分期偿还与偿债基金.ppt

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1、第四章 分期偿还与偿债基金,问题的提出：在年金的期限内，如何分析现金流中的内在价值（本金）和时间价值（利息）？常用的本金利息分离方法有：分期偿还表(amortization schedules)和偿债基金方法（sinking fund）,分期偿还表对未清偿债务本金和利息的定期支付（如贷款的分期偿还）偿债基金借款人未偿还债务成立基金并在指定期限内分期拨款入基金，累计起一笔足够的款项以偿还未来到期的债款（一般的债券发行多附有借款人设立偿债基金的条款）这两种方法本质是要解决如何将投资期间的现金流分解为本金和利息两部分，进而如何确定投资期间每个时刻的未偿还贷款余额。,第一讲 分期偿还,未偿还贷款余额（

2、outstanding loan balance）注：“未结本金”、“未付余额”、“剩余贷款债务”、“账面价值”实际背景：在贷款业务中，每次分期还款后，借款人的未偿还债务在当时的价值。例如：某家庭现有一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已经付款的12年后，因为意外的一笔收入，希望一次将余款付清，应付多少？,计算未偿还贷款余额常用方法：未来法和过去法。未来法用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额。过去法用原始贷款额的累积值扣除所有已经付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额。注：这里利率即为贷款利率思考：两种方法的计算结果是否一致？,分析：在贷款之初有 贷款额今后所有还款的现值和将上

3、式的两边同时积累到还款期间内的某个指定时刻则有 原始贷款的终值所有分期还款在这个时刻的价值之和。上式右边可以分成两部分：过去的还款和未来的还款，后者的价值计算为现值，前者的价值计算为终值，从而上式又可以表示为：,原始贷款的终值过去还款的终值 未来还 款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边，即 原始贷款的终值过去还款的终值 未来还款的现值 即 过去法未来法 讨论：两种方法没有明显优劣之分，一般情况下，如果所有的还款额和还款时间已知，则采用未来法；如果还款次数未定或最后一次的还款金额未定，就采用过去法。,4-1 未偿还贷款余额,例：某贷款的还贷方式为：前五年每半年还2000元；后五年每半年还10

4、00元，如果半年换算的年名义利率为10，分别用未来法和过去法计算第五次还贷后的未偿还贷款余额。解：,例4-2：某项30年期贷款，由等额的分期偿还方式，分30次年支付偿还，每年末偿还1000元。在第10次支付后，借款人另外多支付5000元还款，并通过调整后的每次等额还款，将未偿还贷款的还款期缩短为10年，若贷款利率为9%，求调整后每年的还款额。,4-2 分期偿还表（amortization schedules）,关键点:在有些情况中，有必要将每次的还款额分解为“还本金”和“还利息”两部分，比如在本金和利息的税收是不一样的时候、涉及提前还贷的时候等等。基本原理：在贷款的分期还款中，利息偿还优先，即

5、首先偿还应计利息，余下部分作为本金偿还。,下面以一个标准的分期偿还计划为例来说明分期偿还表假设：一项金额为 的n期贷款，用一个基本年金的还款方式来分期偿还，贷款年利率为i，每期还款额为1，下面建立该项贷款的分期偿还表。,表(4-1)分期偿还表,It=iBt-1(4-4)Pt=Rt-It(4-5)Bt=Bt-1-Pt(4-6),例4-4 某借款人每季度末偿还贷款一次，每次1000元，共5年，每年计息4次的年名义利率为12%。计算第6次还款中的本金部分和利息部分。解：,例4-5甲从乙处借款1万元，每季度末还款一次，共6年，每年计息4次的年名义利率为8%。第2年末，乙将这一收回债务的权利转卖给丙，丙

