医用数理统计方法课件第一章.ppt

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1、医药数理统计方法,第一节 随机事件及其运算,一、随机试验（random trial）自然界现象分为确定性现象和随机现象 在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这类试验称为确定性试验，这种类型的试验所对应的现象，称为确定性现象.否则称为随机现象 例子,统计规律,就一次试验而言，试验结果没有规律，但“大数次”地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律”如掷硬币(下表)概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科,频率的稳定性,掷硬币试验 试验者 试验次数 正面出现次数 频率 德摩根 2048 1039 0.5073 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12

2、000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005,随机试验(简称试验),满足下列条件：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但可事先明确知道试验的所有可能结果；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,二、样本空间,在随机试验中，它的每一个可能的直接结果，称为样本点(sample point)，或称基本事件，一般用字母表示。随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间(sample space)，通常用表示。样本空间又可分为有限样本空间与无限样本空间。例：掷硬币、灯泡寿命,三、随机事件(random event),样本点的某个集合叫做

3、随机事件(事件)，通常用大写英文字母A，B，C 等表示例:掷骰子.样本空间=1,2,3,4,5,6 事件A=偶数点=2,4,6 B=奇数点=1,3,5C=点数3=1,2 D=点数4=4,5,6,三、随机事件,在一次试验中，称某个事件发生当且仅当它所包含的某一个样本点出现。,A,三、随机事件,将样本空间也看成一个事件，它包含了全体样本点，而在任何一次试验中，必然会出现其中的某个样本点，即它必然会发生，所以我们又把称为必然事件。将空集也看成一个事件，它不包含任何样本点，由于在任何一次试验中出现的样本点都不属于，所以称为不可能事件。必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情况。,四、事件的关系和运

4、算,事件与集合的关系(表1.1),（一）事件的关系和运算,1.包含关系:事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记为BA（或A B）。A的每一个样本点都包含在B中,A=2,4 B=2,4,5,6,（一）事件的关系和运算,2.相等关系:若事件A包含事件B，且事件B又包含事件A，即AB且BA，称事件A与事件B相等，记为A=B A包含的样本点与B相同 A、B图形完全重合,（一）事件的关系和运算,3.事件的并（和）:若事件A和事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的并（或和），记为AB（或A+B）A或B中所有样本点的集合,A=2,4 B=1,4,5,6,

5、（一）事件的关系和运算,4.事件的交（积）:若事件A和事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的交（或积），记为A B（或AB）A与B中相同样本点的集合 并和交可推广到多(n)个事件,B,A,A=2,4 B=1,4,5,6,（一）事件的关系和运算,5.事件的差:若事件A发生而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记为A-B 属于A而不属于B的样本点的集合,A,B,A=2,4 B=1,4,5,6,（一）事件的关系和运算,6.互斥关系:若事件A与事件B不能同时发生，即A B=，则称事件A与B事件互斥（或互不相容）A与B没有相同的样本点,A=2,4 B=1,5,6,（一）事件的关系和运算,

6、7.互逆关系:若事件A与事件B互斥，且在任何一次试验中二者必定有一个发生，即A B=且A+B=，则称事件A与事件B互逆（或相互对立）。称事件A为事件的B的对立事件，记为 或 A与B没有相同的样本点 A或B的样本点组成样本空间 推广:完备事件组,B,A=2,4 B=1,3,5,6,（二）事件运算的基本性质,事件运算具有下面的基本性质：1.交换律：AB=BA AB=BA 2.结合律：(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)3.分配律：(AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(A C)(B C),（二）事件运算的基本性质,4.德摩根(De Morgan)原理 例:对=1,2,3,4,5,6 A

