特征值问题和二次型.ppt

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1、1,第5章 特征值问题 二次型,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件,并对实二次型的有关内容进行了讨论.,2,第5章 特征值问题 二次型,特征值与特征向量相似矩阵二次型及其标准形正定二次型,3,第5.1节 特征值与特征向量,教学目的：掌握特征值与特征向量概念及其性质教学重点：特征值与特征向量的求法教学难点：特征值与特征向量性质教学方法：讲练结合教学步骤：如下：,返回,4,1.特征值与特征向量概念,(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 及非零向量x使 Ax=x则称数 为A的特征值，x

2、为A的对应于 的特征向量.例如,注：对应于同一特征值的特征向量不惟一；一个特征向量不能对应于不同特征值.,所以1为A的一个特征值，,特征值1的特征向量.,5,(2)相关概念,将特征值与特征向量定义式 Ax=x 改写为 x Ax=0 即(E A)x=0称,6,(3)特征值与特征向量求法,依据(E A)x=0 知：特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解；而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式EA=0,即A的特征值 为特征方程的根.步骤如下(i)求出特征方程EA=0的全部根 1,2,n,即A的全部特征值；(ii)对每个i,求方程组(iEA)x=0 的所有非零解即为A的对应于特征值i

3、 的特征向量.,分析,7,例1 求矩阵A的特征值和特征向量,解(i),(ii),8,例2,解(i),9,(ii),10,例3 求矩阵A的特征值和特征向量,解(i),(ii),11,例2与例3中,重特征值所对应的线性无关特征向量的个数是不相同的.,12,2.特征值与特征向量的性质,(1)特征值的性质定理1 若1,2,n为方阵A的n个特征值，则(i)12n=A;(ii)1+2+n=a11+a22+ann=tr(A).证(i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有 EA=(-1)(-2)(-n)令=0，得A=(-1)(-2)(-n)=(-1)n 12n,即 A=12n.(ii)略.,13,定理2 若为

4、方阵A的特征值，则(i)k为Ak(k为正整数)的一个特征值;(ii)若f(x)为x的多项式,则f()为f(A)的一个特征值；(iii)若A可逆,则-1为A-1的一个特征值;-1A为A*的一个特征值;定理3 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值.证 由于(EA)T=(E)TAT=EAT,所以 EA=(EA)T=EAT 即A与AT 有相同的特征值.,14,定理2的证明,15,例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求(1)2A的特征值；(2)A1的特征值;(3 tr(A),|A|;(4)A*的特征值;(5)A2的特征值;(6)B=A22A+E的特征值及|B|.,解 由特征值的性质，得(1)2A的

5、特征值为2，4，6；(2)A1的特征值为1，1/2，1/3;(3)tr(A)=1+2+(3)=0,|A|=12(-3)=6;(4)A*的特征值为 6，3，2;(5)A2的特征值为1，4，9;(6)B=A22A+E的特征值为2 2+1即0，1，16；|B|=0.,16,(2)特征向量的性质,定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关.证 设1,2,m为方阵A的m个不同特征值,x1,x2,xm为相应的特征向量.当m=1时,x10(单个的非零向量线性无关),定理成立.假设对m1不同的特征值定理成立，现证对m个不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+kmxm=0(*)用方阵A左乘上式两端

6、,得 k1Ax1+k2Ax2+ks Axm=0,17,再利用 Axi=i xi(i=1,2,m),得 k11x1+k22x2+kmmxm=0(*)(*)-m(*),得k1(1m)x1+k2(2m)x2+km-1(m-1m)xm-1=0由归纳假设,x1,x2,xm-1线性无关.因而 ki(im)=0 i=1,2,m-1但(im)0(i=1,2,m-1),于是ki=0(i=1,2,m-1).此时式(*)变成 km xm=0,而 xm0，所以 km=0.这就证明了x1,x2,xm线性无关.,18,关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有,定理5 若0是方阵A的k重特征值，则对应于0的线性无关特征

7、向量个数不超过k个.当A为实对称矩阵时，有定理6 实对称矩阵A的k重特征值恰好有k个对应于此特征值的线性无关的实特征向量.,思考练习,19,第5.2节 相似矩阵,教学目的：相似矩阵的定义，矩阵与对角矩阵相似的条件，实对称矩阵的对角化定理教学重点：相似矩阵的性质，矩阵与对角矩阵相似的条件，实对称矩阵的对角化定理教学难点：矩阵与对角矩阵相似的条件实对称矩阵的对角化定理教学方法：讲练结合教学步骤：如下：,返回,20,1.相似矩阵,(1)相似矩阵定义:设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使P1AP=B称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为AB.例如,注:AA；若AB，则B A；若 AB,B C