6、的收益率为每年计息4次的年名义利率10%，计算丙、乙所得的利息收入。,思考:你认为哪 种算法更合理？,算法一，乙在卖出这项收款权时价格为6902.31，低于当时的贷款余额7178.67,因此乙损失了7178.67-6902.31=276.36，因此乙的利息总收入为1408.35-276.36=1131.99另外，甲的现金流为在0时刻得到10000，然后在1，2，24流出R，所以其总共付出的利息为：528.71*24-10000=2689.04 2689.04=1131.99+1557.05 所以甲支出总利息正好是乙、丙所获得的利息之和。,例：现有年收益率为i的n年投资，每年底收回1元。但是在第

7、二年内的实际收益率为j，且ji。在下列两种情况下，计算第二年以后的年收入：1）第三年开始的年收益率仍为i2）第三年开始的年收益率保持j,2）,三种计息规则：按分期偿还支付中利息的划分和处理,贸易商规则相当于单利，只有本金产生利息，利息不产生利息。合众国规则 还款的支付首先应该用于偿还贷款自增的利息，如果还款量超过还款时贷款所自增的利息，剩余部分用于偿还本金，否则，剩余的（即当次还款还未能还掉的）利息部分不能混入到未偿还本金中，即它们不能产生利息。精算规则 与合众国规则的区别只在对分期还款不足以支付当期自增利息的情况，即所谓“利息本金化”，将没有被偿还的利息自动变成本金。,例4-8 某人借款10

8、00元，利率10%，期限12个月。如果他在3个月末还200元，在8个月末还300元，分别按（1）精算方法，（2）贸易商规则，（3）合众国规则，计算该借款人在第12个月末应还的款额。,偿还频率与计息频率不同的分期偿还表,1）偿还频率小于计息频率 每偿还期计息k次，计息期为n，则共有n/k次还款，若利率为i，每次还款额为1，则贷款额为：贷款只发生在时刻k，2k，n，书上表43列出了这种情形下每次偿还款包含的利息部分、本金部分及刚刚还完一次款后的贷款余额。,表(4-3)偿还频率与计息频率不同的分期偿还表,例：某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12，贷款偿还时间及 数额为第一年末400元，

9、第五年末800元，第十年末偿还未还剩余部分，计算第10年末的偿还额及其包含的本金利息。,首次偿还款中的利息部分为：1000(1.03)4-1=125.51因而首次还款额中本金部分为：400125.51=274.49第一次还款结束后，贷款余额为：1000274.49=725.51在第二次还款时所生的利息为 725.51(1.03)16-1=438.72因而第二次还款的本金部分为 800 438.72361.28最后还款的本金部分为725.51 361.28364.23利息部分为657.86364.23293.61,例4-9 一项10000元的贷款，贷款利率为月度转换年名义利率9%，每年还款一次，

10、还款期限为5年。计算第三次还款中的利息和本金部分。,2）偿还频率大于计息频率 每个计息期偿还贷款m次，共n个计息期，每个计息期利率为i，每次偿还额为1/m，总共有mn次还款，最初贷款额为 书上表44列出每次偿还款中包含的利息部分、本金部分及刚刚还完一次款后的贷款余额。,例：一种贷款要在每半年末还1元，共5年，每年利率为i，计算第8次还款中的贷款本金部分。,变额偿还支付,以Rk表示第k期末的分期还款额，k=1,2,n贷款利率为i，则有 通常Rk0，若Rk呈现某种规律，如成等差数列，等比数列，就可以利用第二章年金的相关公式计算贷款本金，即分期偿还款的现值，然后，根据利率及每次还款额计算出各期还款中

11、的本金、利息及各期末贷款余额，从而构造相应的分期偿还表。,例：某借款人年初贷款，利率为5，贷款期限为10年，首年末还款额为2000元，第2年末为1900元，依次类推，第10年末还款额为1100元，计算(1)贷款本金（2）第5次还款中的本金部分和利息部分。,例：甲年初从乙银行贷款10000元，分10年偿还，年利率10，每年末的还款额是前一年的1.2倍。计算前4年各期偿还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。解：,注：前三年每年还款额不足以支付贷款利息，因而有一部分利息转化为本金，到第四年还款额超过当年利息，多余部分偿还本金，因而减少了贷款余额。以后各年都保持贷款余额递减，直至期末贷款余额为零。,连

