《离散数学》二元关系和函数.ppt

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1、第4章 二元关系和函数,Relation,在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。本章把函数概念予以推广 定义域为一般的集合，支持离散应用。把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。,4.6函数的定义与性质,函数定义,定义 设 F 为二元关系,若 xdomF 都存在唯一的yranF 使 xFy 成立,则称 F 为函数.对于函数F,如果有 xFy,则记作 y=F(x),并称 y 为 F 在 x 的函数值.例1 F1=,F2=,F1是函数,F2不是函数,4.6函数的定义与性质,函数与关系的区别,从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如下区别：A的每一元素都必须是f的序偶

2、的第一坐标，即dom(f)=A；但dom(R)R若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即(f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，；但(xRy)(xRz)得不到y=z,4.6函数的定义与性质,例1 设A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10，分别确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。(1)f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)(2)f=(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)(3)f=(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)解（1）能构成函数，因为符合函数的定义条件。（2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像，

3、不满足像的存在性。（3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个像7和9，不满足像的惟一性。,4.6函数的定义与性质,函数相等,定义 设F,G为函数,则 F=G FGGF 一般使用下面两个条件：(1)domF=domG(2)xdomF=domG 都有 F(x)=G(x)实例 函数 F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为 domFdomG.,4.6函数的定义与性质,从A到B的函数,定义 设A,B为集合,如果 f 为函数 domf=A ranf B,则称 f 为从A到B的函数,记作 f：AB.实例 f：NN,f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：NN,g(x)=2也是从

4、N 到 N 的函数,4.6函数的定义与性质,B上A,定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,读作“B上A”，符号化表示为 BA=f|f：AB 计数：|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=,则 BA=B=.A且B=,则 BA=A=.,4.6函数的定义与性质,实例,例2 设 A=1,2,3,B=a,b,求BA.解 BA=f0,f1,f7,其中 f0=,f1=,f2=,，f3=,f4=,，f5=,f6=,f7=,4.6函数的定义与性质,函数的像,定义 设函数 f：AB,A1A.A1 在 f 下的像：f(A1)=f(x)|xA1 函数的像 f(A)=ranf 注意：函数值

5、f(x)B,而像 f(A1)B.例3 设 f：NN,且 令A=0,1,B=2,那么有 f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2,4.6函数的定义与性质,函数的性质,定义 设 f：AB,（1）若ranf=B,则称 f：AB是满射的.（2）若任意x1，x2 A 而且不相等，都有f(x1)与 f(x2)不相等,则称 f：AB是单射的.（3）若 f：AB既是满射又是单射的,则称 f：AB是双射的f 满射意味着：y B,都存在 x使得 f(x)=y.f 单射意味着：f(x1)=f(x2)x1=x2,4.6函数的定义与性质,注意：由单射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在单射函数f:XY，则|

6、X|Y|。由满射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在满射函数f:XY，则|X|Y|。由双射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在双射函数f:XY，则|X|=|Y|。,4.6函数的定义与性质,实例,例4 判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：RR,f(x)=x2+2x1(2)f：Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：RZ,f(x)=x(4)f：RR,f(x)=2x+1(5)f：R+R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.,4.6函数的定义与性质,解(1)f：RR,f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+R,f(x

7、)=lnx 单调上升,是单射.但不满射,ranf=ln1,ln2,.(3)f：RZ,f(x)=x 满射,但不单射,例如 f(1.5)=f(1.2)=1.(4)f：RR,f(x)=2x+1 满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f：R+R+,f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.,实例（续）,4.6函数的定义与性质,构造从A到B的双射函数,有穷集之间的构造例5 A=P(1,2,3),B=0,11,2,3解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0,f1,f7,其中 f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,

