压电铁电物理-振动模式.ppt

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1、1,其它振动模式,薄圆片压电振子的径向伸缩振动;其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动能陷振动模,2,振动模式,材料参数,等效电路,器件设计,阻抗、导纳,3,薄圆片压电振子的径向振动,对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数s11=s22的压电晶体，例如钛酸钡、铌酸锂等晶体，可用它的z切割薄圆片的径向振动。用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直。因为是薄圆片，所以可以近似认为垂直于圆片面方向的应力Xz=0。,4,薄圆片压电振子的压电方程组,因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r 方向和方向的Xr0，X0，而切应力Xr=Xrz=Xz=0。因为电极面就在圆片面上，所以只

2、有沿z方向的电场强度分量Ez0，而沿r和方向的电场强度分量Er=E=0。,5,又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0。选X、E为自变量，并注意到弹性柔顺常数s11=s22以及压电常数d31=d32，于是薄圆片压电振子的压电方程组为：,（5-37）,6,第二类压电方程组,若以（x、E）为自变量，有（5-37）式可得,7,实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性柔顺常数sE11、sE12，将Y=1/sE11，=-sE12/sE11关系代入上式得：,8,（5-38）式就是以应变和电场（x、E）为自变量，用柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中沿r方向的伸缩应变xr=（ur/r），沿方向的伸缩应变x=ur/

3、r+(u/)/r。因为薄圆片的径向伸缩振动具有圆对称性，所以(u/)=0。在此情况下，沿方向的伸缩应变简化为x=ur/r。,9,薄圆片压电振子的振动方程,若圆片密度为，则小的质量为（见图5-7）；若为小块bcde沿径向的位移rddr，则小块沿径向加速度为2ur/t2。小块的运动方程为：,10,薄圆片压电振子的质量元,图5-7,11,由于dr和d都很小，故有,12,忽略X与X的差别（即认为X=X）。将这些结果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，,即：,（5-39）,13,将压电方程组（5-38）式代入上式，并注意到（Ez/r）=0，即得,14,利用关系,代入,15,薄圆片压电振子的波动方程

4、。,（5-40）,其中波速：,16,波动方程式的解,薄圆片压电振子的波动方程式的解为,其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。First order Bessel function,（5-41）,17,现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边界为机械自由，则在边界上的应力Xr等于零。即,由（5-38）式的第一式,时,（5-38）式,18,若电场强度分量为:,并注意到,代入到上式得：,（5-42）,19,利用边界条件r=a时，Xr|a=0，即可确定任意常数A，由,即得,（5-43）,20,将（5-43）式代入到（5-41）式即得满足自由边界条件的解为,(5-44),由（5-44）式代表的波形

5、，如图5-8所示。,21,图 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（a）自由圆片中的波形（b）自由圆片的伸缩情况,(a),(b),22,23,将（5-43）式代入到（5-42）式即得沿r方向的伸缩应力为,（5-45）,24,沿方向的伸缩应力为:,（5-46）,25,沿r方向和方向的伸缩应变为:,（5-47）,26,电位移为:,27,薄圆片压电振子的等效电阻,通过压电振子电极面的电流I为,而电极面上的电荷Q为,28,积分时注意到：,即得,29,于是得到电流为,（5-48）,30,薄圆片压电振子的等效阻抗,压电振子的等效阻抗Z为,将（5-48）式代入上式的,31,因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为,

6、以及,将这些关系代入上式得,32,(5-49),薄圆片压电振子的等效阻抗,k=/c,33,谐振频率和机电耦合系数,谐振时压电振子的等效阻抗Z=0，即:G=1/Z=，这就要求,即：,34,或,其中：r=2fr，fr=谐振频率。,（5-50）,35,钛酸钡的泊松比约为=0.30，代入上式：,36,查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为:,（5-51）,由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为,（5-52）,37,同理可得：,当,时，,当,时，,38,反谐振时，压电振子的等效阻抗Z=，即G=1/Z=0，这就要求,（5-53）,39,因为反谐振频率fa稍大于谐振频率fr，故可假设,或者,即：,或者,40,

