《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节.ppt

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1、2023/5/25,1,随机变量的数字特征,一、数学期望、方差二、原点矩与中心矩三、协方差与相关系数四、切比雪夫不等式与大数定律,基本内容：,第三章,2023/5/25,2,引例1 加权平均成绩,为该生各门课程的算术平均成绩.,设某学生四年大学各门功课 成绩分别为,而,为该生的加权平均成绩.,第一节 数学期望,2023/5/25,3,引例2.甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10元奖金如何分配才算合理公平。,分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？,甲最终所得可能为10元

2、，可能0元，这是随机变量X,且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：,甲甲，甲乙，乙甲，乙乙,甲期望所得：0*1/4+10*3/4=7.5,此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再比赛下去的一种“期望”数学期望（均值）.,2023/5/25,4,1.随机变量的数学期望,2023/5/25,5,1.离散随机变量的数学期望,定义:设离散随机变量X的分布律为,若级数,绝对收敛,注1 EX是一个常数,它是一种加权平均.与一般的平均值不同,它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.,注2 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值

3、,它不因可能值的排列次序而改变.,则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X),即,2023/5/25,6,求数学期望E(X).,解：X的概率函数为,所以X的数学期望,例1.设X服从Poisson分布,2023/5/25,7,2023/5/25,8,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,把 a,b分成n个小区间,各小区间长度,2023/5/25,9,2.连续随机变量的数学期望,定义:设连续随机变量X的概率密度为f(x),则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X),即,绝对收敛,若积分,2023/5/25,10,求此化合物的PH的数学期望E(X).,例3.某种化学物的PH(记为X)是一个随机

4、变量，它的概率密度是,解：,2023/5/25,11,求数学期望E(X).,解：X的概率密度为,所以,例4.设,2023/5/25,12,3.随机变量函数的数学期望,(1)问题的导入,X,E(X)=,数学期望,g(X),数学期望,g是连续函数,g(X)是随机变量,如:2X+1,X2等等.,(一)一维随机变量函数的数学期望,2023/5/25,13,方法1(定义法):g(X)是随机变量,按照数学期望,关键:由X的分布求出g(X)的分布.,难点:一般g(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.,(2)随机变量函数数学期望的计算,的定义计算Eg(X).,2023/5/25,14,定理 设X是一个随机变量

5、,Y g(X),则,当X为离散型时,P(Xxk)pk,(k 1,2,);,求Eg(X)时,只需知道X的分布即可.,当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,方法2(公式法):,2023/5/25,15,例5.某种商品每周的需求量 XU(10,30）,而商场,每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每单位商品亏损100元;,若供不应求,则可从外部调剂供应,每单位商品获利300元.,要使商场获得最大收益,问进货多少?,设应进货量为 a(10至 30 间的某数),收益为Y,解:,则X的概率密度函数为,故当 a=23.33 时,EY 最大,供不应求,供大于求,2023/5/25,16,

6、对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以类似得到.,1.二维离散型情形,(二)二维随机变量函数的数学期望,设X,Y为二维离散型随机变量,Z gX,Y为 二元函数,如果EZ存在,其中X,Y的联合概率分布为pij.,2023/5/25,17,2.二维连续型情形,设X,Y为二维连续型随机变量,Z gX,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则,其中X,Y的联合概率密度为fx,y.,2023/5/25,18,求窗口服务时间的数学期望,例6.一快餐店，以Y1记顾客到达餐厅直至离开服务窗口的时间(以分计),以Y2记一顾客排队等待服务的时间.设Y1，Y2的联合概率密度为,解：,E(Y1-Y2).,202

7、3/5/25,19,补充：,2023/5/25,20,二、数学期望的性质,如：,证:,推广,2023/5/25,21,证：仅就连续随机变量情形,2023/5/25,22,例7.设盒中有25张形式各异的礼券，有人在盒中取10次，每次取一张，做放回抽样。设抽出的10张礼券中包含X种不同式样,求X的数学期望E(X).,解：设,则有,常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和,再利用期望性质求得X的期望.,2023/5/25,23,内容小结,一、掌握(数学)期望的定义,1.离散随机变量X的期望(或均值),2.连续随机变量X的数学期望,3.随机变量函数的

8、数学期望,设g(X)是随机变量X的实值函数，,2023/5/25,24,离散随机变量函数g(X)的数学期望,连续随机变量函数g(X)的数学期望,二、熟悉数学期望的性质,2023/5/25,25,2023/5/25,26,三、熟悉一些常见分布的期望,(1)若XB(1,p),E(X)=p.,(2)若XB(n,p),E(X)=np.,(3)若,(4)若XU(a,b),E(X),(5)若,2023/5/25,27,四、计算数学期望的方法,1.利用数学期望的定义；,2.利用数学期望的性质；,3.利用常见分布的期望；,常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利

9、用期望性质求得X的期望.,2023/5/25,28,作业,习题三(P94)：1、4、6、9、11、12,2023/5/25,29,备用题,A.1；B.0；C.3；D.11/2,(2)随机变量X服从参数为1的指数分布,则,A.2；B.1；C.4/3；D.3/2,(1)设随机变量X和Y相互独立，且 XB(10,0.3),且YP(2),则Z=2X-3Y+1的数学期望为（）,1.选择题,2023/5/25,30,分析,(1)XB(10,0.3),于是 E(X)=100.3=3.,(2)Xe(1),于是E(X)=1,且X的概率密度为,YP(2),于是E(Y)=2.根据数学期望的性质，,E(Z)=2E(X

10、)-3E(Y)+1=1，选A.,从而,2023/5/25,31,2.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取,一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的,解：,设X表示在取到正品前已取出的废品数,则,X=0，1，2.,分布和数学期望.,(1)X的概率分布,设Ak=第k次取得的是正品 k=1,2,3,2023/5/25,32,由乘法公式，有,2023/5/25,33,由此得离散随机变量X的概率分布为,(2)根据定义,随机变量X的数学期望,E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.,202

11、3/5/25,34,试求,解:,3.设X的概率密度函数为,(奇函数),2023/5/25,35,4.设有N个人,每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子混合后，每个人再随机地从中选一顶.,试求选中自己帽子的人数的数学期望.,解：设X表示配对的人数，将X写成,X=X1+X2+Xn,2023/5/25,36,2023/5/25,37,5.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,X在0,60上服从均匀分布,其概率密度为,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望.（考研试题）,解：,2023/5/25,38,设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则,因此,2023/5/25,39,2023/5/25,40,解:,6.设随机变量X的概率密度函数为,试求.,2023/5/25,41,预备知识基本积分表,(k 为常数),或,或,2023/5/25,42,2023/5/25,43,换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),2023/5/25,44,分部积分法,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,反对幂三指,