8、f7=,.,令 f：AB,f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)=f3,f(1,2)=f4,f(1,3)=f5,f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f7,4.6函数的定义与性质,实数区间之间构造双射构造方法：直线方程例6 A=0,1 B=1/4,1/2构造双射 f:AB,构造从A到B的双射函数（续）,解 令 f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,4.6函数的定义与性质,构造从A到B的双射函数（续）,A 与自然数集合之间构造双射方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应例7 A=Z,B=N，构造双射 f：AB将Z中元素以下列顺序排列并

9、与N中元素对应：Z：011 2233 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是：,4.6函数的定义与性质,常函数、恒等函数、单调函数,1.设f：AB,若存在 cB 使得 xA 都有 f(x)=c,则称 f：AB是常函数.2.称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数,对所有 的 xA 都有 IA(x)=x.3.设 f：RR，如果对任意的 x1,x2R，x1x2,就 有 f(x1)f(x2),则称 f 为单调递增的；如果对任意 的 x1,x2A,x1 x2,就有 f(x1)f(x2),则称 f 为 严 格单调递增 的.类似可以定义单调递减 和严格单调递减 的函数.,4.6函数

10、的定义与性质,集合的特征函数,设 A 为集合,A A,A 的 特征函数 A：A0,1 定义为,实例 集合：X=A,B,C,D,E,F,G,H,子集：T=A,C,F,G,H T 的特征函数T：x A B C D E F G H T(x)1 0 1 0 0 1 1 1,4.6函数的定义与性质,5.设 R 是 A 上的等价关系,令g：AA/Rg(a)=a,aA称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.,自然映射,4.6函数的定义与性质,实例,例8(1)A的每一个子集A都对应于一个特征函数,不同的子集对应于不同的特征函数.例如 A=a,b,c,则有=,，a,b=,(2)给定集合 A，A 上不同的等

11、价关系确定不同的自然映射,其中恒等关系确定的自然映射是双射,其他的自然映射一般来说是满射.例如 A=1,2,3,R=,IA g(1)=g(2)=1,2,g(3)=3,4.6函数的定义与性质,函数复合的定理,定理 设F,G是函数,则F G也是函数,且满足(1)dom(FG)=x|xdomG G(x)domF(2)xdom(F G)有FG(x)=F(G(x)推论1 设F,G,H为函数,则(FG)H 和 F(GH)都是函数,且(FG)H=F(GH)推论2 设 f：BC,g：AB,则 fg：AC,且 xA 都有 fg(x)=f(g(x).,4.7函数复合和反函数,函数复合运算的性质,定理 设g：AB,

12、f：BC.(1)如果f,g都是满射,则 fg：AC也是满射.(2)如果 g,f 都是单射,则f g:AC也是单射.(3)如果 g,f 都是双射,则 fg：AC也是双射.证(1)cC,由 f：BC 的满射性,bB 使得 f(b)=c.对这个b,由 g：AB 的满射性，aA 使得 f(a)=b.由合成定理 fg(a)=f(g(a)=f(b)=c 从而证明了 fg：AC是满射的.,函数复合运算的性质,(2)假设存在 x1,x2A使得 fg(x1)=f g(x2)由合成定理有 f(g(x1)=f(g(x2).因为 f：BC是单射的,故 g(x1)=g(x2).又由 于 g：AB也是单射的,所以 x1=

13、x2.从而证 明 fg：AC是单射的.(3)由(1)和(2)得证.定理 设 f:AB，则 f=fIB=IAf,定理 设f:XY，g:YZ，那么（1）若gf是单射，则f是单射。（2）若gf是满射，则g是满射。（3）若gf是双射，则f是单射，g是满射。,函数复合运算的性质,反函数存在的条件,任给函数 F,它的逆F 1不一定是函数,是二元关系.实例：F=,，F 1=,任给单射函数 f：AB,则 f 1是函数,且是从 ranf 到 A的双射函数,但不一定是从 B 到 A 的双射函数.实例：f:N N,f(x)=2x,f 1:ranf N,f 1(x)=x/2,反函数,定理 设 f：AB是双射的,则f

