例1某商场9月份电视机销售统计表.ppt

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1、例1.某商场9月份电视机销售统计表,一、问题的提出,与数表对应,第一节 矩阵的概念,第二章 矩 阵,例2.线性方程组,与数表对应,上述问题必须引进一些新的概念，如矩阵概念.就矩阵概念而言，它是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.,二、矩阵的定义,定义：m n个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的矩形数表,称为m行n列矩阵，简称 矩阵，称为矩阵A的第i行的第j列元素，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O，所有元素均为非负数的称为非负矩阵，如

2、果矩阵的行数与列数均为n，成为n阶矩阵，或n阶方阵。,矩阵A记为 或，在不引起混淆时简记为,mn矩阵有m行，n列,行下标,列下标,矩阵第 i 行第 j 列的元素表为：,定义2.2 如果两个矩阵A，B有相同的行数和 列数，并且对应位置的元素相等，则 称矩阵A和矩阵B相等，记为A=B。,思考：讨论n阶方阵与n阶行列式的区别与联系,第二节、矩阵运算,1、矩阵的和,（1）加法,即,A+B=,（2）减法,将矩阵 的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A,称A+(-B)为A与B的差，记为A-B，即,即,A-B=A+(-B)=,-A=,（3）运算规律,结合律（A+B）+C=A+(B+C),

3、交换律 A+B=B+A,A+（-A）=A-A=O,例1,2、矩阵的数乘,（1）定义 设是一个数,是一 个矩阵,则矩阵称为数与矩阵A的数乘矩阵,记为A（或A),即,A=,设A,B为 矩阵,、为常数,分配律（A+B）=A+B（+）A=A+A,结合律（A）=（）A=（A）,（2)运算规律,例2 设A=，B=，求2A+B。,解,3、矩阵乘法,称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为,注意 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵A与B才能相乘，乘积矩阵C的第i行第j列元素 等于A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和.例如要计算,就是用A的第2行各元素分别乘以B的第3列相应的各元素，然后相加.用图表示即为：,

4、简记为：C=AB,第i行j列,（2)矩阵A，B乘积的行数、列数间的关系是,用图示表示就是,=,m,s,s,n,m,n,例3 设A=，B=，求AB.,解 AB=,=,其中c11=11+11=2 c12=1(-1)+11=0 c13=11+10=1 c21=01+11=1 c22=0(-1)+11=1 c23=01+10=0,所以 AB=,例4 求矩阵A与矩阵B的乘积AB及BA，其中A=（0 1-1）B=,解 A B=（0 1-1）,B A=,=-2,(0 1-1)=,即矩阵乘法不满足交换律,例5 求矩阵A与B的乘积AB及BA，其中,解,由AB=O，不能推出A=O，或者B=O,例6 设,解：因为A

5、的列数等于B的行数，所以A与B可以相乘，其乘积是一个34的矩阵,21+32,2(2)+3(1),2(3)+30,20+31,11+(2)2,1(2)+(2)(1),1(3)+(2)0,10+(2)1,31+12,3(2)+1(1),3(3)+10,30+11,=,BA=？,则,例7 若,即,但,即矩阵乘法不满足消去律,对于n元线性方程组也可以用矩阵的乘法表示,令,则方程组可表示为,从以上例题可以看出，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA；也不满足消去律即AC=BC，不能推出A=B；A O，B O时，可以有AB=O.因此由AB=O，不能推出A=O或B=O.这一点必须注意.,（3）运算

6、规律,结合律（AB）C=A(BC）,分配律 A(B+C）=AB+AC(B+C)A=BA+CA,(AB)=(A)B=A(B),4、矩阵的乘幂,（1）定义 设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak,即,k个,（2）运算规律,（其中k、l为正整数),例7 设A=,解,由例7，可得,，求A3.,5、矩阵的转置,（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A（或AT）即,A=,譬如,则,（2）运算规律,（其中为常数）,例8 设,解,所以,验证（AB）=B A，并求A B,或者，由,得,由例8可知，在一般情况下，,下面