7、=1,2,3,4 B=1,3,5验证德摩根原理,例：设A、B、C为三个事件，则A发生而B与C都不发生：A与B发生而C不发生：三个事件都发生：三个事件恰好发生一个：三个事件恰好发生二个：,例：设A、B、C为三个事件，则三个事件中至少发生一个：三个事件都不发生：三个事件中至少有一个不发生：,第二节 随机事件的概率,对于事件A，用一个数P(A)来度量该事件发生的可能性大小，这个数称为事件发生的概率。从函数的观点来看出,概率是事件的函数,定义域为事件,值域为一个数,事件,数,一、概率的定义,定义1.1 若随机事件A在n次独立重复试验中出现了m次，此比值m/n称为事件出现的频率(frequency)，记

8、为 fn(A)=m/n当试验次数足够多时，频率稳定地在某个常数附近摆动，此性质我们称为频率的稳定性。,一、概率的定义,定义1.2(概率的统计定义):设在相同条件下，进行大量独立重复试验，若事件的频率稳定地在某一确定值附近摆动，称此数值为事件发生的概率(probability)，记作 P(A)=p 注:在许多实际问题中，当事件的概率不容易计算时，往往用频率近似代替概率,一、概率的定义,定义1.3(概率的公理化定义)设是一给定的样本空间，A为其中的任意一子集，规定一个实数，记作P(A)，若满足下列三条公理：（1）非负性：P(A)0（2）规范性：P()=1（3）可列可加性：对两两互斥事件Ai，有 则

9、称P(A)为事件A发生的概率。,第三次数学危机,数学家罗素关于集合论的悖论：设A是以一切自己不属于自己的那种集合为元素构成的集合，即若B B,则B A;若B B,则B A。问：A属于自己吗？若A A，由定义A A 若A A，由定义A A,罗素悖论的出现引起集合论的矛盾 被称为数学上的第三次危机,第三次数学危机：集合论-悖论,1 某人：“我说的这句话是谎话。”这句话是真话还是谎话？2 理发师：“我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。”理发师能否给自己刮胡子？,解决方法,公理化,二、概率的古典定义,有一类特殊的试验，它具有下面两个特征：（1）试验中的所有可能结果（即基本事件）只有有限个，而且是两两互

10、斥的；（2）每个试验结果出现的可能性相同。上述两个特征分别称为有限性和等可能性，具有这两个特征的试验称为古典概型,二、概率的古典定义,定义1.4(概率的古典定义):设古典概型的所有基本事件有n个，事件A含有其中的m个基本事件，则定义事件的概率为：P(A)=m/n所以：0P(A)1 P()=0 P()=1,二、概率的古典定义,例 10个产品中有3 个次品。（1）不放回从中取3次，求取到3个次品的概率。（2）有放回从中取3次，求取到3个次品的概率。解：设事件A=取到3个次品（1）N=10*9*8，M=3*2*1 P(A)=M/N=0.0083（2）N=10*10*10，M=3*3*3 P(A)=M

11、/N=0.027,例：n封信随机投入N（n)个邮筒中，求:(1)指定的n个邮筒中各有一封信的概率(2)任意的n个邮筒中各有一封信的概率哪一个概率大？,第三节 概率的基本运算法则,概率的计算有时较困难,概率的基本运算法则可 化繁为简 化难为易.,一、概率的（狭义）加法公式定理1.1 设A、B是两个互不相容的事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)推论1 有限个两两互斥的事件Ai，则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)推论2 互不相容完备事件组的各事件 概率之和为1,推论3 互相对立的两个事件的概率之和为1，即 或,A,例 设50支针剂中有3支不合格品，今从中任意取4支，

12、求其中不合格品数不少于2支的概率。解 设A表示“取出的4支针剂中的不合格品数不少于2支”，Ai表示“取出的4支针剂中的不合格品数为i支”(i=0,1,2,3)；显然A=A2+A3，且A2A3=,例 袋中有4只黑球和1只白球，每次从袋中任意取出一球，并换入一只黑球。连续进行，问第三次取出的是黑球的概率是多少？解 设A表示“第3次取出的是黑球”，计算复杂 对立事件为“第3次取出的是白球”。计算简单。袋中只有一只白球，而每次换入的都是黑球，因此，如果某一次取出白球，那么以后各次就只能取到黑球。所以，事件 相当于第1次、第2次都取到黑球，而第3次取到的是白球。样本空间包含的样本点个数为53，包含的样本

