概率的定义及计算.ppt

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1、Ch1-39,1.2 概率的定义及计算,1.2 概率定义计算,历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,Ch1-40,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,Ch1-41,频率的性质,事件 A,B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,Ch1-42,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069,n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016,n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(Buffon)投币,皮尔森(Pe

2、arson)投币,Ch1-43,例 Dewey G.统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同：,A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006,Ch1-4

3、4,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生的概 率,事件发生的频 率,根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率,Ch1-45,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准,震级 7 级左右,死亡 5000人以上,Ch1-46,1948.06.28 日本福井地区

4、7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,Ch1-47,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越,小,则称

5、p 为事件 A 的概率,记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,Ch1-48,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P(A),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的公理化定义,公理化定义,Ch1-49,概率的性质,若,Ch1-50,对任意两个事件A,B,有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+P(B AB),Ch1-51,加法公式：对任意两个事件A,B,有,推广：,Ch1-52,一般：,右端共有 项.,Ch1-53,例1 小

6、王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王,解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,Ch1-54,课后同学问：,例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？,若是的话,则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.4中将告诉我们上述等式成立的,条件是：事件 相互独立.,Ch1-55,例2 设A,B满足 P(A)=0.6

7、,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,例2,Ch1-56,课上有同学提问,最小值是否正确？,例2 中回答当 时,取得,这相当于问如下命题是否成立,答：不成立！,式是“羊肉包子打狗”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,Ch1-57,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的古典定义,古典概型,Ch1-58,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球

8、（),求其中恰有 k 个（）白球的概率,解（1）不放回情形,E:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次,:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,例3,Ch1-59,又解 E1:球编号,一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,不放回地逐次取 m 个球,与一次任取 m 个球算得的结果相同.,则,因此,称超几何分布,Ch1-60,（2）放回情形,E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则,称二项分布,Ch1-61,设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数

9、无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球(),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例4（分房模型）,例4,Ch1-62,解,设(1)(6)的各事件分别为,则,Ch1-63,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,Ch1-64,例5“分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A)的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，3

10、65天为,365只“盒子”,若 n=64，,每个盒子至多有一个球.由例4（6）,例5,Ch1-65,解,例6 在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数,故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,例6,Ch1-66,解,设 A 表示事件“n 次取到的数字的乘积能被10整除”,设 A1 表示事件“n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件“n 次取到的数字中有5”,A=A1 A2,例7 在1,2,3,9中重复地任取 n()个数,求 n 个数

11、字的乘积能被10整除的概率.,例7,Ch1-67,Ch1-68,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同,如 例3不放回试验的两种不同设计.一般 越小越好.,Ch1-69,若P(A)0.01,则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,(即实际推断原理),Ch1-70,例8 区长办公室某一周内曾接待

12、过9次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P(9次来访都在周三、日)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,Ch1-71,习题,作业 P 46习题一,7 8 10 12,15 17 19,补充作业,设事件A,B,C 同时发生必导致事件,D 发生，则,Ch1-72,柯尔莫哥洛夫,(A.H.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为 20 世纪最有影响的俄国数学

13、家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,Ch1-73,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;,Ch1-74,1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,Ch1-75,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年

14、代中期开创了研究函数特征的,信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的函数;,60年代后又创立了信息算法理论;,Ch1-76,1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德,.西奈依等人.,他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.,Ch1-77,第 2 周,问 题,每周一题,已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,

15、通过做此题 你能发现什么问题？,（此题是1992年考研填空题）,Ch1-78,一般会解出,Ch1-79,由题设得,另一方面又可得,于是得矛盾,若将条件修改为 P(AC)=P(BC)=1/9便无矛盾,Ch1-80,例9 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例9,Ch1-81,几何概型 设样本空间为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为,Ch1-82,例10 两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与

16、 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的瞬时为 x,0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y,0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,例10,Ch1-83,Ch1-84,用几何概型可以回答例2中提出的“概率为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“随机地向边,长为1 的正方形内投点”事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”,由于点可能投在正方形的对角线上,所以,事件A未必一定发生.,求,Ch1-85,作业 P 46习题一,习题,21,22(1)(2),Ch1-86,完全可加性,随机地向区间(0

17、,1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,附录,Ch1-87,Ch1-88,排列组合有关知识复习,Ch1-89,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,Ch1-90,Ch1-91,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有,Ch1-92,将15 名同学(含3 名女同学),平均分成三组.求(1)每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；(2)3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例11,(类似于教材 P.22 例10),Ch1-93,例12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒，i=1,2,3,4,则,Ch1-94,由广义加法公式,