7、介绍一类与转置矩阵有关的一类矩阵.如果n,注意（1）只有方阵才谈得上是对称矩阵,阶方阵A满足 A=A即,则称A为对称矩阵.,如果A=-A，即,，则称A为反对称矩阵.,（2）如果A为实矩阵且A=A，则称A为实对称矩阵,，因而,例9 设A，B为n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.,证 必要性：设AB是对称矩阵，即(AB)=AB.又（AB)=B A=BA，所以AB=BA.充分性：设AB=BA，因为(AB)=BA=BA=AB，所以AB是对称矩阵.,证毕,6、矩阵共轭,譬如,则,（2）运算规律,设A、B为复矩阵，为常数，则,四、思考题,1、两个同型矩阵一定可以相乘，对吗？2、(

8、AB)2=A2B2，对吗？,解 1、不一定，如AB是23矩阵时，AB是无意义的.2、不对，因为矩阵乘法不满足交换律.,五、练习题,1、判断下列命题是否正确，如不正确，举例说明.,（1）若A2=0，则A=0（2）若AB=0，则A=0或B=0（3）若A2=A，则A=0或A=E（4）若AB=AC，则B=C,2、A=,3、计算下列矩阵乘积,（1）,（5）(AB)=A B,求A+B，2A-3B,B=,（2）,4、计算方阵的幂（其中n为正整数）,（1）,（2）,（3）,5、设A=,6、设A是任意n阶方阵，证明：（1）A+A 是对称矩阵,（1）AB=BA（2）(A+B)2=A2+2AB+B2（3）(A+B)

9、(A-B）=A2-B2,是否成立.,问下列等式,，B=,（2）A-A 是反对称矩阵（3）AA 是对称矩阵,7、已知A=f(x)=x2-5x+3,定义 f(A)=A2-5A+3E,试求f(A),六、练习题参考答案,1、（1）（2）（3）（4）（5）,2、A+B=2A-3B=,3、（1）,4、（1）,（2）,（2）,（3）,5、都不成立6、提示：利用定义7、,第三节 特殊矩阵,本节课介绍几种特殊矩阵，它们的一些应用对我们求解问题有很大的帮助。,1、零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O 注意：不同阶的零矩阵不同.,方阵的行列式,（1）定义 由n阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变

10、），称为方阵A的行列式，记为,譬如,则,=-2,或detA.,注意:方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是由n2个数排成的n行n列的数表，而n阶行列式是一个数.,（2）运算规律,设A、B为n阶方阵，为常数，则,注意：（1）公式可以推广到有限个方阵乘积的情况，即,A=，B=，C=，,（2）由可知，,，其中,这个公式称为行列式的乘积公式，它表明两个行列式的乘积可以像矩阵的乘积一样来计算.,（3）由公式 可得,（行列）,（列列）,（列行）,（行行）,解 因为,所以,而,则,这样也有,同理,3、行矩阵、列矩阵,称为行矩阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵,只有一行的矩阵,4、对角矩阵：,称为对角矩阵,除主

11、对角线上元素外，其它,元素都为零的n阶方阵,记为,如果A,B同为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵。,5、数量矩阵：若对角矩阵A中的对角元素均相等时，称为n阶数量矩阵。即,以数量矩阵A左乘或者右乘（如果可乘）一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B。,6、单位矩阵：若n阶数量矩阵A中的元素a=1时，称其为n阶单位矩阵，记为 简记为I(或E)。即,单位矩阵有以下性质：,7.三角形矩阵,8、同型矩阵：若两个矩阵A、B的行列数相同，则称A、B为同型矩阵.,一、问题的提出,前章我们利用行列式展开定理，可以把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算，本节我们可以利用分块矩阵把高阶矩阵的计算转化为低

12、阶矩阵进行计算.,第四节 分块矩阵,二、分块矩阵定义,给定矩阵，若用一些穿过矩阵的横线与竖线把矩阵A分成若干小块，每个小块称为矩阵A的子块（或子矩阵），以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵.,例如,是一个分块矩阵，它有四个子矩阵.,注意(1)分矩阵的横、竖线要贯穿整个矩阵.,(2)一个矩阵的分块，可以是任意的，如上述矩阵还可以这样分块.,其中,三、分块矩阵的运算,由于分块矩阵的元素一般是子块(子矩阵)，在进行运算时，要求分块后的矩阵运算满足前两节矩阵运算的规律.,1、加法,设A、B都是 矩阵，将A、B按同样的方法分块，即,其中Aij、Bij都是 矩阵，则有,例1,设,则,2、数乘,设A是 矩阵，是