13、点个数为421，所以,定理1.2 狭义减法公式 若有事件A与B，其中 则 P(A-B)=P(A)-P(B)证：由于 所以然 A=（A-B）B 且（A-B）B=从而 P(A)=P(A-B)+P(B)思考：如何用文图记忆公式,定理（补充）广义减法公式 设事件A与B为任意两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)证：由于 所以 P(A-AB)=P(A)-P(AB)又 A-B=A-AB,定理1.3 广义加法公式 若事件A与B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)证：A B=A（B-AB）且 A（B-AB）=思考：AB=的情况 如何用文图记忆公式推广：P(A+B+C)=？

14、,例12 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球，从中每次任取1球，并放回，连续取两次，求取得的两球中无黑球或无红球的概率。解 设A表示“取得的两球中无红球”，B表示“取得的两球中无黑球”，则AB表示“取得的两球为白球”从而 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB）,二、条件概率与概率乘法公式,在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率，这类问题就是条件概率（conditional probability)问题，记作P（A|B）。,1.条件概率,例 玩具厂有职工500人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别有40人与10人。现从该厂职工中任意选取一人，试问：（1）该职工是非熟练工人的概率是多

15、少？（2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率是多少？分析：记A=选出的工人是非熟练工人 B=选出的工人是女职工问题（1）是一般的古典概型问题问题（2）是条件概率,定理1.4 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率等于事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率之比，即 P（A|B）=P(AB)/P(B)注：文图说明,A,B,例 求 P(A),P(B),P(C),P(B|A)P(A|B),P(C|A),P(AB),P(AC)解:P(A)=80/100 P(B)=20/100 P(C)=40/100 P(B|A)=12/80 P(A|B)=12/20 P(C|A)=32/80 P(A

16、B)=12/100 P(AC)=32/100,P(AB)与P(A|B)的区别,P(AB)考虑的样本空间是P(A|B)考虑的样本空间是B,A,B,2.概率乘法公式,由 P(A|B)=P(AB)/P(B)可得 P(AB)=P(B)P(A|B)或 P(AB)=P(A)P(B|A)推广 P(A1A2A3)=P(A1A2)A3=P(A1A2)P(A3|A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)思考 P(A1A2An)=?,例 n个人分一张奥运会的场券。用摸彩方式决定谁得入场券，他们依次摸彩，求：（1）已知前k-1个人都没摸到，第k个人摸到的概率（2）第k个人摸到的概率解：,例 10个考签

17、中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签（无放回），甲先抽、乙其次、丙最后。试分别求出甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解 设A、B、C分别代表甲、乙、丙各抽到难签，则由概率乘法公式可得,三、事件的独立性(independent),条件概率反映了某一事件B对事件A的影响。一般说来，P(A)与P(A|B)是不等的，但在某些特殊条件下，它们可能是相等的，即事件B发生与否对事件A没有影响，换句话说，事件B与事件A之间存在某种“独立性”,例 保安公司有行政管理人员100名，其中青年40名，现每天从所有行政管理人员中随机挑选一人为当天的值班人员，且不论其是

18、否在前一天值过班。现计算：（1）已知第一天选出的是青年，第二天选出的也是青年的概率；（2）第二天选出的是青年的概率。解：设A、B分别表示第一天、第二天选出的是青年，于是 P(B|A)=40/100=P(A),定义1.5 对事件A与事件B，若有 P(B|A)=P(B)即事件A发生与否不影响事件B的发生，则称事件B独立(independent)于事件A。两个事件的独立性总是相互的。设P(B|A)=P(B),则 P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A),定理1.6 两事件独立的充分必要条件 P(AB)=P(A)P(B)证：充分性。设P(

