条件概率与乘法公式.ppt

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1、2.1 条件概率与乘法公式 2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率 下面首先看一个例子:,第2章 条件概率与独立性,【例1.10】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女孩出生率相同）解：用g代表女孩，b代表男孩，A=“该家庭中至少有一个男孩”，B=“两个都是男孩”，在已知至少有一个男孩条件下，而 所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3，称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率,2.1 条件概率与乘法公式,如果我们去掉条件A，这时=bb，bg，gb，gg，B=bb，从而 P(B

2、)=1/4.前面已算出 又因为A=bb，bg，gb，P(A)=3/4，P(AB)=P(B)=1/4，易得这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如下定义：,2.1 条件概率与乘法公式,定义2.1.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A)0，则称(1.2)为在A发生下的B的条件概率 类似地，当P(B)0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为(1.3),2.1 条件概率与乘法公式,注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)有什么必然的关系.例如，我们不能由定义断言或 事实上，当B A时，有 当AB=时，有,2.1 条件概率与乘法公式,一般地，不难验证，条件概率满

3、足概率定义1.5中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：P(|A)=1；(3)可列可加性：设 事件两两互不相容，则 所以,条件概率P(|A)也满足概率的所有其他性质,2.1 条件概率与乘法公式,例如:,2.1 条件概率与乘法公式,例2.1.1有n张戏票，其中有k（k2）甲级票，让n个人依次抽取，已知前两个人都没有抽得甲级票，求第三人抽得甲级票的概率,【例】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率 解：设 A 表示“能活 20 岁以上”的事件，B 表示“能活 25 岁以上”的事

4、件,则有所求概率为,由于BA,所以P(AB)=P(B),2.1 条件概率与乘法公式,2.1.3 乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)0，则(1.4)如果P(B)0，则(1.5)上面均称为事件概率的乘法公式定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况,2.1 条件概率与乘法公式,事实上,可进一步推广如下:,右侧的条件概率均有意义,2.1 条件概率与乘法公式,2.1 条件概率与乘法公式,例2.1.2 100件产品中有5件次品，现将产品一件一件地取出进行检查，求第三次才取出次品的概率,例2.1.4 伯利亚模型，罐中有a个红球，b个白球，

5、从中随机取出一个球，取后放回，并加进与取出的球同色的球c个，然后再进行第二次取球，这样下去共取三次，求取出的球为“红白红”的概率,例2.1.5戏院售票处有m+n个人排队购票，票价5元，有m个人持5元一张的纸币，另外有n个人持10元一张的纸币（n m)开始售票时，售票处无零钱可找，问随机排队时，求没有人等待找钱的概率。,【例】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率 解：设A=任取的一件是合格品，B=任取的一件是一等品因为且B A所以,2.1 条件概率与乘法公式,【例】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次

6、而接通电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式,2.1 条件概率与乘法公式,若已知最后一位数字是奇数，则,2.1 条件概率与乘法公式,【例】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率求猎手三枪内击中猎物的概率 解：以Ai=“第i枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率,2.1 条件概率与乘法公式,课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,B“透镜落下三次而未打破”.,