12、续偿还的分期偿还表,注：贷款本金为t 时的贷款余额,例：某贷款年利率为10，期限为10年，采取连续支付的分期偿还方式偿还。前5年常数还款率为1000元/年，后5年常数还款率为2000元/年。计算第5年偿还的贷款本金部分和利息部分。,第二讲 偿债基金（sinking fund）,偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次还清而建立的还贷基金注：基金在整个还贷期间采取“零存整取”方式注：在还贷期间每个时刻的“未偿还贷款余额”应该时原始贷款额扣除偿债基金后的余额i 原贷款利率j 偿债基金累积利率,原贷款利率与偿债基金累积利率不同(ij)1、设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金的金额D(等额)，共计

13、n次，因为存款是为了到n时有L用于还债，所以有,讨论：,上表中，,例：乙方向甲方提供1000元的贷款，分四年还清。还款方式：贷款年利率10，甲方每年除还利息外，还要以年利率8积累偿债基金。同时，另有丙方也可以提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为分期偿还方式。试问丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异的？解：两种方式没有区别等价于有相同的年还款额，若丙的贷款利率为i，则应有,例：某人准备购买一个n年期的年金（现值1000，年利率8），这个年金的买价使其足以以年利率7积累偿债基金，且最终的收益率为9，计算该年金的买价。,偿债基金法和分期偿还法的关系：i=j 时，所有分期偿还表中的

14、项目于偿债基金表中的对应项目都是相等的,偿债基金法的每次付款额与分期偿还法的每次付款额是相等的偿债基金法的每次净利息量（付息量扣除偿债基金的利息收入）与分期偿还表每次的付息量相等偿债基金的每次的增量（偿债基金的存款额加上偿债基金的 利息）等于分期偿还表中本金量偿债基金法的每个时刻的净贷款量（原始贷款量扣除偿债基金的余额）等于该时刻的未偿还贷款余额,例：10000元贷款，年利率8，5年期，偿债基金表,10000元贷款，年利率8，5年期，分期偿还表,支付频率与计息频率不同的偿债基金法,三个时间周期：1）贷款计息频率 2）偿债基金存款频率 3）偿债基金计息频率 基金的积累过程为主要目的，以偿债基金的

15、计息期为时间间隔，列出偿债基金每次计息时的还款金额、应付利息、偿债基金存款额、偿债基金余额和未结贷款余额。,例：某人借款2000元，为期2年，贷款年利率为10%，借款人见了偿债基金并每半年末在偿债基金中存款一次，偿债基金利率为每年计息4次的年名义利率8，试建立这一贷款的偿债基金表。解：贷款计息期为1年，偿债基金存款周期为半年，偿债基金计息期为一个季度。应按照季度来构造偿债基金表。,变额偿还的偿债基金,假设贷款额为L，借款人各次还款支出为R1，R2，Rn。且ij，在每次还款支出中，利息部分为iL，存入偿债基金部分为RtiL，t=1,2,n,因为偿债基金n期末积累值正好是L，所以有,例：某人借款30万元，期限20年，利用偿债基金方式偿还，且贷款利率和偿债基金利率分别为8和4。已知第一次还款总支出为3.8万元，以后每次还款比上一年少支出500元，直至19年末，然后在20年末一次性将还款还清。求20年末还款总支出。,例：某人需要借款，贷款人的贷款条件是期限为6年，年利率为10，采用偿债基金还款法，偿债基金存款利率为6。甲承诺的每年末还款总支出额为：第一年末总支出1万元，以后每年比上年多支出1万元，直到第6年末支付6万元。计算这种还款条件下，该借款人可以借到的金额。,