19、AB)=P(A)P(B)，则 P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)必要性。设P(B|A)=P(B)，则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),例 据说有某新药能够治疗某种肠道感染病。现有该疾病患者500人，有的服用了此新药，有的未服用此新药，经过一周时间以后，有的已经痊愈，有的还没有痊愈，结果见表1.4。试分析这种新药对该肠道感染病有无疗效。,解：从分析服药与痊愈之间是否相互独立着手，若两者间相互独立，说明痊愈和服药没有关系，这就表明此新药无效。由于试验的例数比较大，可以用频率近似代替概率。P(B)=400/500=0.8 P(B|A)=170

20、/210=0.81 A与B独立，该药无疗效,定理1.7 若事件A与事件B相互独立，则事件A与、与B以及 与 也相互独立。证：类似可得其它证明。,推广定义 设有n个随机事件A1，A2，An，如果其 中任意k个事件Ai1，Ai2，Aik，均有 P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)(k=2,3,n)成立，则称这n个事件相互独立。注：对n个事件，若满足两两相互独立，推不出其中任意k个事件相互独立 思考:P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，A、B、C相互独立吗？,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，三个事件独立,两两独立：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(

21、A)P(C)P(BC)=P(B)P(C),例 假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率 解 设Ai表示“第i个人的血清中含有肝炎病毒”。设A表示“混合的血清中含有肝炎病毒”。由题意，每个人的血清中是否含有肝炎病毒是互相独立的，则,AB每个元件可靠性为r，哪条线路更可靠？P(A)=P(A1A2)=r2 P(B)=P(B1+B2)=r+r-r2 由于2r-r2r2，所以B线路更可靠,B2,B1,A1,A2,第四节 全概率公式和 逆概率公式,一、全概率公式(total probability formula)计算一个复杂事件的概率，先把复杂事

22、件分解为若干个简单事件的和，再计算出各简单事件的概率，然后再利用概率的加法公式得到复杂事件的概率，这是计算复杂事件概率的常用的一种方法。,例1.20 先随机地挑选一个袋子，然后再从袋子中任意摸取一球，试求取到的球是白球的概率。解 设 B=取到的球是白球，Ai=这个球取自第i个口袋。显然，Ai构成一个互不相容的完备事件组 分解：B=BA1+BA2+BA3 计算：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3),定理1.8 设事件组Ai是样本空间的一个剖分（i=1,2,n），则对任意的事件B，有借助于一个完备事件组，将复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件的和，再利用概率的加法公式求出复杂事件的

23、概率 图示,B,Ai,例 如果任意从中抽取一份药品，其为次品的概率是多少？解 设B表示“抽取的药品是次品”，Ai表示“该药品来自第个车间”，i=1,2,3 B=BA1+BA2+BA3 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=2.5%,二、贝叶斯(Bayes)公式,全概率公式解决的问题是借助于一个完备事件组来计算某一事件发生的概率贝叶斯公式与此相反，是在已知发生了某一事件的条件下，求完备事件组中某个事件发生的条件概率。,P(Ai)称之为先验概率（先于试验的概率），P(Ai|B)是在试验后确定的概率，称为后验概率。通过结果B寻找原因Ai 注意：,定理(贝叶斯公式或逆概率公式),设Ai为

24、一完备事件组，对任意的事件B有,例 如果取出的一份药品是次品，最不可能来自哪一车间？解 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=2.5%P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=10/25 P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(B)=5/25 P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/P(B)=10/25,例1.22 华东医药公司订货单,例1.23 今有一人AFP检测结果为阳性，现问该人患肝癌的可能性P(A|B)有多大？,问题2：一次检验提供的信息还不足以作出判断，再进行一次复查。,例1.24 某病人开始上腹部疼痛后转移至下腹部疼痛，伴以呕吐、腹泻，入院体温39，脉搏120次/分，全腹肌紧张，有压痛、反跳痛，白细胞，据此疑为阑尾炎。为采取合适的治疗，需要鉴别以下三种情况：慢性阑尾炎、急性阑尾炎、阑尾穿孔,英语词汇,样本点(空间):Sample point(space)随机事件:Random event概率:Probabilioty条件概率:Conditional probability独立:Independent,