13、数，将A分块后，有,3、乘法,设A为 矩阵，B为 矩阵，分块为,如果Aik的列数等于Bkj的行数(k=1,2,t）,则,其中子块,例2 设,求AB.,解 将A、B分成四块,其中,则,而,如果将矩阵A，x分块为,显然分块矩阵乘法比未分块的矩阵乘法要简单一些.,4、分块矩阵的转置,则,即分块矩阵的转置矩阵，不仅仅是把每个子块看作元素后对矩阵作转置，而且每个子块本身也要作转置.,例3,设,则,四、分块对角矩阵,1、定义,如果将n阶方阵A分块后，有,其中Ai是ni阶方阵（i=1，2，s），则称A为分块对角矩阵。,2、性质,（2）若k为正整数，则,（3）,解 把矩阵分块得,则（1）,同结构的对角分块矩阵

14、的和、积，仍是对角分块矩阵。,同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和、积，仍是对角分块矩阵。,例5 设A=（aij），P=（pij）为n阶方阵，记P=（P1 P2 Pn），其中P1，P2，Pn为P的n个列，由分块矩阵的乘法，有,AP=A（P1 P2 Pn）=(A P1 AP2 A Pn）,五、思考题,（1）对于n阶方阵A、B，如果作相同的分块，则可作运算A+B，AB？,解（1）可以作加法运算，但不一定能作乘法运算AB.,如,这时，首先A11 B11是不符合乘法运算规律的.,六、练习题,1、设,试用矩阵分块法，求A+B，AB.,2、设,求（1）A（2）A 3（3）A3,七、练习题参考答案,1、,2

15、、将A分块为,其中,（1）A=50（2）A 3=12500（3）,作业,14(2)(4)(6),18,21(1),本次作业座号为双号的同学上交，单号同学由本学习小组批改，下次交作业时检查完成情况！作业请于本周四之前交至仰光楼305处,一、问题的提出,前章我们利用行列式展开定理，可以把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算，本节我们可以利用分块矩阵把高阶矩阵的计算转化为低阶矩阵进行计算.,第四节 分块矩阵,二、分块矩阵定义,给定矩阵，若用一些穿过矩阵的横线与竖线把矩阵A分成若干小块，每个小块称为矩阵A的子块（或子矩阵），以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵.,例如,是一个分块矩阵，它有四个子矩阵.,注意

16、(1)分矩阵的横、竖线要贯穿整个矩阵.,(2)一个矩阵的分块，可以是任意的，如上述矩阵还可以这样分块.,其中,三、分块矩阵的运算,由于分块矩阵的元素一般是子块(子矩阵)，在进行运算时，要求分块后的矩阵运算满足前两节矩阵运算的规律.,1、加法,设A、B都是 矩阵，将A、B按同样的方法分块，即,其中Aij、Bij都是 矩阵，则有,例1,设,则,2、数乘,设A是 矩阵，是数，将A分块后，有,3、乘法,设A为 矩阵，B为 矩阵，分块为,如果Aik的列数等于Bkj的行数(k=1,2,t）,则,其中子块,例2 设,求AB.,解 将A、B分成四块,其中,则,而,如果将矩阵A，x分块为,显然分块矩阵乘法比未分

17、块的矩阵乘法要简单一些.,4、分块矩阵的转置,则,即分块矩阵的转置矩阵，不仅仅是把每个子块看作元素后对矩阵作转置，而且每个子块本身也要作转置.,例3,设,则,四、分块对角矩阵,1、定义,如果将n阶方阵A分块后，有,其中Ai是ni阶方阵（i=1，2，s），则称A为分块对角矩阵。,2、性质,（2）若k为正整数，则,（3）,解 把矩阵分块得,则（1）,同结构的对角分块矩阵的和、积，仍是对角分块矩阵。,同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和、积，仍是对角分块矩阵。,例5 设A=（aij），P=（pij）为n阶方阵，记P=（P1 P2 Pn），其中P1，P2，Pn为P的n个列，由分块矩阵的乘法，有,AP=

