材料力学中的能量法.ppt

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1、101 杆件的应变能计算102 功的互等定理和位移互等定理103 卡氏定理104 虚功原理105 单位载荷法 106 计算莫尔积分的图乘法,第十章 能量法,利用与应变能概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为能量法（energy method),能量法,不计能量损耗，,则根据功能原理有,U=W,10.1 杆件的应变能计算,一、杆件(线弹性）在基本变形时的应变能,1、轴向拉压杆的应变能计算：,10.2 功的互等定理和位移互等定理,2、圆轴扭转时的应变能,3、梁弯曲时的应变能,二、杆件在组合变形时的应变能,小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得

2、到组合变性杆的总应变能。即：,如：,结论1:应变能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。,解：,（1）求支反力，列弯矩方程：,（2）求应变能：,（1）、（2）式代入（3）式得：,变形(a)式得,先加M，再加F,先加F，再加M,结论2:杆件的应变能只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。,结论3:（功的互等定理）广义力F在由广义力M引起的、F方向上的位移上所做的功=广义力M在由广义力F引起的、M方向上的位移上所做的功。如F=M，则上述两广义位移数值相等，即为位移互等定理。对线弹性体普遍适用。,讨论：表6-1中序号3的

3、wB推导(用功的互等定理）,例10-1-1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,利用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,例10-1-2如图所示桁架，杆CD的长度l为1m，已知节点B受铅垂向下的力F=1kN作用时，杆CD产生逆时针方向的转角=0.01 rad。试确定为使节点B产生铅垂向下的线位移=0.0008m，在节点C及D两处应加多大的力。并说明加力方向。,解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆CD的力。,根据功的互等定理：,.虚位移原理,（1）刚体,虚位移,满足约束条件的假想的任意微小位移。,虚位移原理 作

4、用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。,10-4、10-5 虚位移原理及单位力法,（2）可变形固体,满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。,外力作用下，物体产生变形的同时产生内力,虚位移,虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即,We（外力虚功）Wi（内力虚功）0,1.梁的虚位移原理,图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。虚位移可以是真实位移,也可以是与真实位移毫无关

5、系的位移.,梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为,外力对于虚位移所作的总虚功为,(a),(a)外力虚功,(b)内力虚功,取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。,由于梁的虚位移，使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分为两部分：,一为刚性体位移。,(d),二为变形虚位移。,由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。,(d),(b),M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。,

6、M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为,(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(11-14)，即,(c),梁的内力虚功为,(d),将(a),(d)式代入（11-14）式，得梁的虚位移原理表达式为,得,即,外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能),组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd*，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角 dj*。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为,(10-15),2.组合变形的虚位移原理,由于以上分析中没有涉及材料的物理性质

7、，(11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚位移，dq*,dl*,dd*,为微段的变形虚位移。,.单位力法（单位载荷法）,(1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq*,dl*,dd*,dj*作为变形虚位移。即以实际位移作为虚位移。,(2)若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。,

8、（3）单位力所做的外力虚功为 We=1D,单位力法的虚位移原理表达式为,(10-16),该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。,杆件的内力虚功为,于是(11-16)成为,式中 为由单位力引起的内力，为实际荷载引起的内力。为剪应力不均匀系数，大于1。,(4)线弹性体,由实际荷载引起的微段变形位移公式为,矩形截面，圆截面,对于细长杆件，剪力影响很小，第二项可略去不计。,上式常称为莫尔定理或莫尔积分。对于基本变形杆，莫尔定理的形式为：,（1）拉压时：,（2）扭转时：,（3）弯曲时：,对于桁架：,(10-17),使用莫尔定理的注意事项：,5、莫尔积分必须遍及整个结构。,1、M(x)：结构在原载荷下的内力

9、。,3、所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲。,2、：去掉主动力(或假设力状态，在所求 广义位移 处，沿所求广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。,4、M(x)与 的坐标系必须一致，每段杆的坐标系 可自由建立。,应用举例(按下面的顺序说明)：梁桁架刚架组合变形构件（含曲杆）,在C 截面处施加单位力（图 b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为,(0 x l)(a),例 1 梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求。,(0 x l/2)(b),解：,1.求,因为 均关于C 截面对称的，故C 截面的挠度为,A截面处的转角为,在 A 截面处加单位力偶（图c）

10、，单位力偶引起的弯矩方程为,(0 x l)(c),2.求,习题10-7（a),例2（习题10-10）图示桁架中，各杆的抗拉刚度EA均相同。求节点B的铅垂位移By 和水平位移Bx。,桁架,例3 各杆EA相同,杆长均为a,用单位力法求 AB间相对位移。,解:1)在A、B处加一对方向相反的单位力,2）计算各杆的轴力,3）求AB间相对位移,求位移,例4(不讲)图示桁架中，各杆的抗拉刚度EA均相同。求在图示载荷作用下，节点E的铅垂位移Ey。,例5 用单位力法求刚架B处的转角。,解:1)在B处加单位力偶,如图,2)求反力,列出各段的弯矩方程,组合变形,教材 例11-9,CB段：,BA段：,组合变形,教材

