特征值特征向量.ppt
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1、定义 1 设A为n阶方阵,X是n维向量,如果存在数l,使方程AX=lX有非零解,则称l为矩阵A的特征值,相应的非零解称为A的属于l的特征向量,方程AX=lX,AX-lX=O,(A-lE)X=O,特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0,A的对应于l0的特征向量:,即不论l取何值,方程AX=lX一定有解,43 矩阵的特征值和特征向量,例如:对,取 l=4,代入方程AX=lX,(A-4E)X=O,有非零解,所以,l=4是矩阵A的一个特征值,对,取,得一个基础解系:,则方程(A-4E)X=O的全部解为:,c为任意常数,A的属于l=4 的特征向量:,1、求n阶方阵A的特征值:,数l0是A的特
2、征值,l0使方程AX=lX有非零解,因此:l0是A的特征值,0使 成立,求A的特征值步骤:,(1)计算n阶行列式,解得方程的根l1,l2,ln,,则l1,l2,ln即是A的特征值,设,则方程 即 是的n次方程,在复数域上,方程 一定有 n个根。,定义 2 设A为n阶方阵,为其特征值组,则其特征方程可表示为:,则Ki称为i的代数重数(重数),而i特征子空间的维数称为几何重数(度数)。,显然:,解:,令,得 l1=-1,l2=7,则A的特征值为l1=-1,l2=7,【例1】求 的特征值,2、求A的属于特征值l的特征向量,设li是A的特征值,则方程AX=liX有非零解.,即方程(A-liE)X=O有
3、非零解,,方程组(A-liE)X=O的全部非零解,A的对应于特征值li的特征向量:,2)求出(A-liE)X=O的一个基础解系V1、V2、Vs,步骤:1)把 l=li代入方程(A-liE)X=O,得一齐次线性方程组(A-liE)X=O,3)A的属于特征值li 的特征向量为:,是不全为零任意常数,【例2】求矩阵 的特征值与特征向量,解:,得 l1=2,l2=l3=1(二重根),则A的特征值为l1=2,l2=l3=1,把l1=2代入方程(A-lE)X=O,得,(A-2E)X=O,取x3=1得一基础解系:,于是,A的属于l1=2的全部特征向量为:,把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O,得:,(
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