7、将J0和J1在谐振频率处用泰勒级数展开得：,（5-54）,41,将（5-54）式代入（5-53）式后，(5-53）式分子为:,42,（5-55）,(5-53）式分母为,43,由（5-50）式知,或者,44,将这些关系代入到（5-55）式得,45,最后得到,46,即：,（5-56）,47,由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为,48,或者,（5-57）,49,（5-58）,50,谐振频率关系式（5-52）式以及机电耦合系数关系式（5-57）式对压电陶瓷也成立。实验上常用（5-52）式确定材料的杨氏模量Y，（5-57）式确定材料的机电耦合系数kp，通过低频电容Clow的测量，确定介电常数:

8、,51,以及压电常数:至于泊松比，则可通过下式确定：（5-59）,52,其中：fr0=薄圆片压电振子的基频，fr1=薄圆片压电振子的一次谐波频率。（确切的说法是fr0为薄圆片的基音频率，fr1为薄圆片的一次泛音频率，对于压电陶瓷fr02.61 fr1左右）。（5-59）式的适用范围是：,（5-60）,53,薄圆片压电振子的径向伸缩振动（小结）,介电常数,半径a；厚度lt；低频电容Clow,fr0:薄圆片压电振子的基频，fr1:薄圆片压电振子的一次谐波频率。,54,杨氏模量的确定,55,压电常数,平面机电耦合系数,56,其它压电振子,薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振

9、动,57,薄圆环压电振子的径向振动,如图5-9所示，薄圆环的极化方向与z轴平行（即轴向极化），平均半径为r，厚度为lt，宽度为lw，并有rlt以及rlw.设圆环的方向为2方向，极化方向为3方向，增加的方向为1方向。因为圆环的半径远大于圆环的宽度和厚度,所以圆环在外加电场的作用下，可以认为只产生轴对称的径向振动.除了沿圆周（即切向）的应力X1（即x）外,其余的应力、切应力皆等于零。,58,图 5-9 薄圆环的径向振动,59,又与3方向垂直的电极面是等位面，所以可以认为E1=E2=0。选应力和电场（X、E）为独立变量，即得薄圆环的压电方程组为,（5-61）,60,考虑薄圆环上的一小块（如图5-9所

10、示），作用在小块上的径向力分量为：,（5-62）,61,由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：,（5-63）,其中为薄圆片的密度，ur为环的径向位移。,62,将（5-61）式中第一式代入（5-63）式，并注意到xr=ur/r，即得，,(5-64),63,若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用下，薄圆环产生受迫振动，这时（5-64）式的解为：,（5-65）,其中:,64,将（5-65）式代入（5-61）式得电位移为：,（5-66）,其中:,65,自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：,通过电极面的电流为：,66,因为电压V=E3lt，故得薄圆环压电振子的导纳为:,（5-67）,67,

11、当G=时，薄圆环产生谐振，谐振频率fr为；,（5-68）,或,68,当G=0时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为:,（5-69）,或,69,由此得到机电耦合系数k31与fr、fa的关系为:,（5-70）,70,薄球壳的球径向振动,薄球壳的极化方向与径向平行，球壳内外表面为电极面，球壳厚度为lt，平均半径为r，并有r lt，选球的径向为3方向，、的增加方向为1、2方向，其边界条件为:E1=E2=0,E30；X3=X4=X5=X6=0，X10,X20。,71,图 5-10 薄球壳的径向振动,72,选应力和电场（X、E）为独立变量，即得薄球壳的径向振动的压电方程组为:,（5-71）,73,对于压电陶瓷

12、的弹性性质和压电性质在与极化垂直的面上是各向异性的，故有X1=X2、sE11=sE22、d31=d32。令,74,代入到（5-71）式即得:,（5-72）,75,球壳中的情况与圆环相似，xc与径向位移ur之间的关系为：,波动方程式为:,（5-73）,76,若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用下，上式的解为：,（5-74）,其中:,（5-75）,77,球壳的导纳为:,（5-76）,78,其中平面机电耦合系数 kp为,79,当G=和G=0时可得,谐振频率：,反谐振频率为：,80,由此得到平面机电耦合系数为：,81,薄片的厚度伸缩振动,薄片的极化方向与厚度方向平行，片面为电极面，片的长度为l、

