自动控制课件第三章时域分析法.ppt

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1、1,第三章 时域分析法,31 时域分析基础,32 一、二阶系统分析与计算,33 系统稳定性分析,34 稳态误差分析计算,主要内容,返回主目录,2,基本要求熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特 点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2.了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3.正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。,返回子目录,3,4.正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应 用条件。5.熟练掌握计算稳态误差的方法。6.掌握系统的型次和静态误差系数的概念。,4,控制系统的数学模型是分析、

2、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域、根轨迹、频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。,5,31 时域分析基础,一、时域分析法的特点,根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。时域分析法是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。,返回子目录,6,二、典型初始状态，典型外作用,1.典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。,7,2.典型外作用

3、,8,单位斜坡函数,9,单位脉冲函数,图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。,10,正弦函数,其拉氏变换为,f(t),11,三、典型时间响应,初状态为零的系统，在典型输入作用下的输出，称为典型时间响应。,12,1.单位阶跃响应,定义：系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下的响应，常用h(t)表示。,若系统的闭环传函为，则h(t)的拉氏变换为,故,(3-1),0,13,2.单位斜坡响应,定义：系统在单位斜坡输入r(t)=t1(t)作用下的响应，常用 表示。,故,14,3.单位脉冲响应,定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=(t)作用下的响应，

4、常用k(t)表示。,注：关于正弦响应，将在第五章里讨论,故,则有,15,4.三种响应之间的关系,由式(3-3)可将式(3-1)和式(3-2)写为：,相应的时域表达式为,16,四、阶跃响应的性能指标,17,1.峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。,2.超调量：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。,3.调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。,4.稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。,18,注意事项：,19,32 一、二阶系统分析与计算,定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。,一

5、、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应,返回子目录,20,一阶系统数学模型,微分方程：,动态结构图：,传递函数：,21,一阶系统单位阶跃响应,输入：,输出：,22,单位阶跃响应曲线,初始斜率：,t,23,性能指标,1.平稳性：,2.快速性ts：,3.准确性 ess：,非周期、无振荡，0,t,24,举例说明（一阶系统）,一阶系统如图所示，试求：当KH0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍数K，稳态误差ess。如果要求ts0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。,看懂例题3-1并回答上述各题,25,二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响

6、应,定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。,26,二阶系统数学模型,二阶系统的微分方程的一般式为,27,二阶系统的反馈结构图,28,二阶系统的传递函数,开环传递函数：,闭环传递函数：,29,二阶系统的特征方程为,解方程求得特征根：,当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：,式中：为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。,s1,s2完全取决于，n两个参数。,30,此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。,特征根分析（欠阻尼）,31,特征根分析（临界阻尼）,此时s1,s2为一对相等的负实根。s1=s2=-n,32,特征根分析（过阻尼）,此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的

7、负实轴上。,33,特征根分析（零阻尼）,此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。s1,2=jn,34,特征根分析（负阻尼）,此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。,35,特征根分析（负阻尼）,此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。,36,二阶系统单位阶跃响应,1.过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应,取C(s)拉氏逆变换得：,37,过阻尼系统分析,衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢衰减项前的系数一个大，一个小二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统离虚轴近的极点所决定的

8、分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。,38,过阻尼系统单位阶跃响应,39,与一阶系统阶跃响应的比较,t,c(t),二阶过阻尼系统,一阶系统响应,1,0,40,二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析,对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，当 时，当时。,41,2.欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应,42,二阶欠阻尼系统的输出,拉氏逆变换得：,43,二阶欠阻尼系统输出分析,二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为d。,44,下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。,45,下面根据上图来分析系

9、统的结构参数、对阶跃响应的影响。,平稳性（）,结论：越大，d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，d 越大，振荡越严重，平稳性越差。,46,当 0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。,阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示,47,结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，小，系统响应的平稳性好。,在 一定的情况下，越大，振荡频率 也越高，响应平稳性也越差。,48,快速性,从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。,总结：越大，调节时间 越短；当 一定时，越大，快速性越好。,49,稳态精

10、度,从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。,50,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标,1.上升时间：令，则,所以：,51,根据极值定理有：,该项不可能为零,2.峰值时间：,52,取n=1得:,53,3.超调量,将峰值时间 代入下式,得:,所以:,54,4.调节时间,写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。,当阻尼比 时,55,三、二阶系统举例,设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间t

11、p，调节时间ts和超调量，并分析比较之。,56,例题解析(1),输入：单位阶跃函数,系统的闭环传递函数,57,例题解析(2),当KA 200时,系统的闭环传递函数：,与标准的二阶系统传递函数对照得：,58,例题解析(3),当KA 1500时,系统的闭环传递函数：,与标准的二阶系统传递函数对照得：,59,例题解析(4),当KA 13.5时,系统的闭环传递函数：,与标准的二阶系统传递函数对照得：,无,60,系统在单位阶跃作用下的响应曲线,61,四、改善二阶系统响应的措施,1.误差信号的比例微分控制,62,系统开环传递函数为,闭环传递函数为,等效阻尼比为,63,可见，引入了比例微分控制，使系统的等效

12、阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。,64,前面图的相应的等效结构,由此知道,65,和 及 的大致形状如下,一方面，增加 项，增大了等效阻尼比，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。,66,总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地

13、提高系统的快速性。,67,2.输出量的速度反馈控制,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图所示。,68,闭环传递函数为,等效阻尼比为,等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。,69,3.比例-微分控制和速度反馈控制比较,从实现角度看，比例-微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、

