《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征2-4节.ppt

《《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征2-4节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征2-4节.ppt（54页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、2023/5/25,1,它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,复习:数学期望,2023/5/25,2,基本内容：一、方差的定义 二、方差的性质,第二节 方差,2023/5/25,3,一、方差(Variance),1.问题的导入,引例 比较甲乙两个射手的射击水平,分析,乙,甲,但是乙射手的波动性较大,不够稳定.,2023/5/25,4,为了数学上的方便，,如何描述这种差异呢？,P(X=xi)=pi(i=1,2,),其平均射击水平为E(X)，,则他每次射击的波动性为,或|xi-E(X)|,以 xi-E(X)2 代替|xi-E(X)|,则该射手的平均射击波动为,xi-E(X

2、),设某射手击中的环数为随机变量X，其分布律为,2023/5/25,5,称为 X 的均方差或标准差。,2.方差(Variance 或 Dispersion),定义.,设X是一随机变量，,则称EX-E(X)2称为X的方差,记作D(X),即,方差的算术平方根,若EXE(X)2存在，,2023/5/25,6,注:,(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.,(3)如果D(X)值越大(小)，,表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.,0;,(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)2,2023/5/25,7,3.方差的计算,(

3、1)利用随机变量函数的数学期望公式,离散随机变量的方差,连续随机变量的方差,2023/5/25,8,(2)利用方差公式,且E(X2),也存在,则,由于,定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，,2023/5/25,9,解:,例1.若,求D(X).,已求得,=E(X),其中X(),2023/5/25,10,已求得,例2.若XU(a,b),求D(X).,解:,2023/5/25,11,解:,例3.若,求D(X).,已求得,=E(X),其中Xe(1),2023/5/25,12,补充：,例,求D(X).,2023/5/25,13,二、方差的性质(设下列随机变量的方差都存在),证:,证:,2023/5

4、/25,14,证:,2023/5/25,15,证:,2023/5/25,16,故 DXi=EXi 2-(EXi)2,EXi=1p+0(1-p)=p,且 EXi2=p,则 是n 次试验中A出现的次数，,=p p 2=p(1-p)=p q，i=1,2,n,因 X1,Xn 相互独立，,=np q.,显然 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,=n p;,求E(X)、D(X).,解:,例4.设X服从二项分布B(n,p),设Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即,2023/5/25,17,U(a,b),exp(),(),B(n,p),(01),p pq np npq,常用随机变量的期望与方差,分布

5、,分布列或密度函数,期望,方差,2,2023/5/25,18,例5.设随机变量X有期望E(X)=,方差,令随机变量,试求,解：,(标准化变量),一、协方差及其性质,第三节,协方差、相关系数,二、相关系数及其性质,我们先看一个例子。,在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于,父亲的身高和其成年儿子身高的关系.,收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了,这里有两个变量：,一个是父亲的身高，,一个是成,年儿子身高.,为了研究二者关系.,英国统计学家皮尔逊,一张散点图.,从图上看出:父亲及其成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系.,特征中，最重要的就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,前面

6、我们介绍了随机变量的数学期望和方差，,数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，,方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度，,这对我们了解随机变量有一定的帮助，,随机变量，,但对于二维,我们除了关心 的期望和方差外，,还希望知道他们的关系，,在反映分量之间关系的数字,2023/5/25,23,定义.随机变量X与Y的函数X-E(X)Y-E(Y),的数学期望存在，,则称其为X与Y的协方差,cov(X,Y),即,记作,若两个随机变量X和Y是相互独立的，则,意味着当 时,X和Y不独立。,24,若X取值比较大(XE(X),Y也较大(YE(Y),若X取值比较小(XE(X),Y也较小(YE(Y),若X取

7、值较小,Y取值较大或若X取值较大,Y取值较小,这时Cov(X,Y)0;,这时Cov(X,Y)0;,则Cov(X,Y)0.,协方差cov(X,Y)=EX-E(X)(Y-E(Y)可了解两个变量之间变化的关系(变化趋势在平均意义上而言):,正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值,负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势.,2023/5/25,25,协方差的简便计算方法：,2023/5/25,26,协方差的性质,（1）cov(X,Y)=cov(Y,X);（2）cov(X,c)=0;cov(X,X)=D(X);（3）cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，a，b为常数（4）