11、例11-9 求C处垂直方向位移,CB段：,BA段：,与第7章用查表法计算的结果一致,能量法,例7 用单位力法求曲杆A点的水平位移。,解:1)在A点加水平单位力,如图,2)写出弯矩方程,3)求位移,作业1（全部用单位载荷法计算!）10-13求B端的水平位移和垂直位移10-18（a)10-10（2）,10.6 计算莫尔积分的图乘法,设长l 的杆的M(x)图是曲线，其面积为A，图是直线。,直杆在单位载荷作用下，图一定是直线或折线。,设,，则：,若Mx 图也为直线，也可：,式中：A 为M图的面积；为M图形心对应下的 图的值。,能量法,常见图形的面积和形心为置,应用图乘法的注意事项：,应用图乘法求变形的

12、解题步骤：,画M 图；加单位力，画 图；代入图乘公式求解。,M、图一律画在受拉侧，当M、图位于同侧时，A 乘积为正，反之A 乘积为负；若 图为多段折线时，应分段图乘；若M、图都是直线，则面积可取自任一个图形；M图采用叠加法作图，将其分解为几个简单图形，分别计算再进行叠加。,例10-3-1 用图乘法求悬臂梁B截面的转角，EI为常数。,l,解：,例10-3-2 用图乘法求简支梁跨度中点C的挠度，端截面B的转角，EI为常数。,解：,例10-3-3 用图乘法求简支梁跨度中点C的挠度，端截面B的转角，EI为常数。,解：,例10-3-4（习题10-16）求外伸梁C截面的挠度和转角。EI为常数。,解：,例1

13、0-3-5（习题10-17）,解：,例10-3-6 用图乘法求外伸梁D点的竖直位移，EI为常数。,能量法,a,a,a,2qa,q,A,B,D,解：1)用叠加法画M 图,计算M 图面积：,3)代入图乘公式求解,2)加单位力，画 图,例10-3-7 用图乘法求刚架C 截面的转角和铅垂位移，EI 为常数。,能量法,解：1)画M 图,3)代入图乘公式求解,2)加单位载荷并画 图,能量法,例10-3-8 用图乘法求刚架AB间的铅垂方向相对位移。,解：1)画M 图,3)代入图乘公式求解,2)加单位载荷并画 图,习题10-11,作业（全部用图乘法）10-18（b)求C截面的转角10-19（c）求A截面垂直位

14、移 10-20(a)求A截面的水平位移,1、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力P 作用，其变形能U 应为:（）（）（）（D）,本章练习题,能量法,2、下图所示同一根梁的三种载荷情况，试指出下列关系式中哪个是正确的：（A）（B）（C）（D）,能量法,3、下图所示梁的载荷图，M图，图，用图乘法求C点的挠度，正确的算式为:、D、,能量法,能量法,4、若材料服从虎克定律，且物体的变形满足小变形条件，则该物体的 与载荷之间呈非线性关系。,A、内力；B、应力、C、位移、D、应变能。,D,能量法,5、物体内储藏的应变能与载荷的。,A、最终值和加载次序均无关；B、最终值无关，与加载次序有关；C、最终值和加载次序

15、均有关；D、最终值有关，与加载次序无关。,D,能量法,6、一梁在集中力P 作用下，其变形能为U。若将力P 改为2P，其它条件不变，则其变形能力。,A、2U；B、4U；C、8U；D、16U。,B,第十一章 超静定结构,11.1 超静定结构概述11.2 力法及其正则方程,11.1 超静定结构概述,一、定义,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为超静定结构或系统，也称为静不定结构或系统。,在静定系统上增加约束，称为多余约束，,并因而产生多余约束反力。,外力超静定结构：外部支座反力不能单由静力平衡方程求出的结构，图（a）,（b）；,内力超静定结构：内部约束（内力）不能单由静力平衡方程求

16、出的结构,图（c）;,混合超静定结构：内、外超静定兼而有之的结构,图（d）,静定基：解除超静定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原超静定系统的基本静定系（简称静定基），同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。,相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。,三、基本静定系（静定基）、相当系统,二、超静定次数的确定,内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构的超静定次数。,11.2 力法及其正则方程,一、力法,以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补充方程，来求解未知约束