18、A（P1 P2 Pn）=(A P1 AP2 A Pn）,第五节 逆矩阵,一、问题的提出,七、练习题参考答案,六、练习题,五、思考题,四、逆矩阵性质,三、求逆矩阵方法,二、逆矩阵定义,一、问题的提出,记 则有,上节在矩阵中我们推广了数的加、减、乘运算，我们自然就会想到矩阵是否有类似于数的运算除法呢？再我们知道，所谓数的除法，就是给定一个非零的数a，存在唯一的b,使得 ab=ba=1,于是又自然会问，在矩阵运算中，对于任一非零矩阵A，是否存在唯一矩阵B，使 AB=BA=I,下面我们就来讨论这个问题,二、逆矩阵的定义,定义 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得,则称A是可逆的，B称为A的逆矩

19、阵，记为A-1，即 B=A-1,由定义易知，如果方阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的，事实上，设B、C都是A的逆矩阵，即 AB=BA=I AC=CA=I,AB=BA=I,则,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,所以A的逆矩阵是唯一的.,显然，单位矩阵I是可逆的，且I-1=I,下面我们讨论方阵A可逆的条件.,A A-1=A-1 A=I,有,设n阶方阵A可逆，由,同理，由行列式按列展开定理，可得,即,于是我们有：,由定理，可得：,所以,由此说明 若A可逆，则A*也可逆.,有 A*=,证（1）因为AA-1=I，所以,（2）由,三、逆矩阵的求法,由定理知，要求矩阵A的逆矩阵，关键求A的伴随矩阵.,例

20、1 求矩阵A的逆矩阵，其中,解 因为,所以A-1存在，经计算,同理可得,A12=-3 A22=10 A32=-4A13=1 A23=-4 A33=2,得,所以,下面利用逆矩阵解线性方程组,例2 解线性方程组,解 设,则方程组可表示为AX=B,因为,因而A-1存在，因此A-1AX=A-1B，即X=A-1B,又,所以,为所求解.,四、逆矩阵的性质,1、如果A、B可逆，则AB可逆，且（AB)-1=B-1 A-1,证 因为(AB)B-1 A-1=A(B B-1)A-1,所以(AB)-1=B-1 A-1,2、如果A可逆，则A-1可逆且(A-1)-1=A,=AE A-1=A A-1=I,证 因为A-1 A

21、=I,所以（A-1）-1=A,3、如果A可逆，则A 可逆，且,证 A(A-1)=(A-1 A)=I=I,所以（A）-1=(A-1),(A)-1=(A-1),解这类题目，关键是把行列式中A-1、A*化为同一符号.,解 因为，,所以,6、如果A、B为n阶方阵，且AB=I（或BA=E），则B=A-1,证 因为,（其中为整数）,因而A-1存在.于是,B=IB=（A-1 A）B=A-1（AB）=A-1I=A-1,证毕,显然，检验矩阵可逆时，根据性质6比根据定义要减少一半的计算量.,例4 设A、B为n阶方阵，且满足 A+B=AB（1）证明A-I为可逆矩阵；,解（1）由 A+B=AB 有 AB-A-B+I=

22、I,(A-I)(B-I)=I,即,所以由性质6知A-I可逆，且,(A-I)-1=B-I,（2）同理可知B-I可逆，且,(B-I)-1=A-I,即,A=I+(B-I)-1,因,所以,五、思考题,1、任何矩阵有逆矩阵和伴随矩阵吗？2、设A为n阶可逆矩阵，则（1）(A*)-1=(A 1)*（2）(A)*=(A*)吗？3、设A、B为n阶方阵，则(AB)*=B*A*吗？,4、设A为n(n 2)阶矩阵，则（1）(kA)*=kA*（2）(A*)*=A 吗？5、设A、B为n阶矩阵，则（1）(A+B)-1=A-1+B-1（2）(A+B)*=A*+B*,所以(A*)-1=(A 1)*,又,3、正确（证明略）,知,

23、4、不正确.由第1题的公式和证明过程，,所以(A*)*=,若A不可逆，上式仍成立，证明较烦琐，故略去.,5、不正确（1）如果A=I，B=-I，这时A+B=0，故A+B不可逆（2）如果A=I，,则A*=I，,又,且,显然,小结：,六、练习题,1、求下列逆矩阵,（1）,（2）,2、解线性方程组,3、设，试问：（1）a,b,c满足什么关系时，A是可逆的（2）a,b,c取何值时，A是对称矩阵.,4、设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B，且，求矩阵B,5、设A是三阶方阵，且,求(3A)-1-18A*,七、练习题参考答案,1、（1）（2）,2、x1=1,x2=2,x3=-2,3、（1）ab c（2）a=b