8、则AC.AB A与B等价.,21,(2)相似矩阵的性质,(i)若AB,则|A|=|B|；(ii)若AB,则E A E B,从而|E A|=|E B|,进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)若AB,则Am Bm,kA kB;(iv)若AB,f(x)为多项式,则f(A)f(B);(v)若AB,且均可逆，则A1 B1；(vi)若AB,则r(A)=r(B).,22,证 设矩阵A与B相似,即有P1AP=B,则,(i)|B|=|P1AP|=|P1|A|P|=|A|；(ii)E B=E P1AP=P1(E A)P,即 E A E B；再由(i)得|E A|=|E B|；进而有相同的特征值，有相同的迹；(

9、iii)Bm=(P1AP)m=(P1AP)(P1AP)(P1AP)=P1AmP,即Am Bm；P1(kA)P=k(P1AP)=kB,即 kA kB;(iv)由(iii)及矩阵的运算性质即得f(A)f(B);(v)B1=(P1AP)1=P1A1(P1)1=P1A1P；(vi)AB时，A与B等价，从而r(A)=r(B).,23,例1,解 因相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的 特征值 2,y,1.由特征值的性质，有 2+0+x=2+y+(1)2=|A|=2y(1)=2y 得 y=1，x=0.,24,2.矩阵与对角矩阵相似的条件(矩阵可对角化的条件),(1)A可对角化的定义 若A与对角矩阵相似，

10、称A可对角化.(2)A可对角化的条件 定理,证(),25,26,(),27,推论 若A有n个互不相同的特征值,则A可对角化.n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,线性无关特征向量的个数,特征值的重数,(3)矩阵对角化的实施步骤,(i)求出A的全部特征值 1,2,n；(ii)对每个i,求方程组(i E A)x=0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量;(iii)若A有n个线性无关特征向量 p1,p2,pn,则A与对角矩阵相似.令 P=(p1,p2,pn)，则,28,例1 矩阵 能否对角化？若能，求可逆矩阵P,使P1 AP=为对角阵.,解(i),(ii),2

11、9,30,例2 矩阵 能否对角化?若能,求可逆矩阵P,使P1 AP=为对角阵.,解(i),(ii),31,由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩阵不能对角化.,32,(4)可对角化矩阵的简单应用,(i)由特征值和特征向量反求矩阵A:A=P P1(ii)求方阵的幂:Ak=Pk P1 例3 3阶方阵A有三个不同的特征值1=1,2=2,3,对应的特征向量分别为,33,解,(2)令 P=(p1,p2,p3)则 P1AP=,34,35,思考练习,36,3.实对称阵的对角化,(1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质定理(i)实对称矩阵的特征值都是实数;(ii)实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正

12、交;(iii)实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等.证(ii)设1,2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量,即 Ai=i i(i=1,2)因 2TA1=2T11=12T1 2TA1=2TAT1=(A2)T1=(22)T1=22T1故 12T1=22T1即(1-2)2T1=(1-2)2,1=0，但1 2，因此 2,1=0，即2与1正交.,37,(2)实对称矩阵的对角化,定理 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使 Q1AQ=QTAQ=为对角阵,的对角线上的元素为A的n个特征值.(证略)用正交矩阵化A为对角阵的步骤：(i)由|E A|=0求出A的全部特征值 1,2,n;(ii

13、)对每个i,求方程组(i E A)x=0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量;(iii)将线性无关特征向量正交化、单位化，令 Q=(q1,q2,qn)则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=为对角阵.,38,例1,解(i),(ii),39,40,(iii)正交化、单位化,41,令 Q=(q1,q2,q3),则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=,实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法不唯一，故Q不唯一；由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.,42,第5.3节 二次型及其标准形,教学目的：掌握

14、二次型概念，利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形.教学重点：化二次型为标准形的方法，惯性定理 教学难点：化二次型为标准形的方法，惯性定理 教学方法：讲授讲学步骤：如下：,返回,43,称为n元二次型，简称二次型.,称为二次型的系数.,1.基本概念,(1)二次型定义,44,(2)二次型的标准形,只含有平方项的二次型，即,称为标准形.例如：,一般二次型,标准型,45,(3)二次型的矩阵表示,二次型f 与实对称矩阵是一一对应的.称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩.二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.,二次型的矩阵表示,46,例1 写出二次型的矩阵表示,解,47,问题：如何将一个二

15、次型经过可逆（满秩）的线性变换化为标准形？即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简为只含有平方项的二次齐式(标准形).,2.化二次型为标准形(1)正交变换法 由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上一节的结果知,存在正交矩阵Q，使 Q1AQ=QT AQ=为对角阵.将此结论应用于二次型，有如下结论,48,定理 任意n元实二次型 f=xTAx，都可经正交变换xQy化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤：写出二次型 f 的矩阵A；求正交矩阵Q，使得QT AQ=为对角阵；正交变换x=Qy化二次型为标准形 f=yT y.,49,解,(i)二次型 f 的矩阵为,例2 求一