14、1：BA也是双射函数.证 因为 f 是函数,所以 f 1 是关系,且 dom f 1=ranf=B,ran f 1=domf=A,对于任意的 yB=dom f 1,假设有x1,x2A使得f 1f 1成立,则由逆的定义有ff根据 f 的单射性可得 x1=x2,从而证明了f 1是函数，且是满射的.下面证明 f 1 的单射性.若存在 y1,y2B 使得 f 1(y1)=f 1(y2)=x,从而有f 1f 1 ff y1=y2,反函数的定义及性质,对于双射函数f：AB,称 f 1：BA是它的反函数.反函数的性质定理 设 f：AB是双射的,则f 1f=IA,ff 1=IB 对于双射函数 f：AA,有f

15、1f=ff 1=IA,定理 若f:XY是可逆的，那么（l）(f-1)-1=f（2）f-1f=IX，ff-1=IY定理3.9 设X,Y,Z是集合，如果f:XY，g:YZ都是可逆的，那么gf也是可逆的，且(gf)-1=f-1g-1。,函数复合与反函数的计算,例 设 f：RR,g：RR 求 f g,g f.如果 f 和 g 存在反函数,求出它们的反函数.,解 f：RR不是双射的,不存在反函数.g：RR是双射的,它的反函数是 g1：RR,g1(x)=x2,一、两个有限集如何比较多少。设两个班级A 和B，要比较这两个班级的学生哪班多，哪班少，可采取两种方法。方法1：报数。报数后看谁的数目大，数目大的就表

16、示这个班上学生人数多。但这个方法对无限集却行不通。方法2：配对。将A 中的一个学生a1 和B 中的一个学生b1 配成一对，配好以后，不许他们再和别人配对了。然后再把A 中的另一个学生a2 和B 中的一个学生b2 配成一对，同样，配好以后也不准他们再和其他人配对了。这样一对一配下去，如果A中的人都配完了，而B还剩下一些人，则说B中的学生比A多；如果B 中的人都配完了，而A 剩下一些人，则说A中的学生比B多；如果A和B中的学生正好都能一对一地搭配起来，则说A和B的学生人数一样多。这种“配对”的办法可以应用到无限集中去。,定义一 设A与B为集合，若存在从A到B的双射，则称A和B为等势，记为AB。例6

17、.13(-1,1)(-,+)。证明 因存在着双射，x(-1,1)，所以(-1,1)(-,+)。等势关系具有如下性质 AA。若AB，则BA。若AB，BC，则AC。所以等势关系是等价关系。,定义二 设Nn=0,1,2,n-1，A 为任一集合。若A=或A 与某个Nn等势，则称A为有限集；否则称A 为无限集。定理一 自然数集N为无限集。证明 任取nN，f 是从Nn 到N 的任意一个函数。令k=1+maxf(0),f(1),f(n-1)，则kN。但对每个xNn，都有f(x)k，因此f不是满射，从而f 不是双射。由n和f的任意性得知N 是无限的。,定义三（1）对于有限集合A，有唯一的Nn与其等势，对应的n

18、称为A的基数，记为|A|（2）自然数集N 的基数记为0（读作阿列夫零）。（3）实数集R 的基数记为（读作阿列夫）。由定义可知，有限集合的基数就是其所含元素的个数。两个有限集合等势当且仅当A和B 的元素个数相同。,定义四 与自然数集N 等势的集合叫做可数集或可列集，其基数记为0。与自然数集N不等势的无限集叫做不可数集或不可列集。下面介绍可数集的一些性质。定理五 集合A 为可数集的充要条件是A 的元素可以排列成无限序列的形式（即A=a0,a1,an,）。定理二 任一无限集必含有可数子集。定理三 任一无限集必与其某一真子集等势。定理四 可数集的任何无限子集是可数的。定理五 两个可数集的并集仍是可数集。,