24、=0,c=1,4、,5、-1,作业,21(1)22(3),25,26,27,30,本次作业座号为双号的同学上交，单号同学由本学习小组批改，下次交作业时检查完成情况！作业请于本周四之前交至仰光楼305处,第六节 矩阵的初等变换,(1)交换矩阵的两行(列);(2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列);(3)把矩阵的某一行(列)的l倍加于另一行(列)上.,定义2.10 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.,定义2.9 对矩阵施以下列3种变换,称为矩阵 的初等变换.,初等矩阵有下列3种:(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵.,(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵.,(3)

25、对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵,定理2.2 设Amn=(aij)mn(1)对A的行施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m阶初等矩阵左乘A.(2)对A的列施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n阶初等矩阵右乘A.,证:现在证明交换A的第i行与第j行等于用Im(ij)左乘A.将Amn与Im分块为,其中 Ak=(ak1 ak2 akn)(k=1,2,m),由此可见Im(ij)A恰好等于矩阵A第i行与第j行互相交换得到的矩阵.类似的方法可以证明其它变换的情况.,注意：,初等矩阵的主要作用就是通过它将矩阵的初等变换转化为矩阵的乘法，使矩阵的初等变换在理论证明中得到比较方便而有效的阐述，并

26、得到用初等变换求逆矩阵的方法。可见矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算有着十分密切的联系：有了初等矩阵就可以将矩阵的初等变换用矩阵的乘积来表示了。,例如,矩阵,设对A施以第一种初等行变换,例如交换A的第一行与第二行,有,用I3(1 2)表示交换I3的第一行与第2行得出的第(1)种初等矩阵,用I3(1 2)左乘A,有,设对A施以第(3)种初等列变换,例如将A的第三列乘2加到第一列,有,用I3(1 3(2)表示将I3的第三列乘2加于第一列得出的第(3)种初等矩阵,用I3(1 3(2)右乘A,有,即对A施行某种初等列变换,等于用同种初等矩阵右乘A.,容易验证,初等矩阵都是可逆的,且它们的逆矩阵仍是初等矩阵

27、.,(2.17),定理2.3 任意一个矩阵Amn=(aij)mn经过若干次初等变换,可以化为下面形式的矩阵D.,于是矩阵A化为,如果B1=O,则A已化为D的形式,如果B1O,那么按上面的方法,继续下去,最后总可以化为D的形式.,推论 如果A为n阶可逆矩阵,则D=In.,证:根据定理2.3,对A施以若干次初等变换可化为D.对A施以初等变换等于用相应的初等矩阵乘A,因A可逆,且初等矩阵可逆,则其乘积也可逆,所以D可逆,则|D|0,于是D不能有任一行(列)的元素全为零,因此D必等于In.,例1.化下列矩阵A为矩阵D的形式.,解:,例2.化下列矩阵A为矩阵D的形式.,解:,可知矩阵A是可逆的.,证:充

28、分性显然,下证必要性.由定理2.3的推论知,若A可逆,则经若干次初等变换可化为I,也就是说,存在初等矩阵P1,Ps,Q1,Qt,使I=P1PsAQ1Qt那么A=Ps-1P1-1IQt-1Q1-1=A=Ps-1P1-1Qt-1Q1-1 即矩阵A可可以表示成一些初等矩阵的乘积,定理2.4 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积.,下面介绍一种求逆矩阵的方法如果A可逆,则A-1也可逆,根据上面定理,存在初等矩阵G1,G2,Gk,使A-1=G1G2Gk那么有 A-1A=G1G2GkA即I=G1G2GkA(1)A-1=G1G2GkI(2)(1)式表示对A的行施以若干次初等变换化为I,(2)式表示对I的行施以同样的初等变换化为A-1.于是可以得出一个求逆矩阵的方法.,I=G1G2GkA(1)A-1=G1G2GkI(2)作一个n2n的矩阵(A I),然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换,使子块A化为I,则同时子块I即化为A-1了.,例3 求矩阵,的逆矩阵.,解:作36矩阵(A I3),于是得到,如果不知矩阵A是否可逆,也可按上述方法去作,只要n2n矩阵左边子块有一行(列)的元素全为零,则A不可逆.,例4.已知例3中矩阵A,求(I-A)-1.解:,于是得到,