16、个正交变换xQy把二次型,(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量,化为标准形.,50,得对应的一个线性无关的特征向量,当1=0,时解方程组(0E-A)x=0.,当2=3=2,时解方程组(2E-A)x=0.,得对应的线性无关的特征向量为,(iii)将所求特征向量正交化、单位化,因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.,51,正交化,单位化,52,则正交变换xQy将二次型化为标准形,(iv)写出正交变换,令,53,(2)配方法,定理 任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为 标准形.例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性 变换.,解(1)由于f 中含有x1的平方项,首先把

17、含x1的项归并起来进行配方，得,54,则可逆线性变换xCy化二次型为标准形：,55,解(2)由于f 中不含有平方项,首先令,56,所求可逆线性变换为xCz，这里,配方法化二次型为标准形（小结）利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项；(2)若在二次型中没有平方项,但aij0(i j),则首先作可逆线性变换：,化二次型为(1)的情形，再配方.,57,(3)初等变换法,定理 对任何实对称矩阵A,一定存在初等矩阵 P1,P2 Ps,使 PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=为对角矩阵.证 A为实对

18、称矩阵,故存在可逆线性变换xPy使 f(x1,xn)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAP y=yT y 为标准形.由于P为可逆矩阵，因此可以写成一系列 初等矩阵的乘积,即 P=P1,P2 Ps 从而 PTAP=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=,定理表明：对A的行每作一次初等变换的同时，也对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双变换就可把A化为对角矩阵.,58,初等变换化二次型为标准形的步骤：(1)构造2n n矩阵,(2),59,例3 用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的可逆线性变换.,解 二次型f 的矩阵,于是,60,则可逆线性变换x=Py化二次型为标准形,61,对

19、实二次型 f=xTAx，用不同的可逆线性变换均可将其化为标准形，因此其标准形不惟一.但需要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩r，且含正号的项的个数（称为正惯性指数）和含负号的项的个数（称为负惯性指数）都唯一确定.这就是实二次型的惯性定理.,3.惯性定理 设实二次型f(x1,xn)=xTAx 的秩为r,可逆线性变换xBy和xCz分别把它化为标准形,则p=q.(证明略),62,第5.4节 正定二次型,教学目的：掌握正定二次型定义及判定定理，负定、半正定、半负定二次型定义及判定定理教学重点：正定二次型定义及判定定理，负定、半正定、半负定二次型定义及判定定

20、理教学难点：正定、负定、半正定、半负定二次型判定定理教学方法：讲授教学步骤：如下：,返回,63,1.基本概念,定义：设有实二次型f(x1,xn)=xTAx，如果对任意的x0，都有 f(x1,xn)=xTAx0称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为A0;；若对任意x0都有f0,称f为负定二次型,相应的矩阵A称为负定矩阵；若对任何 x0 都有f 0，称f为半正定二次型，若f0，称f 为半负定二次型，相应的矩阵A分别称为半正定、半负定矩阵.,64,半负定二次型,正定二次型,负定二次型,半正定二次型,考察,2.正定二次型（正定矩阵）的判别,定理1：二次型经过可逆线性变换，其正定性不变.,6

21、5,证明,定理2 f(x1,xn)=xTAx正定(或A)的充分必要条件是标准形的n个系数均为正.证明 若可逆线性变换x=Cy使f=xTAx=yT(CTAC)y=yTy=,由于C可逆，所以x0与y0等价.而y0时，,即标准形的n个系数均为正.,66,推论1 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是正惯性指数等于n.推论2 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是A的特征值都大于零.推论3 f=xTAx正定（或A）则A0.例1,解(法1）,A的全部特征值：1=3,2=1,该二次型正定.,(法2）,标准形中两个系数均为正，该二次型正定.,67,问题：对一般的二次型，无论将其化为标准形还是求其矩阵A的

22、特征值均非易事！能否直接利用二次型的矩阵A判别它是否正定？,A的顺序主子式定义,68,定理3 二次型f(x1,xn)=xTAx正定(或A)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零,即,69,解,各阶顺序主子式,所以，f 是正定二次型.,例2 判断二次型是否正定.,70,解,各阶顺序主子式,故f 不是正定二次型.,例3 判断二次型是否正定.,71,解,f 正定，应有,例4,72,3.负定、半正定、半负定二次型判定定理,(1)负定二次型 若f 负定，则-f 正定;因此有如下结论定理(i)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是标准形的n个系数均为负；(ii)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n；(iii)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是A的特征值都小于零；(iv)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式都小于零,而偶数阶顺序主子式都大于零，即,73,解,各阶顺序主子式,故f是负定二次型.,例5 判断二次型的正定性.,74,(2)半正定、半负定二次型,定理(i)n元二次型f=xTAx半正定充分必要条件是正惯性指数p=r(A)n.(ii)n元二次型f=xTAx半负定充分必要条件是正惯性指数p=0，r(A)n.,思考练习,1.不定.2.负定.3.半正定.,