向量组的秩和矩阵的秩.ppt
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1、第四节 向量组的秩和矩阵的秩,一、向量组的秩,定义3.8,设有两个向量组,如果向量组()的每一个向量 都可以由向量组()表出,则称向量组()可由向量组()线性表出(线性表示);,如果向量组()和()可以相互线性表出,则称向量组()和()等价,记作 或,例1,设向量组,不难看出:,即向量组()可以由向量组()线性表出。,由此又可解出,即向量组()可由向量组()线性表出。,于是向量组()和()等价。,考虑向量组,则向量组()可由向量组()线性表示:,故向量组()不能由向量组()线性表示。,于是向量组()、()不等价。,但向量 不能由 线性表示。,向量组等价具有下述性质:,(1)反身性,任一向量组和
2、它自身等价,即,(2)对称性,如果,则,(3)传递性,如果,则,而,定理3.7,如果向量组 可由向量组 线性表示,并且st,则向量组 线性相关。,推论,如果向量组 线性无关,并且可以由向量组 线性表示,则,二、极大线性无关组和向量组的秩,定义3.9,如果向量组 的一个部分组 满足,(1)线性无关;,(2)向量组中的任意一个向量都可以由 线性表示,,则部分组 称为此 向量组的一个极大线性无关组,简称极大无关组。,(2)任意向量组 中的一个向量 添到部分组 中,则 线性无关。,例2,设向量组,不难看出,部分组 是线性无关的,且 中的任一向量都可以由此部分组线性表示:,所以部分组 是向量组 的一个极
3、大无关组。,例3,设向量组 线性无关,其极大无关组就是自身。,如果一个向量组仅含零向量,则该向量组不存在极大无关组。,定理3.8,任一向量组和它的极大无关组等价。,推论1,向量组 中任意两个极大线性无关组等价。,推论2,两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。,推论3,向量组 的任意两个极大无关组所包含向量的个数相同。,定义3.10,向量组 的极大无关组中所包含向量的个数,称为次向量组的秩,记作,若一个向量组仅含零向量,规定其秩为零。,例4,对于例2中的向量组 有,例5,则仅含 的向量组必线性无关,其极大无关组就是其本身,所以,设向量,定理3.9,则它们的秩相等。,如果向量组 与向量
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