多元函数的极限与连续.doc

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1、 数学分析 第16章 多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件. 余集.1. 常见平面点集: 全平面和半平面 : , , , 等. 矩形域: , . 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 和. 角域: . 简单域: 型域和型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 的区别.3 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在使 集合的全体内点集表示

2、为,.外点：存在使 界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为集合的内点, 外点 , 界点不定 .例1 确定集的内点、外点集和边界 .例2 为Dirichlet函数.确定集的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。 孤立点：但不是聚点。孤立点必为界点 .例3 . 确定集的聚点集 .解 的聚点集.4区域：（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:时称为开集 , 的聚点集时称为闭集. 存在非开非闭集. 和空集为既开又闭集.（2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .（3）

3、有界集与无界集:（4） 点集的直径： 两点的距离.（5） 三角不等式： （或）.或二. 中的完备性定理:1 点列的极限: 设, . 定义1。 的定义 ( 用邻域语言 )或例4 , , .例5 设为点集的一个聚点 . 则存在中的点列, 使. 2中的完备性定理：（1）Cauchy收敛准则: .（2）. 闭域套定理: （3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理.（4） 有限复盖定理:三二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例6 求定义域： ; .3. 二元函数求值:例7 , 求 .例8 , 求.4. 三种特殊函数: 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称.

4、变量分离型函数: .例如 , 等 .但函数不是变量分离型函数 . 具有奇、偶性的函数四n元函数二元函数 推广维空间 记作 作业 P92 18 . 2 二元函数的极限 一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限1. 二重极限定义1 设为定义在上的二元函数，为D的一个聚点，A是确定数若 则或例1 用“”定义验证极限 . 例2 用“”定义验证极限 . 例3证明 . ( 用极坐标变换 ) P94 E2. 2. 归结原则：定理 1 , 对D的每一个子集E , 只要点是E的聚点 ,就有. 推论1 设, 是的聚点 .若极限不存在 , 则极限也不存在 . 推论2 设, 是和的聚点. 若存在极限, 但, 则极限不存

5、在. 推论3 极限存在, 对D内任一点列, 但,数列收敛 . 通常为证明极限不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 例4 证明极限不存在. 例5 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ; ; ; .3极限的定义: 定义2设为定义在上的二元函数，为D的一个聚点，若 则或 其他类型的非正常极限， 无穷远点的情况.例7 验证.二. 累次极限 二次极限1. 累次极限的定义: 定义3设分别是的聚点，二元函数在集合上有定义。若对每一个存在极限 记作 若存在，则称此

6、极限为二元函数先对x后对y的累次极限记作 简记例8 , 求在点的两个累次极限 . 例9 , 求在点的两个累次极限 .例10 , 求在点的两个累次极限 .2. 二重极限与累次极限的关系: 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数在点的情况 . 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由 . 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. 两个累次极限存在( 甚至相等 ) 二重极限存在 . ( 参阅例4和例8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理2 若二

7、重极限和累次极限(或另一次序)都存在 , 则必相等. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 .但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 二重极限不存在 . 参阅的例. 作业提示: P99 1、2、4 3 二元函数的连续性 ( 4 时 )一 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .1. 连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .函数有定义的孤立点必为连续点 . 例1 证明函数在点沿方向连续 . 例2 ( 1P124 E4 )证明函数在

8、点沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .函数在区域上的连续性 .2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅1P132 图169.3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. 仅证复合函数连续性.二. 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三. 一致连续性: 定义.四. 有界闭区域上连续函数的性质:1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性. ( 证 )3. 介值性与零点定理. ( 证 )Ex 1P136137 1 ，2，4，5； P137138 1，4.10