无穷级数内容回顾.ppt
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1、无穷级数,内容回顾,一 基本要求,1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性质,熟悉级数收敛的必要条件.2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正项级数收敛的比值、根值判别法.3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝对收敛和条件收敛的概念.,4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域的求法.了解幂级数的主要性质.5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.,(一)常数项级数,二 要点提示,常用来判定级数是发散的.切不可用来判定,由此可得:若 则级数 必发散.,若 收敛,则,级数是收敛的,例如调和级数 就是发散的.,1.级数收敛的必要条件:,2.正项级数的审敛法,p-级数,调和级数,等比
2、级数,使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性,已知的正项级数作为“参照”级数,如,判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:,(4)级数收敛的定义:,(3)用比较判别法(或极限形式).,(2)用比值或根值判别法,若失效.,(1)则发散.,同时考虑到级数的基本性质.,部分和数列极限是否存在.,3.任意项级数,莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件.,当不满足条件时,不能判定级数必发散.,2.若用正项级数的比值或根值判别法判定 发散,绝对收敛的级数必收敛.,注意,对于任意项级数,若 收敛,则称 绝对收敛.,1.可先考查任意项级数是否绝对收敛;,若 发散而 收敛,则称 条件收敛.,则
3、级数 也发散.,1.收敛半径和收敛区间,(二)幂级数,收敛域:,或,或,或,收敛区间为,对于缺项的幂级数 可按下式,从而得收敛区间为,求出 的范围,2.幂级数的重要性质,(1)在收敛区间 内和函数 连续.(2)可逐项求导.(3)可逐项积分.,逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,但在收敛域可能改变.,3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法,在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上,对照已知级数的特点,可通过恒等变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来求和函数.,4.函数展开成幂级数,这通常是较困难的.,(1)直接展开法:,展开,但必须证明余项的极限,(2)间接展开法:利用已知函数
4、的展开式,通过恒等变形,变量代换,级数的代数运算及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数.,注意两点:1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式.2.根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间.逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变,但收敛域可能会变.,几个常用初等函数的马克劳林展开,1.试判断下列命题是否正确?,三 思考与分析,则 同敛散.,(2)设 是正项级数,c为大于零的常数,(1)若 则 必定收敛.,答:均不正确.,(2)反例,考虑,(1)则 发散.,正项级数比较判别法的极限形式,则 同敛散.,设 为正项级数,若,有 证明:也收敛.,若 均收敛,且对一切自然数,2.下列运算是否正确?,证明:
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