8、cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);（5）,但它还受X 与Y 本身度量单位的影响.,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，将X与Y标准化:,即：,协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互,间的关系，,例如：,协方差cov(X*,Y*)称为X与Y的相关系数，记作R(X,Y)，,2023/5/25,28,相关系数 Correlation coefficient,定义,不相关 假若 XY=0，则称X,Y不相关。,性质 设XY是随机变量X,Y的相关系数，则有,即Cov(X,Y)=0,29,当且仅当X与Y之间有线性关系时,等号成立,即|=1a,b,使PY

9、=aX+b=1,说明:XY刻划X,Y之间的线性相关程度,|XY|1,则X,Y越接近线性关系,|XY|=1,则X,Y存在线性关系,当XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没有线性关系,2023/5/25,30,若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;,分析:若X与Y相互独立,两个随机变量独立与不相关的关系,不一定成立.,X与Y不相关.,反之,X与Y不相关 cov(X,Y)=0.,若X与Y不相关，则,例,将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示,正面向上和反面向上的次数，求,的相关系数。,解:,满足,故,2023/5/25,32,若 存在，称它为X的k阶中心矩.,第4节 随机变量的另几个数字特征,定义.

10、设X是随机变量，若 存在，称它为X的k阶原点矩.,k=2,EX-E(X)2为方差.,特别地，k=1,EX-E(X),=0.,特别地，k=1,E(X)为数学期望.,k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式,分位数：设连续随机变量X的分布函数为F(x),概率密度为f(x),对于任意正数(0 1)，若,2023/5/25,33,则称x为此分布的下分位数，记为,若,则称x为此分布的上分位数，记为,特别地，当=0.5时，,变异系数,2023/5/25,34,2023/5/25,35,1.理解方差的定义：,2.熟悉方差的性质:,内容小结,2023/5/25,36,(5)若E(X)与 D(X)存在，,对于

11、任意的正数,(4)对于任意实数CR，有,E(X-C)2D(X),当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).,有,2023/5/25,37,3.熟悉一些常见分布的方差,若XB(n,p),D(X)=npq;,若,若XU(a,b),若,2023/5/25,38,4.方差的计算方法,利用方差的定义:,利用方差的简化公式：,利用方差的性质；,利用常见分布的方差.,相关系数的意义,2023/5/25,40,习题三(P96):16、18、19（1）、22、23、25,作业,2023/5/25,41,备用题,1.判断正误：,(1)任何随机变量X都能其计算期望和方差.(),(2)期望反映的是随机

12、变量取值的集中位置，,方差反映的是随机变量取值的分散程度。(),(3)随机变量X的方差越小，X取值越集中，,方差越大，X取值越分散。(),答案:(1)X;(2);(3).,2023/5/25,42,2.选择题,A.4,0.6；B.6,0.4；C.8,0.3；D.24,0.1,A.-1；B.2；C.1；D.3,2023/5/25,43,(4),2023/5/25,44,分析,(1)由 XB(n,p)得：,解方程组得 n=6,p=0.4,故选B.,2023/5/25,45,故选 C.,2023/5/25,46,（3）,故选 C.,2023/5/25,47,(4)由题（3）知：,且,根据切比雪夫不等

13、式，应选D,2023/5/25,48,3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取,一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的,解：,设X表示在取到正品前已取出的废品数,则,X的概率分布为,方差（续）.,2023/5/25,49,E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.,根据定义,随机变量X的数学期望为,故X的方差为,2023/5/25,50,分布函数F(x)在(-,+)处处连续，故,4.设X的分布函数为,试确定常数a,b,并求 E(X)与D(X).,解：,F(x)在x=-1和x=1处连续,有,2023/5/25,51,即,解方程组得,X的概率密度函数为,=0,2023/5/25,52,D(X),原式=,2023/5/25,53,5.设,随机变量X的分布函数为,解：,2023/5/25,54,6.设每次试验中，事件A发生的概率为0.5,共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：,A发生次数在400到600之间的概率.,解：设事件发生的次数为随机变量，则,(,)，=,.，,且 E(X)=np=500,D(X)=np(1-p)=250.,由切比雪夫不等式得,