材料力学第五章平面图形几何性质.ppt

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1、,材 料 力 学,讲授:顾志荣,第五章 平面图形的几何性质,同济大学航空航天与力学学院顾志荣,材料力学,第五章 平面图形的几何性质,一 静矩、形心及相互关系二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径三 平行移轴定理四 转轴定理五 形心主轴、形心主矩,第五章 平面图形的几何性质,为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。,第五章 平面图形的几何性质,课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。,第五章 平面图形的几何性质,研究平面图形几何性质的方法:

2、化特殊为一般实际杆件的横截面,第五章 平面图形的几何性质,平面图形的几何性质包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等,第五章 平面图形的几何性质,一 静矩、形心及相互关系,图形对于 y 轴的静矩,图形对于 z 轴的静矩,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,定义,分力之矩之和,合力之矩,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,计算,静矩与形心坐标之间的关系,已知静矩可以确定图形的形心坐标,已知图形的形心坐标可以确定静矩,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,组合

3、图形的静矩与形心计算,性质:静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,决定因素:静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围:可以为正、或负、或等于零。单 位:mm3、cm3、m3,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,例题 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。,解：,图形对底边的静矩,形心位置,C1,C2,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,第五章 平面图形的几何性质,二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,图形

4、对 y 轴的惯性矩,图形对 z轴的惯性矩,图形对 y z 轴的惯性积,图形对 O 点的极惯性矩,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,定义：,图形对 y 轴的惯性半径,图形对 z 轴的惯性半径,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,定义：,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,计算：,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,惯性矩与极惯性矩之间的关系：,性 质：,1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。,2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂

5、直的轴的惯性积为零。,3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,决定因素:截面形状、尺寸、轴的位置。数值范围:惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为 正;惯性积可以为正、为负、为零。单 位:惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相 同,均为mm4、cm4、m4 惯性半径:mm、cm、m,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,例题 矩形截面惯性矩的计算,同理：,第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系,例题 圆截面惯性矩、极惯性矩计算,第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩

6、与惯性半径,第五章 平面图形的几何性质,三 平行移轴定理,移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。,第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理,dA,在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小,第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理,应用平行移轴定理应注意的问题,两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。,第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理,例题试求图示三角形：（1）对z轴静矩

7、；（2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。,zc,例题图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴zc的惯性矩.,zc,O2、O3到zc轴的距离,O1到zc轴的距离,四 转轴定理,第五章 平面图形的几何性质,所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,已知：Iy、Iz、Iyz、,求：Iy1、Iz1、Iy1z1,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定

8、理,y0、z0通过O点的主轴,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,当 改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。,Iy0、Iz0主惯性矩,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,主惯性矩：,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理,五 形心主轴、形心主矩,第五章 平面图形的几何性质,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,1 主惯

9、性轴、主惯性矩 对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角坐标,使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,2 形心主惯性轴、形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他们就被称为该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,(1)如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴,而另一条形心主惯性轴通过形心,并与此轴垂直.,观察法确定形心主轴的位置:,第五章 平面

10、图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,(2)如果平面图形有两条对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴.,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,(3)如果平面图形具有三条或更多条对称轴,那么通过证明后可以知道:过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴,而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置通过转轴定理确定。,第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩,(1)矩形截面的形心主惯性矩,常见截面的形心主矩:,(2)圆形截面的形心主惯性矩,则a12cm，a22cm。,在下列关于平面图

11、形的结论中，（）是错误的。,A.图形的对称轴必定通过形心；,B.图形两个对称轴的交点必为形心；,D.使静矩为零的轴必为对称轴。,C.图形对对称轴的静矩为零；,D,在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。,A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；,C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。,D,课程练习题,图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成和两部分，在以下各式中，（）一定成立。,C,课程练习题,图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为，则（）。,C,课程练习题,图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。,D,课程

12、练习题,任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（）。,B,课程练习题,设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（）。,B,课程练习题,图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（）不是一对主轴。,C,课程练习题,A.形心轴；B.主轴 C.主形心轴 D.对称轴,在图示开口薄壁截面图形中，当（）时，y-z轴始终保持为一对主轴。,任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（）。,B,A.y轴不动，x轴平移；,D.y、x同时平移。,B.x轴不动，y轴平移；,C.x轴不动，y轴任意移动；,B,课程练习题,