17、力的方法。,在多余约束处加上多余约束反力X1及外载荷F。,解除B处约束成悬臂梁，或解除左端转动约束，成简支梁。,1、解除多余约束、得静定基,2、建立相当系统,3、由变形协调条件列出正则方程,二、力法的基本思路：,F,对线弹性结构应有：,代入变形协调条件，得力法正则方程：,4.解正则方程，求多余约束反力,也可取图示静定基,、相当系统,力法求解超静定问题的基本步骤：,2、作MF图,1、确定静定基，并画出未知反力，,3、作X1=1时的图,4、求,5、将代入正则方程,求并确定方向（转向）,建立正则方程,超静定系统,例111EI为常数，作梁的弯矩图。,解：,相当系统,另一解法：,解：,超静定系统,例11

18、2EI为常数，作梁的弯矩图。,解（1）解除B多余约束，建立相当系统,（2）建立正则方程,（3）求解,（4）叠加法作梁的弯矩图。,例113用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。,解（1）选B为多余约束，,（2）建立正则方程,建立相当系统,（3）求解,（4）叠加法作弯矩图。,超静定系统,例114用力法求超静定结构反力。,解（1）建立相当系统如图,（2）建立正则方程,（3）求解,超静定系统,例115（教材）求图示正方形桁架各杆内力。EA=常数。,解（1）以BD杆为多余约束，用一截面将BD切开，相当系统如图,（2）建立正则方程,（3）求系数,（4）解正则方程,超静定系统,例114教材图示结构，由折杆AC

19、DB和拉杆AB组成，A、B两点为铰接，在B点作用水平力F。已知折杆的抗弯刚度为EI，AB杆的抗拉刚度为E0A0。求AB杆的轴力。,解（1）以AB杆为多余约束，相当系统如图,（2）建立正则方程,（3）求解,超静定系统,可见：AB杆的轴力与刚架的抗弯刚度对AB杆抗拉刚度的比值有关，AB杆抗拉刚度越大，则它的轴力就越大，这是超静定结构的特点。若EI远大于EA，则轴力可略去不计，此问题可按静定问题处理。,作业111-2（b)11-9(a)11-10(a)讲11-4 11-9（B),超静定系统,例118例题 如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为EI1，立柱抗弯刚度为EI2，试作刚架的弯矩图（12-15

20、）。,解：列正则方程,可判断该结构为三次内力超静定结构，,由结构关于CC 轴对称得：,可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静问题，并取四分之一计算。,但由结构关于AA轴对称得：,超静定系统,(4)计算11和1F,(5)解方程，求X1,(6)作M图,(3)列正则方程为：,超静定系统,三、多次超静定结构,正则方程：,超静定系统,例119求图示两端固定梁的支反力，并画弯矩图。,解（1）选B为多余约束，,（2）建立正则方程,建立相当系统,（3）求解,超静定系统,（4）叠加法作弯矩图。,代入正则方程，化简得,超静定系统,例1110（教材11-11）画图示超静定刚架的内力图，EI为常数。,解：由于

21、结构对称，对称面上只有对称力,所以,正则方程为：,超静定系统,超静定系统,作业211-611-8(b)11-18作业311-1511-19,1、结构的超静定次数等于。A、未知力的数目；B、支座反力的数目；C、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；D、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。,超静定系统,本章习题,一、选择题,C,2、求解静超定结构时，若取不同的静定基，则。A、补充方程不同，解答结果相同；B、补充方程相同，解答结果不同；C、补充方程和解答结果都相同；D、补充方程和解答结果都不同。,超静定系统,A,3、超静定系统与其相当系统相比，二者的。A、内力相同，变形不同；B、内力不同，变形相同；

22、C、内力和变形都相同；D、内力和变形都不同。,超静定系统,C,4、用单位力法求解超静定结构的位移时，单位力。A、只能加在原超静定结构上；B、只能加在基本静定系上；C、既可加在原超静定结构上，也可加在基本静定 系上；D、既不能加在原超静定结构上，也不能加在基本静 定系上。,超静定系统,C,5、用力法解超静定问题的正则方程，实质上是。A、静力平衡方程；B、物理方程；C、变形协调方程；D、功的互等定理。,超静定系统,C,6、在解超静定系统的力法正则方程中，系数ij（ij）和ii的正负情况是。A、ij是可正可负的，ii是恒正的；B、ij是恒正的，ii是可正可负的；C、ij和ii是恒正的；D、ij和ii均是可正可负的。,超静定系统,A,1、已知两杆抗弯刚度均为EI。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。,二、计算题,超静定系统,解：（1）解除B处约束，代之以多余约束力，得原结构的相当系统,（2）列正则方程,超静定系统,(2)计算11和1F,(3)解方程，求X1,(4)求A处约束力,2、等截面梁如图，求B 点的挠度。,（3）求解,解：1、求多余反力,（1）建立相当系统,超静定系统,（2）列正则方程,3、求下列超静定结构的内力。,解：相当系统如图示,超静定系统,