14、参数漂移等不利影响大大削弱。,70,五、高阶系统的时域分析,定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。,由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，它们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。,71,这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。,一、二阶系统的极点分布如下：,72,33 系统稳定性分析,主要内容：,线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法。,返回子目

15、录,73,一、系统稳定的概念,稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。,74,二、稳定性的数学条件,设系统的线性化增量方程为,75,对上式进行拉氏变换得,其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s)为输出，M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式。,或简写为,76,则有,假定：,将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得,77,再进行拉氏逆变换，得,该部分为稳态分量，即微分方程的特解，取

16、决于输入作用。,78,该部分为瞬态分量，即微分方程的通解，运动规律取决于，由系统的结构参数确定。,79,系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。,故：稳定性定义可转化为,式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。,80,特征根的性质对系统稳定性的影响,当si为实根时，即sii,81,82,特征根与系统稳定性的关系(2),当si为共轭复根时，即si，i+1i ji,83,共轭复根情况下系统的稳定性,84,结论：,系统稳定的充分必要条件是：,系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。,注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条

17、件：sE(s)在s平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根si位于s平面的虚轴之左。,85,三、稳定性判据,判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据,系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k1,2,3,，n）全部为正。,86,赫尔维茨判据,系统特征方程的一般形式为,各阶赫尔维茨行列式为,（一般规定）,87,举例：,系统的特征方程为,试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。,88,解：,第一步：由特征方程得到各项系数,第二步：计算各阶赫尔维茨行列式,结论：,系统不稳定。,89,判据之二：林纳德 奇帕特（Lienard-Chipard)判据,系统稳定的充

18、分必要条件为：,系统特征方程的各项系数大于零，即,奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即,或,必要条件,90,举例：,单位负反馈系统的开环传递函数为,试求开环增益的稳定域。,91,解：,第一步：求系统的闭环特征方程,第二步：列出特征方程的各项系数。,第三步：系统稳定的充分必要条件。,92,解得：,开环增益的稳定域为：,由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。,93,判据之三：劳思(Routh)判据,系统稳定的充分必要条件是：劳思表中第一列所有元素的计算值均大于零。,94,若系统的特征方程为,则劳思表中

19、各项系数如下图,95,关于劳思判据的几点说明,如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定。第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。,96,例1,设系统特征方程如下：,试用劳思判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。,97,解：,将特征方程系数列成劳思表,结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。,98,劳思表判据的特殊情况,在劳思表的某一行中，第一列项为零。在劳思的某一行中，所有元素均为零。在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳思判据的结果。,99,例2,设系统的特征方程为：,试用劳思判据确定正实部根的个数。,100,解：,

20、将特征方程系数列成劳思表,由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。,101,于是得到新的特征方程为：,将特征方程系数列成劳思表：,结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。,102,例3,设系统的特征方程为：,试用劳思判据确定正实部根的个数。,103,解：,将特征方程系数列成劳思表,劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。,104,用 行的系

21、数构造系列辅助方程,求导得：,用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到,105,106,表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为。再求出特征方程的其他两个根为。,107,四、结构不稳定及改进措施,某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统。,下图为液位可能控制系统。,108,消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质。引入比例-微分控制，补上特征方程中的缺项。,该系统的闭环特征方程为,系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。,109,1.改变积分性质,用反馈

22、包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。,110,2.引入比例微分控制,在原系统的前向通路中引入比例-微分控制。,111,其闭环特征方程为,由稳定的充分必要条件,引入比例微分控制后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。,112,34 稳态误差分析计算,一、误差与稳态误差,系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值实际值,误差的定义有两种:(1)e(t)=r(t)-c(t)(2)e(t)=r(t)-b(t),返回子目录,113,稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为,二、稳态误差

23、的计算,若e(t)的拉普拉斯变换为E(s)，且,114,就成立。,注：,sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。,115,对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s),116,称之为系统对输入信号的误差传递函数。,称 为系统对干扰的误差传递函数。,117,例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差,解：判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。,求E(s)。,118,根据结构图可以求出,依题意：R(s)=N(s)=1/s,则,应用终值定理得稳态误差,119,三、输入

24、信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环传递函数为,120,将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：,当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得：,上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关。,121,1.阶跃信号作用下的稳态误差,要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。,122,2.斜坡信号作用下的稳态误差,要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。,123,3.等加速信号作用下的稳态误差,要消除等加速信号作

25、用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。,124,由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。,系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。=的系统称为型系统；的系统称为型系统；的系统称为型系统。,125,静态误差系数,由,当,定义静态位置误差系数 Kp 为,得,126,当,定义静态速度误差系数 Kv 为,当,定义静态加速度误差系数 Ka 为,127,典型输入下的静态误差系数及稳态误差,128,例：系统结构如下图：若输入信号为，,试求系统的稳态误差。,解

26、：判别稳定性。系统的闭环特征方程为,129,根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求。,从结构图看出，该系统为单位反馈且属型系统。因此,。,。,130,注意事项,系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；上述公式中必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为时的系数；以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。,131,四、干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系,用一待定的 来代替上图中的，然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时，需具备的条件。,132,133,以上分析表明，是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。,134,例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差。,解：判断稳定性。系统开环传递函数为,135,所以闭环特征方程为,求稳态误差。,从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。,136,137,本章知识点及联系,