穷级数收敛关系,并对它们的判别法进行了对比研究.第2章 反常积分的收敛方法通常所讲的反常积分主要包含两类:无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分
16、).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.2.1非负函数无穷积分的收敛判别法定理2.13(比较判别法)设定义在 上的两个非负函数和都在任何有限区 上可积,且满足 ,则当收敛时必收敛(或者,当发散时必发散). 推论2.1(比较判别法的极限形式) :若和都在任何有限区间上可积,当时,且,则有: (i)当时,与同敛态;(ii)当时,有收敛可推知也收敛; (iii)当时,由发散可推知也发散.特别地,如果选用作为比较对象,则我们有如下两个推论
17、(称为柯西判别法).推论2.2(Cauchy判敛法): 若定义于 ,且在任何有限区间上可积,则有:(i)当; (ii)推论2.3(Cauchy判敛法的极限形式 ):若是定义于上的非负函数,在任何有限区间上可积,且 ,则有 (i)当 (ii)当例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性 解:,所以由推论3知收敛.2.2一般无穷积分的收敛判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理2.2(狄利克雷判别法)若在区间上上有界 , 在上当时单调趋于0,则收敛.定理2.3(阿贝尔判别法) 若收敛 ,在上单调有界 ,则收敛. 例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛. 例2.3 讨论积分 (a0)
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