反函数的定义及性质.doc

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1、反函数的定义及性质一定义:如果确定函数y=f(x)，xA的映射f:AB(f:y=f(x), xA)是从A到B上的一一 映射，则它的逆映射f-1:BA(f-1:yx=f-1(y), yB).所确定的函数y=f-1(x), xB称为y=f(x),xA的反函数.二、反函数的性质1由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.2f(x),xA和f-1(x), xB互为反函数.3原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4单调函数具有反函数，因为单调函数一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y= (x0), 其反函数与自身相同，但

2、它在(-,0)(0,+)上不具单调性.5若b=f(a), 则 a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6xA, f-1f(x)=x; xB, ff-1(x)=x.7原函数与反函数图象关于y=x对称.8单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若 一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。如：y=x3-x, 当y=0时x=

3、0, 1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x0, y0,其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）三、求反函数的一般步骤1求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4下结论（注意给出反函数定义域）反函数的性质及应用函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在

4、历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。性质1原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。例1.函数的反函数是（）。 A. B.C. D.解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当时，；时。由性质1，可知原函数的反函数在时，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。例2.若函数为函数的反函数，则的值域为_。解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域

5、，可得的值域为。性质2若是函数的反函数，则有。从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其反函数必过点。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。例3.函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程在1，4上的根是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，0），即，所以的根为，应选C。例4.设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，=0，则=_。解析：由=0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，0）关

6、于点（1，2）的对称点为（，4）。由题意知点（，4）也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。性质3单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数。例5函数=在区间上存在反函数的充要条件是（）A. B.C. D.解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C。例6.已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明。证明：（反证法）假设存在，使得。是定义在

7、R上的单调递增函数，由性质3知，也是R上的单调递增函数。若，则，即，矛盾。同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。性质4若是的反函数，则的反函数为，的反函数为。证明：假设的反函数为，若，则，即，得。也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。例7.设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。解析：函数的图象与的图象关于直线对称。与互为反函数。根据性质4，的反函数为。，得。例8.设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值。解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得。反三角函数的概念和性质函数yarcsinx的

8、定义域是1, 1，值域是.2函数yarccosx的定义域是1, 1，值域是0,.3函数yarctgx的定义域是R，值域是.4函数yarcctgx的定义域是R，值域是(0,).5arcsin()= ; arccos(); arctg(1); arcctg().正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2掌握反三角函数的定义域和值域，yarcsinx, x1, 1, y, yarccosx, x1, 1, y0, , 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3符号arcsinx可以理解为上的一个角或弧，也可以理解为区间

9、上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为0，上的一个角或弧，也可以理解为区间0，上的一个实数； 4yarcsinx等价于sinyx, y, yarccosx等价于cosyx, x0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5注意恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x, arccos(cosx)x, x0, 的运用的条件； 6掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7注意恒等式arcsinxarccosx, arctgxarcctgx的应用。