13、宽度为lw、厚度为lt，并有llt，lwlt。因为只考虑沿厚度方向传播的平面波，频率很高，故可以认为片的侧面被刚性夹住，即可认为:,x1=x2=x4=x5=x6=0，x30,82,薄片的厚度伸缩振动,图 5-11,83,设片的绝缘性能良好，没有漏电电流，故可认为D1=D2=0，D3/z=0，选应变和电位移x、D为独立常数，可选用第四类压电方程组为：,（5-78）,84,波动方程为:,（5-79）,其中uz为沿z方向的位移.,85,（5-79）式的解为：,（5-80）,86,利用自由表面边界条件:,确定系数A、B的大小。,时，,时，,87,由（5-78）式以及（5-80）式可得:,其中:,88,

14、89,薄片的导纳为:,（5-81）,90,厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为:,其中：,为薄片的静态电容。,（5-82）,91,由（5-81）式可得反谐振频率和谐振频率为:,（5-83）,92,切变振动模式 shear mode,面切变振动模式 face shear mode厚度切变振动模式 thickness shear mode,应用：高频器件,93,面切变振动模式,x,y,d360,94,面切变振动模式:又称为轮廓切变振动模式。当压电片做面切变振动模式时，其主平面的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，对角线中点为节点。,95,对石英晶体来说，面切变的常用切型为CT切型和DT切型,它们的切型符

15、号为：yxl。在CT切型中=3738，即：yxl37；在DT切型中=-52-53，即：yxl-52。,96,CT切型,DT切型,97,厚度切变振动模式,98,弯曲振动模式 bending mode,宽度弯曲振动模式 width bending mode厚度弯曲振动模式 thickness bending mode,应用：低频器件,99,length,width,thickness,电极分割线,宽度弯曲振动模式,100,电极面,厚度弯曲振动模式,101,102,能陷振动模式能阱振动模式,点振子振动和点电极振子振动;energy-trap vibration mode,103,采用厚度伸缩或者厚度

16、切变（剪切）振动模式可以制成频率达到数十兆赫兹（107Hz）的振子。但是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的杂波干扰大。消除干扰的方法：调整振子几何尺寸；能陷模式,104,能陷模式实际上是：厚度伸缩、厚度切变、厚度扭曲振动模式；只是振子电极面远小于压电陶瓷片的总面积，且与厚度有适宜的匹配关系。振动能量绝大部分集中在点电极范围内，形成“能量封闭”的振动模式。在交变电场作用下，沿厚度方向产生振动，其振幅随着至电极中心距离的增加，呈指数式衰减。,105,厚度伸缩 TEn:thickness extension厚度切变 TSn:thickness shear厚度扭曲 TTn:thickness t

17、orsion 厚度切变和面切变的耦合波,106,谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关。为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄，有时考虑到压电陶瓷自身强度太低，可用特制的陶瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏。常用于高频场合。,107,设晶片沿x方向的尺寸无限大，研究位移沿x方向的切变波。在晶片上下主表面为自由机械边界条件下，位移的解为：,x,y,z,式中：lt为片厚，为角频率，k为z方向的波数。,108,波数k的表达式为：,式中：f0为无限宽压电片（白片）厚度切变振动的基频；n为泛音次数。,109,以基波n=1为例：当频率f高于f0，波数k为实数，表示波能够沿z方向传播；若频率f低于f0，波数k为虚数，表示波

18、能够沿z方向做指数衰减；为f0晶片的截止频率。,110,由于电极质量的负载效应和压电效应的反作用，使压电片的电极区、非电极区的密度以及弹性常数均又微小差别，导致电极区基频f0降到f0以下。,电极,f0,f0,f0,111,当激励电场频率为f，而且f0ff0时，振动能量被限制在电极区域。这种波叫做能陷波，其振动模式称为能陷模式。这样基片所产生的高次泛音的干扰也就随即消失。能陷振动模式在高频滤波器中有广泛的应用。,112,由于能陷振动模式可以使晶片两端面的影响减小到忽略不计，而且同一晶片上数个振子互相之间互不干扰，这些就是能陷振子和单片压电滤波器的基本原理。但是在设计时还必须考虑其端面以及邻近振子的影响。,113,小结,较为详细地求解了薄圆片压电振子的径向伸缩振动;得到机电耦合系数与谐振和反谐振频率之间的关系;简单地介绍了几种其它压电振子的振动模式:薄圆环的径向振动,薄球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动。切变振动，弯曲振动，能陷振动模。,114,英国第4代机敏级攻击型核潜艇2008年6月下水（Class Astute）安装二0七六声纳系统,